Урок 15. Наближенні обчислення

ВИДЕО УРОК

Числа точні і наближені.

У практичній діяльності люди постійно мають справу із значеннями різних величин: довжини, площ, об’ємів, мас, температур та інших.

Числа, що зустрічаються на практиці, бувають двох пологів. Одні дають істинне значення величини, інші – тільки приблизне. Перші називають точними, другі – наближеними.

Точне значення величини вдається знайти лише в деяких випадках.

ПРИКЛАД:

Можна точно вказати число вагонів залізничного поїзда.

Точно підрахувати, скільки учнів є одночасно в класі.

ПРИКЛАД:

У книзі  512 сторінки, число  512 – точне.

У шестикутнику  9  діагоналей, число  9 – точне.

У класі є  29  учнів, то число 29 – точне.

Проте здебільшого доводиться мати справу лише з наближеними значеннями величин.

Найчастіше зручно користуватися наближеними числами замість точного, тим паче, що у багатьох випадках точне число взагалі знайти неможливо. Числа, які ми називаємо наближеними, інакше кажучи, вірними тільки приблизно, але не абсолютно точно, постійно зустрічаються нам в житті на практиці. Наближені числа можуть виходити передусім при рахунку предметів, якщо цих предметів надто багато і їх чому – або важко або навіть не можна підрахувати точно. Звичайно, в результаті рахунку предметів можуть виходити і точні числа, якщо предметів не надто багато, якщо їх число не занадто швидко міняється і якщо їх без утруднень можна підраховувати.

ПРИКЛАД:

Лише приблизно оцінюють:

– кількість глядачів телепередачі,

– кількість перелітних птахів,

– кількість дерев у ліси.

ПРИКЛАД:

Якщо ж говорять, що відстань від Москви до Києва дорівнює  960 км, то тут число  960 – наближене, оскільки з одного боку, наші вимірювальні інструменти не абсолютно точні, з іншого боку, самі міста мають деяку протяжність.

Продавець зважив на автоматичних вагах  50 г  олії. Число  50 - наближене, оскільки ваги нечутливі до збільшення або зменшення ваги на  0,5 г.

Наближені значення дістають внаслідок вимірювань.

Чи можна виміряти довжину рейки точно ? Ні. Навіть якщо почуєте, що довжина якоїсь рейки дорівнює, наприклад,  9,42783 м, не вірте цьому. Адже довжину такої рейки з точністю до сотої долі міліметра не можна виміряти. Результат кожного вимірювання – наближене значення величини.

Неможливо, точно виміряти довжину стержня. Адже вимірювання ми проводимо з допомогою якогось приладу (лінійки, штангенциркуля, мікрометра, оптиметра (оптико-механічний вимірювальний прилад) тощо), а точність вимірювання приладом завжди обмежена. Крім того, виготовляючи прилад у заводських умовах, гарантують лише той чи інший ступінь точності його виготовлення. Нарешті, виконуючи вимірювання, ми можемо припускатися помилок, пов’язаних з нашим досвідом роботи і особистими якостями.

Неможливо точно виміряти площу земельної ділянки, температуру повітря, швидкість польоту літака і так далі.

Наближені значення дістають при округленні істинних значень величин.

Наближені і точні числа записуються за допомогою десяткових дробів. Береться тільки середнє значення, оскільки точне може бути нескінченне довгим. Щоб зрозуміти, як записувати ці числа, необхідно дізнатися про вірні і сумнівні цифри.

Вірними називаються такі цифри, розряд яких перевершує абсолютну погрішність числа.

Якщо ж розряд цифри менше абсолютної погрішності, вона називається сумнівною.

ПРИКЛАД:

Для дробу  3,6714  з погрішністю  0,002  вірними будуть цифри  3, 6, 7, а сумнівними  1  і  4. У записі наближеного числа залишають тільки вірні цифри. Дріб виглядатиме таким чином – 3,67.

ПРИКЛАД:

Число  2,19563  у розрахунку, який не потребує високої точності, можна округлити, замінивши його числом  2,196  або навіть числом  2,20, які є наближеними значеннями числа  2,19563  з надлишком.

Отже, в різних випадках і в різних обставинах рахунок предметів може приводити і до точного і до наближеного числа.

Межі значення величини.

Всякий вимір (довжини, ваги і т. д.) виконується тільки приблизно. Іноді, навіть в тих випадках, коли можна встановити істинне значення величини, буває досить знати лише її наближене значення. Між істинною величиною предмета і числом, отриманим при вимірі (чи підрахунку), буває деяка, хоч би і невелика різниця.

ПРИКЛАД:

Розглянемо процес визначення маси деталі з допомогою важільних терезів і набору важків, найдрібніший з яких має масу  1 г.

За допомогою двох  зважувань установили, що маса деталі більша від  20 г, але менша від  30 г.

Позначимо масу деталі в грамах через  m, тоді результат зважування можна записати у вигляді подвійної нерівності:

20 < m < 30.

Замінивши потім важок  10 г  важком  5 г, переконаємося, що маса деталі більша від  25 г,

тобто

25 < m < 30.

Поклавши на шальку терезів з гирками ще  2 г, помітимо, що маса деталі менша від  27 г.

25 < m < 27.
Замінивши віжок  2 г  важком  1 г, встановимо, що маса деталі більша за  26 г.

26 < m < 27.

Оскільки дрібніших важків немає, то процес визначення маси на цьому стані закінчимо.

Зважуваннями ми знайшли наближені значення маси деталі в грамах:

26 – наближення з недостачею,

27 – наближення з надлишком.

Іншими словами, ми встановили межі значення маси в грамах. Число  26 – нижня межа, число  27 – верхня межа.

Зауважимо, що коли б найдрібнішим був важок  2 г, то межами значення маси деталі в грамах були б числа  25  і  27, тобто масу було б визначено менш точно.

Знаючи межі значення деякої величини, можна оцінити значення іншої величини, яка залежить від першої.

ПРИКЛАД:

Нехай відомі наближені значення (в см) з недостачею і з надлишком довжини  а  сторони рівностороннього трикутника:

5,4 ≤ а ≤ 5,5.

Треба знайти межі периметра  Р.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Периметр рівностороннього трикутника обчислюється за формулою:

Р = 3а.

З умови  а ≥ 5,4  випливає, що  3а ≥ 16,2.

З умови  а ≤ 5,5  випливає, що  3а ≤ 16,5.

Числа  16,2  і  16,5 – наближені значення периметра (в см)  з недостачею і надлишком:

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

Записати розв’язання можна і так:

5,4 ≤ а ≤ 5,5,

5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,

тобто

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

ПРИКЛАД:

Нехай відомі межі якогось числа  х:

3 < х < 6.

Треба оцінити значення виразу  ¹/_х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З умови задачі випливає, що  х – число додатне.

Оскільки  х ˃ 3, то

¹/_х < ¹/₃.

Оскільки  х < 6, то

¹/_х ˃ ¹/₆.

Виходить, що

¹/₆ < ¹/_х < ¹/₃.

Замінимо межі значення виразу  ¹/_х  десятковими дробами. Число  ¹/₆  можна замінити лише меншим числом (будь-яким наближенням з недостачею), а число ¹/₃ – лише більшим (наближенням з надлишком). Оскільки

¹/₆ = 0,166…   

¹/₃ = 0,333… ,

То межами значення виразу  ¹/_х  можуть бути десяткові дроби  0,1  і  0,4.

0,1 < ¹/_х < 0,4.

Замінивши нижню межу числом  0,1, а верхню – числом  0,4, ми розширимо проміжок, якому належать значення виразу  ¹/_х.

Коли б ми зробили інакше, округливши нескінченні десяткові дроби

0,166…  і  0,333…

за відомими правилами округлення, то дістали б, що

0,2 < ¹/_х < 0,3.

Але тоді невідоме нам точне значення виразу  ¹/_х  могло б опинитись поза здобутими межами.

Спосіб запису наближених чисел.

Наближені значення зазвичай записують так, щоб по запису можна було судити про точність наближення.

ПРИКЛАД:

На рулоні шпалер написано, що його довжина дорівнює 

18 ± 0,3 м.

Цей запис означає, що довжина рулону дорівнює  18 м  з точністю до  0,3 м, тоб то. точне значення довжини може відрізнятися від наближеного значення, рівного  18 м, не більше ніж на  0,4 м. Іншими словами довжина рулону повинна знаходитися між 

18 – 0,3 = 17,7  і 

18 + 0,3 = 18,3.

 ПРИКЛАД:

Якщо вимірюючи довжину  х  деякої рейки, виявили, що вона більша від  6,427 м  і менша від  6,429 м, то записують:

х = 6,428 ± 0,001 м.

Говорять, що значення довжини рейки знайдено з точністю до  0,001 м (одного міліметра).

ПРИКЛАД:

При наближених обчисленнях відрізняють запис  2,4  від  2,40, запис  0,02  від  0,0200  і так далі.

Запис  2,4  означає, що вірні тільки цифри цілих і десятих, істинне ж значення числа може бути, наприклад, 2,43  або  2,38 (при відкиданні цифри  8  відбувається округлення у бік збільшення попередньої цифри).

Запис  2,40  означає, що вірні і соті долі, істинне число може бути  2,403  або  2,398, але не  2,421  і не  2,382.

Та ж відмінність робиться і для цілих чисел. Запис  382  означає, що усі цифри вірні, якщо ж за останню цифру ручатися не можна, то число округляється, але записується не у вигляді  380, а у вигляді  38 ∙ 10. Запис же  380  означає, що остання цифра  (0)  вірна.

Якщо в числі  4720  вірні лише перші дві цифри, його треба записати виді  47 ∙ 10², або це число можна також записати у вигляді  4,7 ∙ 10³  і так далі.

Значущими цифрами називаються усі вірні цифри числа, окрім нулів, що стоять попереду числа.

ПРИКЛАД:

У числі  0,00385  три значущі цифри.

У числі  0,03085  чотири значущі цифри

У числі  2500 – чотири

У числі  2,5 ∙ 10² – дві.

Число значущих цифр деякого числа називається його значністю

Через те що ми не можемо виконати нескінченного процесу ділення, то ми повинні припинити ділення на якому-небудь десятковому знаку, тобто виконати наближене ділення. Ми можемо, наприклад, припинити ділення на першому десятковому знаку, тобто обмежитись десятими частинами; в разі потреби ми можемо спинитися на другому десятковому знаку, діставши соті частини, і т. д. У таких випадках говорять про наближене перетворення звичайних дробів у десяткові. У цих випадках говорять, що ми округляємо нескінченний десятковий дріб. Округлення робиться з тією точністю, яка потрібна для розв’язання даної задачі.

Обчислення з наближеними даними.

Обчислення з наближеними даними постійно використовується в практичних завданнях, при цьому результат обчислень зазвичай округлюють. Результат дій з наближеними числами є теж наближене число. Виконуючи деякі дії над точними числами, можна так само отримати наближені числа.

При складанні і відніманні наближених чисел в результаті слід зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх в наближеному даному з найменшим числом десяткових знаків, т. е. залишають в результаті стільки знаків після коми, скільки їх міститься в менш точному даному.

ПРИКЛАД:

Нехай

х ≈ 17,2  і  у ≈ 8,407.

Знайдемо наближене значення суми  х  і  у.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

х + у ≈ 25,607.

З цих наближених значень  17,2  і  8,407  менш точним є перше. Округливши результат по першому даному, т. е. до десятих, отримаємо:

х + у ≈ 25,6.

ПРИМЕР:

Нехай

х ≈ 6,784  и 

у ≈ 4,91.

Знайдемо наближене значення різниці  х  і  у.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

х – у ≈ 1,874.

З цих наближених значень  6,784  і  4,91  менш точним є друге. Округливши результат по другому даному, тобто до сотих, отримаємо:

х – у ≈ 1,87.

ПРИКЛАД:

Знайдіть різницю наближених значень 

х = 1,52 ± 0,01  і 

у = 0,27 ± 0,02.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Цим наближеним значенням відповідають подвійні нерівності

1,51 ≤ х ≤ 1,53  и 

0,25 ≤ у ≤ 0,29.

Помножимо усі частини останньої подвійної нерівності на  –1, отримаємо

–0,29 ≤ –у ≤ –0,25.

Додавши цю подвійну нерівність до першої, отримаємо

1,22 ≤ х – у ≤ 1,28, або  

х – у = 1,25 ± 0,03.

Трохи інакше поступають при множенні і діленні наближених значень. Тут округлення робиться з урахуванням відносної точності даних. В цьому випадку знаходять твір або частку наближених значень і результат округлюють по менш точному даному, маючи зважаючи на відносну точність. Для цього початкові дані і отриманий результат записують в стандартному виді 

а × 10ⁿ,

і множник  а  результату округлюють, залишаючи в нім стільки знаків після коми, скільки їх має відповідний множник в менш точному даному.

ПРИКЛАД:

Нехай 

х ≈ 0,86  і 

у ≈ 27,1.

Знайдемо наближене значення добутку  х  і  у.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перемноживши  0,86  и  27,1,  отримаємо:

ху ≈ 23,306.

Запишемо ці числа і результат в стандартному виді:

0,86 = 8,6 × 10^-1;   

27,1 = 2,71 × 10¹;   

23,306 = 2,3306 × 10¹.

У множнику  8,6  одна цифра після коми, а в множнику  2,71 дві цифри після коми. Округлимо число  2,2306  по першому даному, т. е. до десятих. Отримаємо:

ху ≈ 2,3 × 10¹ = 23.

ПРИКЛАД:

Нехай

х ≈ 60,2  і 

у ≈ 80,1.

Знайдемо наближене значення добутку  х  і  у.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відомо, що усі виписані цифри вірні, так що істинні величини можуть відрізнятися від наближених лише сотими, тисячними і так далі долями.

У добутку отримуємо  4822,02. Тут можуть бути невірними не лише цифри сотих і десятих, але і цифри одиниць.

Нехай, наприклад, співмножники отримані округленням точних чисел  60,23  і  80,14. Тоді точний добуток буде  4826,8322, так що цифра одиниць в наближеному творі  (2)  відрізняється від точної цифри   (6)  на  4  одиниці.

ПРИКЛАД:

Нехай 

х ≈ 563,2  і 

у ≈ 32.

Знайдемо наближене значення частки  х  і  у.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розділивши  563,2  на  32, отримаємо:

х : у ≈ 17,6.

Запишемо ці числа і результат в стандартному виді:

563,2 = 5,632 × 10²;   

32 = 3,2 × 10;   

17,6 = 1,76 × 10.

З цього запису видно, що число  1,76  слід округлити по другому даному, т. е. до десятих. Отримаємо:

х : у ≈ 1,8 × 10 ≈ 18.

При множенні і діленні наближених чисел треба в результатах зберігати стільки значущих цифр, скільки їх було в наближеному даному з найменшим числом значущих цифр.

Таким чином, при складанні, відніманні, множенні і діленні наближених значень результат округляється по менш точному даному. При цьому при складанні і відніманні ці числа записуються в десяткових дробах і менш точне дане визначається по абсолютній точності, а при множенні і діленні ці числа записуються в стандартному виді і менш точне дане визначається по відносній точності.

Теорія наближених обчислень дозволяє:

– знаючи міру точності даних, оцінити міру точності результатів;

– брати дану з належною мірою точність, достатній для забезпечення необхідній точності результату;

– раціоналізувати процес обчислення, звільнивши його від тих викладень, які не вплинуть на точність результату.

Завдання до уроку 15

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Числові нерівності
• Урок 2. Властивості числових нерівностей
• Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей
• Урок 4. Числові проміжки
• Урок 5. Лінійні нерівності
• Урок 6. Системи лінійних нерівностей
• Урок 7. Нелінійні нерівності
• Урок 8. Системи нелінійних нерівностей
• Урок 9. Дробово-раціональні нерівності
• Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків
• Урок 11. Нерівність з модулем
• Урок 12. Ірраціональні нерівності
• Урок 13. Нерівності з двома змінними
• Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними
• Урок 16. Абсолютна і відносна погрішність