Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 28 апреля 2019 г.

Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности

Пусть известно, что в последовательности каждый член, начиная со второго, равен квадрату предыдущего.

ПРИМЕР:

Чтобы задать последовательность

2;  4;  16;  256; … ,

достаточно указать первый её член. Таким образом, эта последовательность задаётся двумя условиями:

– первый член равен  2,
– каждый член, начиная со второго, равен квадрату предшествующего.

Если последовательность обозначить через  (an), то эти условия запишутся так:

a1 = 2;  an+1 = an2.

ПРИМЕР:

Рассмотрим последовательность  (bn), первый член которой равен единице, второй – двум, а каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов:

b1 = 1;  b2 = 2;  
bn+2 = bn + bn+1.

Зная первые два члена  b1  и  b2  последовательности  (bn)  и формулу

bn+2 = bn + bn+1,

можно найти любой член последовательности:

b3 = 1 + 2 = 3;  
b4 = 2 + 3 = 5; 
b5 = 3 + 5 = 8  и т. д.

Значит, последовательность  (bn)  задана.

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что задаётся первый член последовательности (или несколько членов) и правило, по которому определяется следующий член последовательности по известным его предыдущим членом (или несколькими членами).

Формула, которая устанавливает соотношение  n-го члена последовательности его предыдущим членом, называется рекуррентным соотношением.

ПРИМЕР:

Пусть задано

u1 = 1, u2 = 3, 

а рекуррентное соотношение имеет вид 

un = 2un-1 + un-2 (n ≥ 3).

Тогда получим последовательность

u1 = 1, u2 = 3,
u3 = 2×3 + 1 = 7,
u4 = 2×7 + 3 = 17, … ,

или

1,  3,  7,  17, …

ПРИМЕР:

Пусть первый член последовательности (сn)   равен  12, а каждый следующий, начиная со второго, получается вычитанием из предыдущего члена числа  5, т. е.

с1 = 12;  сn+1 = сn – 5.

Тогда

с2 = с1 – 5 = 7,
с3 = с2 – 5 = 2,
с4 = с3 – 5 = –3  и т. д.
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий