Урок 6. Формула суммы n-го члена арифметической прогрессии

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Ответ можно получить непосредственным сложением чисел. Однако такой способ решения очень трудоёмкий. Попробуем найти нужный результат иначе.

Запишем сумму натуральных чисел от  1  до  100  дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором – в порядке убывания:

    1 +   2 +   3 + … + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + … +   3 +   2 +     1.

Легко заметить, что сумма пар чисел, расположенных друг под другом, одна и та же:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …

… = 98 + 3 + 99 + 2 = 100 + 1.

Каждая такая пара чисел в сумме даст  101, число пар равно  100. Поэтому

Воспользуемся аналогичным примером для вывода формулы суммы  n  первых членов арифметической прогрессии.

Обозначим сумму  n  первых членов арифметической прогрессии  (a_n)  через  S_n, и выпишем эту сумму дважды, поменяв во втором случае порядок слагаемых на обратный:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-2 + a_n-1 + a_n,

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2 + … + a₃ + a₂ + a₁.

Сложим почленно эти равенства:

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + (a₃ + a_n-2) + …

… + (a_n-2 + a₃) + (a_n-1 + a₂) + (a_n + a₁).

В правой части равенства сумма каждой пары чисел равна  

a₁ + a_n.

Действительно,

a₂ + a_n-1 = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n;

a₃ + a_n-2 = (a₂ + d) + (a_n-1 – d) = a₂ + a_n-1,

но

a₂ + a_n-1 = a₁ + a_n,

следовательно,

a₃ + a_n-2 = a₁ + a_n

и т.д.

число таких пар равно  n. Поэтому

2S_n = (a₁ + a_n)×n.

Отсюда:

Сумма  n  первых членов арифметической прогрессии равна

ПРИМЕР:

Найти сумму первых  20  членов арифметической прогрессии  (а_n):

1;  3,5; … .

РЕШЕНИЕ:

Первый член прогрессии  1, разность  2,5. Найдём  20-й член этой прогрессии:

а₂₀ = 1 + 2,5(20 – 1) = 1 + 2,5 × 19 = 48,5.

Теперь можно вычислить искомую сумму:

В формуле

сумма  n  первых членов арифметической прогрессии выражена через первый член, n -й член и число суммируемых членов прогрессии. Иногда удобно пользоваться формулой суммы  n  первых членов, представленной в другом виде.

Заменим в формуле

член прогрессии  a_n  выражением

a₁ + d(n – 1).

Тогда

Итак,

В этой формуле сумма  n  первых членов прогрессии выражена через первый член, разность прогрессии и число членов.

ПРИМЕР:

Найдите сумму всех трёхцифровых чисел, кратных  4, и меньших  250.

РЕШЕНИЕ:

Указанные числа образуют арифметическую прогрессию, первый член которой  a₁ = 100, разность  d = 4. По формуле  n-го члена получим:

a_n = 100 + 4(n – 1) = 4n + 96.

Чтобы найти количество членов прогрессии, составим и решим неравенство:

4n + 96 < 250,

n < 38,5.

Поэтому, необходимо найти сумму  38  первых членов арифметической прогрессии. Находим:

ОТВЕТ:  6612

ПРИМЕР:

Шесть чисел образуют арифметическую прогрессию  (а_n). Сумма первых трёх её членов равна  –24, а сумма трёх остальных равна  12. Найдите эти числа.

РЕШЕНИЕ:

Учитывая, что

S₃ = –24, S₆= –24 + 12 = –12,

составим и решим систему:

a₁ = –8 – 4 = –12,

a₂ = –12 + 4 = –8,

a₃ = –8 + 4 = –4,

a₄ = –4 + 4 = 0,

a₅ = 0 + 4 = 4,

a₆ = 4 + 4 = 8.

ОТВЕТ:  –12;  –8;  –4;  0;  4;  8.

ПРИМЕР:

Арифметическая прогрессия  (а_n)  задана формулой общего члена

а_n = 7 – 3n.

Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

РЕШЕНИЕ:

а_n = 7 – 3n, a₁ = 4,  a₂ = 1,  d = –3.

ОТВЕТ:  –95

ПРИМЕР:

Найдите первый член арифметической прогрессии, разность которой равна  0,8, а сумма первых десяти членов равна  22 ?

РЕШЕНИЕ:

44 = 2a₁ + 7,2,  
2a₁ = 36,8,
a₁ = 18,4.

ОТВЕТ:  18,4

ПРИМЕР:

Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии  (а_n), если  а₁₂ = 52, а разность прогрессии   d = 5.

РЕШЕНИЕ:

а₁₂ = a₁ + 11d, 

а₁ = a₁₂ – 11d = 52 – 55 = –3.

ОТВЕТ:  294

• Задания к уроку 6

Другие уроки:

• Урок 1. Понятие последовательности
• Урок 2. Способы задания последовательностей
• Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности
• Урок 4. Определение арифметической прогрессии
• Урок 5. Формула n-го члена арифметической прогрессии
• Урок 7. Определение геометрической прогрессии
• Урок 8. Формула n-го члена геометрической прогрессии
• Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии