Різниця між істинним
значенням вимірюваної величини і її наближеним значенням називається абсолютною
погрішністю.
Для підрахунку абсолютної погрішності необхідно з
більшого числа відняти менше число.
Існує формула абсолютної погрішності. Позначимо
точне число буквою А,
а буквою а – наближення до
точного числа. Наближене число – це число, яке трохи відрізняється від точного
і зазвичай замінює його в обчисленнях. Тоді формула виглядатиме таким чином:
∆а = А – а.
ПРИКЛАД:
У
школі вчиться 374 учні. Якщо округлити це число
до 400,
то абсолютна погрішність виміру рівна:
400 – 374 = 26.
ПРИКЛАД:
На
підприємстві 1284
робітників і службовців. При округленні цього числа до 1300 абсолютна погрішність складає
1300 – 1284 = 16.
При
округленні до 1280
абсолютна погрішність складає
1284 – 1280 = 4.
Рідко коли можна точно знати значення вимірюваної
величини, щоб розрахувати абсолютну погрішність. Але при виконанні різних
вимірів ми зазвичай уявляємо собі межі абсолютної погрішності і завжди можемо
сказати, якого певного числа вона не перевершує.
ПРИКЛАД:
Торгові
ваги можуть дати абсолютну погрішність, що не перевищує 5 г,
а аптекарські – що не перевищує однією сотою грама.
Записують абсолютну погрішність числа, використовуючи
знак ±.
ПРИКЛАД:
Довжина
рулону шпалер складає
30 м ± 3
см.
Межу абсолютної погрішності називають граничною
абсолютною погрішністю.
Але абсолютна погрішність не дає нам уявлення про
якість виміру, тобто про те, наскільки ретельно цей вимір виконаний. Щоб
зрозуміти цю думку, досить розібратися в такому прикладі.
ПРИКЛАД:
Припустимо,
що при вимірі коридору завдовжки в 20 м
ми припустимо абсолютну погрішність всього тільки в 1
см Тепер уявимо собі, що, вимірюючи корінець книги, що має 18
см довжини, ми теж припустимо абсолютну
погрішність в 1 см. Тоді зрозуміло, що перший
вимір треба визнати чудовим, та зате друге – абсолютно незадовільним. Це
означає, що на 20 м
помилка в 1 см
цілком допустима і неминуча, але на
18 см
така помилка є дуже грубою.
ПРИКЛАД:
Для
виміру довжини болта використані метрова лінійка з діленнями 0,5 см і лінійка з діленнями 1
мм. В обох випадках отриманий результат 3,5 см. Ясні, що в першому випадку відхилення
знайденої довжини 3,5 см
від істинної, не повинно по модулю перевищувати 0,5 см,
в другому випадку 0,1 см.
Якщо
цей же результат вийде при вимірі штангенциркулем, то
p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤
0,01|.
Цей
приклад показує залежність абсолютної погрішності і меж, в яких знаходиться
точний результат, від точності вимірювальних приладів. У одному випадку ∆l = 0,5
і, отже,
3 ≤ l ≤ 4,
у
іншому – ∆l = 0,1 і
3,4 ≤ l ≤ 3,6.
ПРИКЛАД:
Довжина
аркуша паперу формату А4 дорівнює
(29,7 ± 0,1) см. А відстань від Санкт-Петербургу до
Москви дорівнює (650 ± 1)
км. Абсолютна погрішність в першому випадку не перевершує одного міліметра, а в
другому – одного кілометра. Необхідно порівняти точність цих вимірів.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Якщо
ви думаєте, що довжина листа виміряна точніше тому, що величина абсолютної погрішності не перевищує 1
мм, то ви помиляєтеся. Безпосередньо порівняти ці величини не можна. Проведемо
деякі міркування.
При
вимірі довжини листа абсолютна погрішність не перевищує 0,1
см на 29,7 см,
тобто в процентному відношенні це складає
0,1 : 29,7 ∙ 100% ≈
0,33%
вимірюваної
величини.
Коли
ми вимірюємо відстань від Санкт-Петербургу до Москви, то абсолютна погрішність
не перевищує 1 км
на 650 км, що в процентному співвідношенні
складає
1 : 650 ∙ 100% ≈ 0,15%
вимірюваної
величини.
Бачимо,
що відстань між містами виміряна точніше, ніж довжина аркуша паперу формату А4.
Істинне значення вимірюваної величини відоме буває
лише в дуже окремих випадках, а тому і дійсна величина абсолютної погрішності
майже ніколи не може бути вичислена. На практиці абсолютної погрішності
недостатньо для точної оцінки виміру. Тому на практиці важливіше значення має
визначення відносної погрішності виміру.
Відносна
погрішність.
Абсолютна погрішність, як ми переконалися, не дає можливості
судити про якість виміри. Тому для оцінки якості наближення вводиться нове
поняття - відносна погрішність. Відносна погрішність дозволяє судити про якість
виміри.
ПРИКЛАД:
Округлимо
дріб 14,7 до
цілих і знайдемо відносну погрішність наближеного значення:
ПРИКЛАД:
При
вимірі в (сантиметрах) товщину
b
скла і довжини l
книжкової полиці отримали наступні результати:
b ≈ 0,4 з точністю до 0,1,
l ≈ 100 з точністю до 0,1.
Абсолютна
погрішність кожного з цих вимірів не перевершує
0,1. Проте
0,1
складає істотну частину числа 0,4 і
нікчемну частину числа 100. Це показує, що якість другого виміру
набагато вища, ніж першого.
Аналогічно знайдемо, що відносна погрішність наближення, отриманого при вимірі довжини полиці, не перевершує
ПРИКЛАД:
Якщо
узяти абсолютну погрішність в 1 см, при вимірі довжини відрізків 10
см і
10 м, то відносні погрішності будуть
відповідно рівні 10%
і
0,1%. Для відрізку завдовжки в 10
см погрішність в 1
см дуже велика, це помилка в 10%. А для десятиметрового
відрізку 1
см не має значення, ця помилка всього в 0,1%.
Чим менше відносна погрішність виміру, тим воно точніше.
Розрізняють систематичні і випадкові погрішності.
Систематичною погрішністю називають ту погрішність,
яка залишається незмінною при повторних вимірах.
Випадковою погрішністю називають ту погрішність, яка
виникає в результаті дії на процес виміру зовнішніх чинників і може змінювати
своє значення.
У більшості випадків неможливо упізнати точне
значення наближеного числа, тобто і точну величину погрішності. Проте майже
завжди можна встановити, що погрішність (абсолютна або відносна) не перевершує
деякого числа.
ПРИКЛАД:
Продавець
зважує кавун на чашкових вагах. У наборі найменша гиря – 50 г.
Зважування показало 3600 г.
Це число – наближене. Точна вага кавуна невідома. Але абсолютна погрішність не
перевищує 50 г.
Відносна погрішність не перевершує
50/3600
≈ 1,4%.
Число, що свідомо
перевищує абсолютну погрішність (чи у гіршому разі рівне їй),
називається граничною абсолютною погрішністю.
Число, що свідомо
перевищує відносну погрішність (чи у гіршому разі рівне їй),
називається граничною відносною погрішністю.
У попередньому прикладі за граничну абсолютну погрішність можна
узяти 50
г,
а за граничну відносну погрішність 1,4%.
Величина граничної погрішності не є цілком визначеною. Так в
попередньому прикладі можна прийняти за граничну абсолютну погрішність 100
г,
150 г і взагалі всяке число, більше чим 50
г. На практиці береться по можливості
менше значення граничної погрішності. У тих випадках, коли відома точна
величина погрішності, ця величина служить одночасно граничною погрішністю. Для
кожного наближеного числа має бути відома його гранична погрішність (абсолютна
або відносна). Коли вона прямо не вказана, мається на увазі що гранична
абсолютна погрішність складає половину одиниці останнього виписаного розряду.
Так, якщо приведено наближене число 4,78 без вказівки граничної погрішності, то
мається на увазі, що гранична абсолютна погрішність складає 0,005. У наслідку цієї угоди завжди можна
обійтися без вказівки граничної погрішності числа.
На практиці відносну погрішність округлюють до двох
значущих цифр, виконуючи округлення з лишком, тобто, завжди збільшуючи останню
значущу цифру на одиницю.
ПРИКЛАД:
Довжина
олівця виміряна лінійкою з міліметровим діленням. Вимір показав 17,9 см. Яка гранична відносна погрішність цього
виміру ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Циліндричний поршень має близько 35 мм в діаметрі. З якою точністю треба його виміряти мікрометром, щоб гранична відносна погрішність складала 0,05% ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Дії
над наближеними числами.
Складання
і віднімання наближених чисел.
Абсолютна погрішність
суми двох величин дорівнює сумі абсолютних погрішностей окремих доданків.
Оцінка
погрішностей арифметичних дій.
ПРИКЛАД:
Складаються
наближені числа
265 і 32.
Нехай
гранична погрішність першого є 5, а другого 1.
Тоді гранична погрішність суми рівна
5 + 1 = 6.
Так,
якщо істинне значення першого є 270, а другого 33,
то наближена сума
265 + 32 = 297
на 6 менше за істинну
270 + 33 = 303.
ПРИКЛАД:
Знайти
суму наближених чисел:
0,0909 + 0,0833 +
0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Складання
дає наступний результат – 0,6187.
Гранична
погрішність кожного доданку
0,00005.
Гранична
погрішність суми:
0,00005 ∙ 9 = 0,00045.
Значить,
в останньому (четвертому) знаку суми можлива помилка до 5
одиниць. Тому округлюємо суму до третього знаку, тобто до тисячних.
Отримуємо 0,619, тут усі знаки вірні.
При значному числі доданків зазвичай відбувається взаємна
компенсація погрішностей, тому істинна погрішність суми лише у виняткових
випадках співпадає з граничною погрішністю або близька до неї. Наскільки рідкісні
ці випадки, видно з попереднього прикладу, де
9
доданків. Істинна величина кожного з них може відрізнятися в п'ятому знаку від
узятого наближеного значення на 1, 2, 3, 4 або навіть на
5
одиниць в ту і в інший бік.
