Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 2 июня 2019 г.

Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Пусть  (bn) – геометрическая прогрессия. Выпишем  n  первых членов этой прогрессии:

b1;  b2b3; …;  bn-1bn.

Обозначим сумму этих членов  Sn:

Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn-1 + bn.

Если  q = 1, то все члены прогрессии равны  b1  и  Sn = nb1.
Рассмотрим случай, когда  q 1.
Умножим обе части равенства   

Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn-1 + bn

на  q:

q Sn = b1 q + b2 q + b3 q + … + bn-1 q + bn q.

Но 

b1 q = b2, b2 q = b3, b3 q = b4, …, bn-1 q = bn.

поэтому

q Sn = b2 + b3 + b4 + … + bn q.

Вычтем почленно из равенства   

q Sn = b2 + b3 + b4 + … + bn q

равенство 

Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn-1 + bn,

получим:

q SnSn = bn q – b1.
Sn (q – 1) = bn q – b1

Так как  q 1, то сумма  n  первых членов геометрической прогрессии
ПРИМЕР:

Найти сумму десяти первых членов геометрической прогрессии  (bn):

1;  2;  4;  8; … .

РЕШЕНИЕ:

Первый член прогрессии  1, а знаменатель  2. Найдём  10-й  член этой прогрессии:

b10 = 1 × 210-1 = 29.

Теперь воспользуемся формулой
= 210 – 1 = 1024 – 1 = 1023.

ОТВЕТ:  1023

Иногда бывает удобно пользоваться формулой суммы  n  первых членов геометрической прогрессии, представленной в другом виде. Подставим в формулу
Где  q 1, вместо  bn  выражение  b1 qn-1, получим:
q 1.

В этой формуле сумма  n  первых членов геометрической прогрессии, знаменатель которой не равен  1, выражена через первый член, знаменатель прогрессии и число суммируемых членов.

ПРИМЕР:

Сумма трёх последовательных членов геометрической прогрессии равна  21, а сумма их квадратов равна  273. Найдите члены геометрической прогрессии.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим искомые члены геометрической прогрессии через  х, xq, xq2, тогда
или
Возведём обе две части первого уравнения системы в квадрат, а выражение  1 + q2 + q4  выразим у виде произведения

(1 – q + q2) (1 + q + q2)

тогда
Из последней системы получим
4q217q + 4 = 0;
q1 = 1/4,  q2 = 4.

Тогда

х1 = 16и  х2 = 1.

ОТВЕТ:  Искомыми членами геометрической прогрессии будут числа

16;  4;  1  или 
1;  4;  16.

ПРИМЕР:

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии  (bn), если 

b1 = 6b4 = 162.

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:  726

ПРИМЕР:

Геометрическая прогрессия  (bnзадана формулой общего члена

bn = 5 × 3n-1.

Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

РЕШЕНИЕ:

bn = 5 × 3n-1.
b1 = 5;  b2 = 15; 
q = 15 : 5 = 3.
ОТВЕТ:  605

Бесконечная геометрическая прогрессия.

В прогрессиях
с увеличением номера  n  модули их членов бесконечно уменьшаются, приближаясь к нулю. Прогрессии такого виду называют бесконечно убывающими.

Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть  |q| < 1.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессией  (bn)  называют число, до которого стремится сумма её первых  n  членов при неограниченном увеличении  n.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет вид:
ПРИМЕР:

Найдите сумму членов последовательности

2;  1;  1/2; … .

РЕШЕНИЕ:

Данная последовательность будет бесконечной геометрической прогрессией, у которой первый член равен  2, а знаменатель –1/2. Тогда сумма членов прогрессии равна:
ОТВЕТ:  4

ПРИМЕР:

Запишите в виде обыкновенной дроби число  0,3(27).

РЕШЕНИЕ:

0,3(27) = 0,3 + 0,027 + 0,00027 + …

Слагаемые  0,027; 0,00027; … будут членами бесконечной геометрической прогрессии с первым членом  0,027  и знаменателем 

q = 1/100  (|q| < 1).

Сумма её
Поэтому,
ОТВЕТ:  18/55
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий