ВИДЕО УРОК
Система координат в пространстве.
Выберем начало координат. Проведём три взаимно перпендикулярные оси
Х, Y и Z.
Зададим удобный масштаб.
Х, Y и Z.
ПРИМЕР:
Запись
М(–1; 3; 2)
означает что координата точки М по Х (абсцисса) равна –1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задаётся тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора ? Как и на плоскости – из координаты конца вычитаем координату начала.
А(XA; YA; ZA) и B(XB; YB; ZB)
можно найти воспользовавшись следующей формулой:
ПРИМЕР:
Даны
точки
F(–2; –1; 0) и
E(0; –1;
–2).
Даны
точки
A1(10; 5;
–4),
A2(–8; 6;
3),
A3(1; 1;
–1),
A4(0; 0;
1).
Пусть точка М – середина отрезка АВ. Её координаты находятся по формуле:
Длина вектора
а1, a2 a3 – его координаты.
Единичным называется вектор
Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.
ПРИМЕР:
Даны
точки
А(2;
3; –1),
В(–5; 3; 0).
Найти
длину (модуль) отрезка АВ.
РЕШЕНИЕ:
Даны
точки
А(0; 2; 5),
В(–4; 7; 15).
Найдём
вектор
Вычислим длину вектора.
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:
Найти длину вектора:
РЕШЕНИЕ:
Используя формулу, получаем:
ПРИМЕР:
Найдите координаты и длину векторов
А(2; –3; –1),
В(–4;
–8; 5),
С(3;
1; –2)
РЕШЕНИЕ:
Если
то
Если
то
РЕШЕНИЕ:
так как их координаты равны,
так как их координаты не равны,
так как их координаты не равны,
ПРИМЕР:
Противоположные векторы в пространстве.
Если имеем:
Если есть векторы:
ПРИМЕР:
коллинеарны ?
РЕШЕНИЕ:
Какие
из векторов
примет вид:
Значит:
Вектора
коллинеарны так как
Вектора
не коллинеарны так как
Вектора
не коллинеарны так как
ПРИМЕР:
Найдите значения m и n, при которых векторы
коллинеарные.
РЕШЕНИЕ:
У коллинеарных векторов координаты пропорциональны, откуда:
Имеем два уравнения:
ОТВЕТ:
m = 1, n = –10.
векторы
компланарны, так как точки О,
А, В и С лежат в одной плоскости.
Векторы
не компланарны, так как точки А,
В, D и О не
лежат в одной плоскости
оси Оy – через
оси Оz – через
Пусть в пространстве введена прямоугольная
система координат с единичными векторами
координатных осей Ох, Оу, Оz. Тогда вектор
единственным образом представляется в виде
Числа
относительно векторов
которые называются базисными векторами или, короче, базисом.
Для вектора
расположенного в пространстве, разложение по
ортам координатных осей имеет вид:
ПРИМЕР:
Вектора
Найдите значения m и n, при которых векторы
РЕШЕНИЕ:
У коллинеарных векторов координаты пропорциональны, откуда:
m = 1, n = –10.
Кроме понятия
коллинеарности векторов, вводится понятие компланарности векторов.
Три вектора называют
компланарными, если изображающие их направленные отрезки лежат в параллельных
плоскостях или в одной плоскости.
ПРИМЕР:
Векторы
Разложение
вектора по ортам координатных осей.
Система ортов (или базисная система векторов) – это система единичных векторов осей
координат.
ax, ay, az
Для вектора
Зная разложение
по базисной системе
векторов:
записать координаты
этого вектора в пространстве.
РЕШЕНИЕ:
Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что
получаем, что
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:
Вектор
задан своими координатами:
Записать разложение данного
вектора по ортам осей координат.
РЕШЕНИЕ:
Координаты вектора – это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе, поэтому искомое разложение:
ОТВЕТ:
РЕШЕНИЕ:
Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что
Вектор
РЕШЕНИЕ:
Координаты вектора – это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе, поэтому искомое разложение:
Задания к уроку 5
ДРУГИЕ УРОКИ
Комментариев нет:
Отправить комментарий