Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Пусть  (b_n) – геометрическая прогрессия. Выпишем  n  первых членов этой прогрессии:

b₁;  b₂;  b₃; …;  b_n-1;  b_n.

Обозначим сумму этих членов  S_n:

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n-1 + b_n.

Если  q = 1, то все члены прогрессии равны  b₁  и  S_n = nb₁.

Рассмотрим случай, когда  q ≠ 1.

Умножим обе части равенства   

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n-1 + b_n

на  q:

q S_n = b₁ q + b₂ q + b₃ q + … + b_n-1 q + b_n q.

Но 

b₁ q = b₂, b₂ q = b₃, b₃ q = b₄, …, b_n-1 q = b_n.

поэтому

q S_n = b₂ + b₃ + b₄ + … + b_n q.

Вычтем почленно из равенства   

q S_n = b₂ + b₃ + b₄ + … + b_n q

равенство 

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n-1 + b_n,

получим:

q S_n – S_n = b_n q – b₁.

S_n (q – 1) = b_n q – b₁

Так как  q ≠ 1, то сумма  n  первых членов геометрической прогрессии

ПРИМЕР:

Найти сумму десяти первых членов геометрической прогрессии  (b_n):

1;  2;  4;  8; … .

РЕШЕНИЕ:

Первый член прогрессии  1, а знаменатель  2. Найдём  10-й  член этой прогрессии:

b₁₀ = 1 × 2^10-1 = 2⁹.

Теперь воспользуемся формулой

= 2¹⁰ – 1 = 1024 – 1 = 1023.

ОТВЕТ:  1023

Иногда бывает удобно пользоваться формулой суммы  n  первых членов геометрической прогрессии, представленной в другом виде. Подставим в формулу

Где  q ≠ 1, вместо  b_n  выражение  b₁ q^n-1, получим:

q ≠ 1.

В этой формуле сумма  n  первых членов геометрической прогрессии, знаменатель которой не равен  1, выражена через первый член, знаменатель прогрессии и число суммируемых членов.

ПРИМЕР:

Сумма трёх последовательных членов геометрической прогрессии равна  21, а сумма их квадратов равна  273. Найдите члены геометрической прогрессии.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим искомые члены геометрической прогрессии через  х, xq, xq², тогда

или

Возведём обе две части первого уравнения системы в квадрат, а выражение  1 + q² + q⁴  выразим у виде произведения

(1 – q + q²) (1 + q + q²)

тогда

Из последней системы получим

4q² – 17q + 4 = 0;

q₁ = ¹/₄,  q₂ = 4.

Тогда

х₁ = 16,  и  х₂ = 1.

ОТВЕТ:  Искомыми членами геометрической прогрессии будут числа

16;  4;  1  или 

1;  4;  16.

ПРИМЕР:

Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии  (b_n), если 

b₁ = 6,  b₄ = 162.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  726

ПРИМЕР:

Геометрическая прогрессия  (b_n)  задана формулой общего члена

b_n = 5 × 3^n-1.

Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

РЕШЕНИЕ:

b_n = 5 × 3^n-1.

b₁ = 5;  b₂ = 15; 

q = 15 : 5 = 3.

ОТВЕТ:  605

Бесконечная геометрическая прогрессия.

В прогрессиях

с увеличением номера  n  модули их членов бесконечно уменьшаются, приближаясь к нулю. Прогрессии такого виду называют бесконечно убывающими.

Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть  |q| < 1.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессией  (b_n)  называют число, до которого стремится сумма её первых  n  членов при неограниченном увеличении  n.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет вид:

ПРИМЕР:

Найдите сумму членов последовательности

2;  1;  ¹/₂; … .

РЕШЕНИЕ:

Данная последовательность будет бесконечной геометрической прогрессией, у которой первый член равен  2, а знаменатель –¹/₂. Тогда сумма членов прогрессии равна:

ОТВЕТ:  4

ПРИМЕР:

Запишите в виде обыкновенной дроби число  0,3(27).

РЕШЕНИЕ:

0,3(27) = 0,3 + 0,027 + 0,00027 + …

Слагаемые  0,027; 0,00027; … будут членами бесконечной геометрической прогрессии с первым членом  0,027  и знаменателем 

q = ¹/₁₀₀  (|q| < 1).

Сумма её

Поэтому,

ОТВЕТ:  ¹⁸/₅₅

• Задания к уроку 9

Другие уроки:

• Урок 1. Понятие последовательности
• Урок 2. Способы задания последовательностей
• Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности
• Урок 4. Определение арифметической прогрессии
• Урок 5. Формула n-го члена арифметической прогрессии
• Урок 6. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
• Урок 7. Определение геометрической прогрессии
• Урок 8. Формула n-го члена геометрической прогрессии