Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 3 июня 2019 г.

Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії

Нехай  (bn) – геометрична прогресія. Випишемо  n  перших членів цієї прогресії:

b1;  b2b3; …;  bn-1bn.

Позначимо суму цих членів  Sn:

Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn-1 + bn.

Якщо  q = 1, то усі члени прогресії рівні  b1  і  Sn = nb1.
Розглянемо випадок, коли  q 1.
Помножимо обидві частини рівності   

Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn-1 + bn

на  q:

q Sn = b1 q + b2 q + b3 q + … + bn-1 q + bn q.

Але

b1 q = b2, b2 q = b3, b3 q = b4, …, bn-1 q = bn.

тому

q Sn = b2 + b3 + b4 + … + bn q.

Віднімемо почленно з рівності   

q Sn = b2 + b3 + b4 + … + bn q

рівність

Sn = b1 + b2 + b3 + … + bn-1 + bn,

 отримаємо:

q SnSn = bn q – b1.
Sn (q – 1 )= bn q – b1

Оскільки  q ≠ 1, то сума  n  перших членів геометричної прогресії
ПРИКЛАД:

Знайти суму десяти перших членів геометричної прогресії  (bn):

1;  2;  4;  8; … .

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перший член прогресії  1, а знаменник  2. Знайдемо  10-й  член цієї прогресії:

b10 = 1 × 210-1 = 29.

Тепер скористаємося формулою
= 1024 – 1 = 1023.

ВІДПОВІДЬ:  1023

Іноді буває зручно користуватися формулою суми  n  перших членів геометричної прогресії, представленої в іншому виді. Підставимо у формулу
де  q 1, замість  bn  вираження  b1 qn-1, отримаємо:
q 1.

У цій формулі сума  n  перших членів геометричної прогресії, знаменник якої не дорівнює  1, виражена через перший член, знаменник прогресії і число підсумовуваних членів.

ПРИКЛАД:

Сума трьох послідовних членів геометричної прогресії дорівнює  21, а сума їх квадратів дорівнює  273. Знайдіть члени геометричної прогресії.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо шукані члени геометричної прогресії через  х, xq, xq2, тоді
або
Зведемо обоє дві частини першого рівняння системи в квадрат, а вираження  1 + q2 + q4  виразимо у виді добутку

(1 – q + q2) (1 + q + q2)

тоді
З останньої системи отримаємо
4q217q + 4 = 0;
q1 = 1/4,  q2 = 4.

Тоді

х1 = 16і  х2 = 1.

ВІДПОВІДЬ:

Шуканими членами геометричної прогресії будуть числа

16;  4;  1  або 
1;  4;  16.

ПРИКЛАД:

Знайдіть суму п'яти перших членів геометричної прогресії  (bn), якщо 

b1 = 6b4 = 162.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ:  726

ПРИКЛАД:

Геометрична прогресія  (bnзадана формулою загального члена

bn = 5 × 3n-1.

Знайдіть суму п'яти перших членів прогресії.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

bn = 5 × 3n-1.
b1 = 5;  b2 = 15; 
q = 15 : 5 = 3.
ВІДПОВІДЬ:  605

Нескінченна геометрична прогресія.

У прогресіях
зі зростанням номера  n  модулі їхніх членів необмежено зменшуються, наближаючись до нуля. Прогресії такого виду називають нескінченно спадними.

Геометричну прогресію називають нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менший за одиницю, тобто  |q| < 1.

Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії  (bn)  називають число, до якого прямує сума її перших  n  членів за необмеженого збільшення  n.

Формула суми нескінченно спадної геометричної прогресії має вигляд:
ПРИКЛАД:

Знайти суму членів послідовності

2;  1;  1/2; … .

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Задана послідовність є нескінченною геометричною прогресією, у якій перший член дорівнює  2, а знаменник –1/2. Тоді сума членів прогресії дорівнює:
ВІДПОВІДЬ:  4

ПРИКЛАД:

Запишіть у вигляді звичайного дробу число  0,3(27).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

0,3(27) = 0,3 + 0,027 + 0,00027 + …

Доданки  0,027: 0,00027: … є члени нескінченної геометричної прогресії з першим членом  0,027  і знаменником 

q = 1/100  (|q| < 1).

Сума її
Тому,
ВІДПОВІДЬ:  18/55

Завдання до уроку 9
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий