Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії

Нехай  (b_n) – геометрична прогресія. Випишемо  n  перших членів цієї прогресії:

b₁;  b₂;  b₃; …;  b_n-1;  b_n.

Позначимо суму цих членів  S_n:

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n-1 + b_n.

Якщо  q = 1, то усі члени прогресії рівні  b₁  і  S_n = nb₁.

Розглянемо випадок, коли  q ≠ 1.

Помножимо обидві частини рівності   

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n-1 + b_n

на  q:

q S_n = b₁ q + b₂ q + b₃ q + … + b_n-1 q + b_n q.

Але

b₁ q = b₂, b₂ q = b₃, b₃ q = b₄, …, b_n-1 q = b_n.

тому

q S_n = b₂ + b₃ + b₄ + … + b_n q.

Віднімемо почленно з рівності   

q S_n = b₂ + b₃ + b₄ + … + b_n q

рівність

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n-1 + b_n,

 отримаємо:

q S_n – S_n = b_n q – b₁.

S_n (q – 1 )= b_n q – b₁

Оскільки  q ≠ 1, то сума  n  перших членів геометричної прогресії

ПРИКЛАД:

Знайти суму десяти перших членів геометричної прогресії  (b_n):

1;  2;  4;  8; … .

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перший член прогресії  1, а знаменник  2. Знайдемо  10-й  член цієї прогресії:

b₁₀ = 1 × 2^10-1 = 2⁹.

Тепер скористаємося формулою

= 1024 – 1 = 1023.

ВІДПОВІДЬ:  1023

Іноді буває зручно користуватися формулою суми  n  перших членів геометричної прогресії, представленої в іншому виді. Підставимо у формулу

де  q ≠ 1, замість  b_n  вираження  b₁ q^n-1, отримаємо:

q ≠ 1.

У цій формулі сума  n  перших членів геометричної прогресії, знаменник якої не дорівнює  1, виражена через перший член, знаменник прогресії і число підсумовуваних членів.

ПРИКЛАД:

Сума трьох послідовних членів геометричної прогресії дорівнює  21, а сума їх квадратів дорівнює  273. Знайдіть члени геометричної прогресії.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо шукані члени геометричної прогресії через  х, xq, xq², тоді

або

Зведемо обоє дві частини першого рівняння системи в квадрат, а вираження  1 + q² + q⁴  виразимо у виді добутку

(1 – q + q²) (1 + q + q²)

тоді

З останньої системи отримаємо

4q² – 17q + 4 = 0;

q₁ = ¹/₄,  q₂ = 4.

Тоді

х₁ = 16,  і  х₂ = 1.

ВІДПОВІДЬ:

Шуканими членами геометричної прогресії будуть числа

16;  4;  1  або 

1;  4;  16.

ПРИКЛАД:

Знайдіть суму п'яти перших членів геометричної прогресії  (b_n), якщо 

b₁ = 6,  b₄ = 162.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:  726

ПРИКЛАД:

Геометрична прогресія  (b_n)  задана формулою загального члена

b_n = 5 × 3^n-1.

Знайдіть суму п'яти перших членів прогресії.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

b_n = 5 × 3^n-1.

b₁ = 5;  b₂ = 15; 

q = 15 : 5 = 3.

ВІДПОВІДЬ:  605

Нескінченна геометрична прогресія.

У прогресіях

зі зростанням номера  n  модулі їхніх членів необмежено зменшуються, наближаючись до нуля. Прогресії такого виду називають нескінченно спадними.

Геометричну прогресію називають нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менший за одиницю, тобто  |q| < 1.

Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії  (b_n)  називають число, до якого прямує сума її перших  n  членів за необмеженого збільшення  n.

Формула суми нескінченно спадної геометричної прогресії має вигляд:

ПРИКЛАД:

Знайти суму членів послідовності

2;  1;  ¹/₂; … .

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Задана послідовність є нескінченною геометричною прогресією, у якій перший член дорівнює  2, а знаменник –¹/₂. Тоді сума членів прогресії дорівнює:

ВІДПОВІДЬ:  4

ПРИКЛАД:

Запишіть у вигляді звичайного дробу число  0,3(27).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

0,3(27) = 0,3 + 0,027 + 0,00027 + …

Доданки  0,027: 0,00027: … є члени нескінченної геометричної прогресії з першим членом  0,027  і знаменником 

q = ¹/₁₀₀  (|q| < 1).

Сума її

Тому,

ВІДПОВІДЬ:  ¹⁸/₅₅

Завдання до уроку 9
Інші уроки:

• Урок 1. Поняття послідовності
• Урок 2. Способи завдання числової послідовності
• Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності
• Урок 4. Визначення арифметичної прогресії
• Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії
• Урок 6. Формула суми n перших членів арифметичній прогресії
• Урок 7. Визначення геометричної прогресії
• Урок 8. Формула n-го члена геометричної прогресії