Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 1. Понятие вектора

ВИДЕО УРОК

Векторы – это очень важное понятие, которое широко используется математиками и физиками.

Прежде всего, понятие вектора тесно связано с изучением векторных величин.

Некоторые величины в математике и физике, такие, как расстояние, площадь, объём, температура, работа, масса, характеризуются в процессе их измерения только соответствующим числом, при этом такая характеристика полная. Такие величины в математике называются скалярными. Значения скалярных величин могут быть однозначно отмечены на координатной прямой или шкале.

Но есть и достаточно много других величин, таких, как перемещение, скорость, ускорение, сила, напряжение и другие величины, для характеристики которых числа (числового значения) мало. Необходимо знать ещё и направление, в котором осуществляется действие этой величины. Поэтому эти величины относятся к так называемым векторным величинам, которые характеризуются численным значением и направлением. В математике и физике такие отрезки принято называть направленными. Это привело к появлению понятия вектора. Векторы придумали для того, чтобы изображать и применять векторные величины.

Отрезок – часть прямой, состоящая из двух точек, принадлежащих этой прямой и всех точек прямой, лежащих между двумя данными точками, которые называются концами отрезка.

ПРИМЕР:

На рисунке изображён отрезок АВ (или ВА).

Вектор – направленный отрезок, т. е. отрезок, у которого один из концов считается началом, а другой – концом.

На рисунке вектор изображается как отрезок со стрелкой в той точке, которая считается концом отрезка.Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка А является началом вектора

то мы будем говорить, что вектор

приложен к точке А.

Вектор обозначается двумя заглавными латинскими буквами, со стрелкой над ними или одной строчной латинской буквой, так же со стрелкой над ней.

ПРИМЕР:

На рисунке изображены векторы

Процесс изображения векторов часто называют откладыванием вектора от точки.

ПРИМЕР:

Подъёмный кран за некоторый промежуток времени сместился вправо на расстояние 40 м. Это означает, что все его точки сместились вправо на 40 м. На рисунке это показано двумя стрелками, выходящими из вершины крана В и из точки крана А, и оной общей стрелкой внизу рисунка.

Таким образом, в данном примере фигура крана при параллельном переносе в направлении луча АА₁ на расстояние АА₁ перешла в другую фигуру крана, а точка А перешла в точку А₁, точка В перешла в точку В₁ и так далее.

Итак

1) лучи АА₁, ВВ₁, СС₁ сонаправленные;

2) расстояния АА₁, ВВ₁, СС₁ равны.

АА₁= ВВ₁ = СС₁.

Нулевой вектор – вектор, у которого начало совпадает с концом.

Изображение нулевого вектора на рисунке – точка. Нулевой вектор обозначается символом

или повторением этой точки дважды.

ПРИМЕР:

Длина вектора.

Длина ненулевого вектора (абсолютная величина или модуль вектора) – длина отрезка, которым изображается данный вектор.

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху.

ПРИМЕР:

Модулем вектора

является число b.

Для модуля векторов употребляется тот же знак, что и для модуля чисел и пишут, например,

ПРИМЕР:

Запись:

читается: модуль (или длина) вектора
равен 5.

Длина вектора

обозначается

длина вектора

обозначается

Длину нулевого вектора считают равной нулю:

ПРИМЕР:

На рисунке

Коллинеарные векторы.

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, которые расположены или на одной прямой, или на параллельных прямых.

ПРИМЕР:

Векторы
коллинеарные векторы.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо противоположны.

ПРИМЕР:

На рисунке
векторы
коллинеарные, а на рисунке
векторы
неколлинеарные.

ПРИМЕР:

На рисунке

коллинеарны векторы

а также

Не коллинеаны

Сонаправленные векторы – коллинеарные векторы одинакового направления. Обозначаются знаком

<< ↑↑ >>.

Нулевой вектор сонаправлен с с любым вектором.

Противоположно направленные векторы – коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления. Обозначаются знаком

<< ↑↓ >>.

ПРИМЕР:

На рисунке

Сонаправлены векторы

Противоположно направлены векторы

Свойства коллинеарных ненулевых векторов.

Равные векторы.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Обозначаются с помощью знака равно.

ПРИМЕР:

На рисунке слева изображены неравные векторы
а справа – равные векторы
Равенство векторов

записывается так:

Эта запись означает, что:

1) луч АВ сонаправлен лучу СD;

2) длины отрезков АВ и СD равны

Отложить от данной точки вектор, равный данному вектору, значит построить направленный отрезок с началом в этой точке, изображающий данный вектор.

Поскольку через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной, то из определения равенства векторов вытекает следующее утверждение.

Каковы бы ни были вектор
и точка Р, существует единственный вектор с началом в точке Р, равный вектору
Иными словами, точка приложения вектора

может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называются свободными. Делаем вывод, что

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

ПРИМЕР:

На рисунке
от точки А отложен вектор
равный вектору

ПРИМЕР:

На рисунке

так как

Все нулевые векторы считаются равными. Вектор

считается отложенным от точки А, если точка А является началом этого вектора. От любой точки К можно отложить вектор, который будет равен данному вектору