Наприклад, перший доданок може бути більше свого істинного
значення на 4 одиниці п'ятого знаку,
друге – на дві, третє – менше істинного на одну одиницю і так далі.
Розрахунок показує, що число усіх можливих випадків розподілу
погрішностей складає біля одного мільярда. Між тим лише в двох випадках
погрішність суми може досягти граничної погрішності 0,00045, це станеться:
– коли істинна
величина кожного доданку більше наближеної величини на 0,00005;
– коли істинна
величина кожного доданку менше наближеної величини на 0,00005.
Значить, випадки, коли погрішність суми співпадає з граничною,
складають тільки 0,0000002%
усіх можливих випадків.
Подальший розрахунок показує, що випадки, коли погрішність суми
дев'яти доданків може перевищити три одиниці останнього знаку, теж дуже
рідкісні. Вони складають лише 0,07% з
числа усіх можливих. Дві одиниці останнього знаку погрішність може
перевищити 2%
усіх можливих випадків, а одну одиницю - приблизно в 25%.
У інших 75% випадків погрішність дев'яти доданків не
перевищує однієї одиниці останнього знаку.
ПРИКЛАД:
Знайти
суму точних чисел:
0,0909 + 0,0833 +
0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Складання
дає наступний результат – 0,6187.
Округлимо
їх до тисячних і складемо:
0,091 + 0,083 + 0,077 +
0,071 + 0,067
+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.
Гранична
погрішність суми:
0,0005 ∙ 9 = 0,0045.
Наближена
сума відрізняється від істинної на 0,0003, тобто на третину одиниці останнього
знаку наближених чисел. Усі три знаки наближеної суми вірні, хоча теоретично
остання цифра могла бути грубо невірною.
Зробимо
в наших доданках округлення до сотих. Тепер гранична погрішність суми буде:
0,005 ∙ 9 = 0,045.
Між
тим отримаємо:
0,09 + 0,08 + 0,08 +
0,07 + 0,07
+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.
Істинна
погрішність складає тільки 0,0013.
Гранична абсолютна
погрішність різниці двох величин дорівнює сумі граничних абсолютних
погрішностей зменшуваного і такого, що віднімається.
ПРИКЛАД:
Нехай
гранична погрішність наближеного зменшуваного
85
рівна 2, а гранична погрішність від'ємника 32 рівна 3. Гранична погрішність різниці
85 – 32 = 53
є
2 + 3 = 5.
Насправді,
істинне значення зменшуваного і такого, що віднімається можуть дорівнювати
85 + 2 = 87 и
32 – 3 = 29.
Тоді
істинна різниця є
87 – 29 = 58.
Вона
на 5 відрізняється від наближеної різниці 53.
Відносна
погрішність суми і різниці.
Граничну відносну погрішність суми і різниці легко знайти,
вичисливши спочатку граничну абсолютну погрішність.
Гранична відносна погрішність суми (але не різниці!) лежить між
найменшою і найбільшою з відносних погрішностей доданків. Якщо усі доданки
мають одну і ту ж (чи приблизно одну і ту ж) граничну відносну погрішність, то
і сума має ту ж (чи приблизно ту ж) граничну відносну погрішність. Іншими
словами, в цьому випадку точність суми (у процентному вираженні) не
поступається точністю доданків. При значному ж числі доданків сума, як правило,
набагато точніше за складових.
ПРИКЛАД:
Знайти
граничну абсолютну і граничну відносну погрішність суми чисел:
24,4 + 25,2 + 24,7.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
У
кожному доданку суми
24,4 + 25,2 + 24,7 =
74,3
гранична
відносна погрішність приблизно одна і та ж, а саме:
0,05 : 25 = 0,2%.
Така
ж вона і для суми.
Тут
гранична абсолютна погрішність дорівнює 0,15, а відносна
0,15 : 74,3 ≈ 0,15 : 75
= 0,2%.
В протилежність сумі різниця наближених чисел може бути менш
точною, чим зменшуване і таке, що віднімається. <<Втрата точності>>
особливо велика у тому випадку, коли зменшуване і таке, що віднімається мало
відрізняються один від одного.
Відносні погрішності
при складанні і відніманні складати не можна.
Множення
і ділення наближених чисел.
При діленні і множенні
чисел вимагається скласти відносні погрішності.
ПРИКЛАД:
Нехай
перемножуються наближені числа 50
і 20,
і нехай гранична відносна погрішність першого співмножника є 0,4%, а
другого 0,5%.
Тоді
гранична відносна погрішність додатку
50 × 20 = 1000
приблизно
рівна 0,9%. Насправді
гранична абсолютна погрішність першого співмножника є
50 × 0,004 = 0,2,
а
другого
20 × 0,005 = 0,1.
Тому
істинна величина добутку не більше ніж
(50 + 0,2)(20 + 0,1) =
1009,02,
і
не менше, ніж
(50 – 0,2)(20 – 0,1) =
991,022.
Якщо
істинна величина добутку є 1009,2, то погрішність твору рівна
1009,2 – 1000 = 9,02,
а
якщо 991,02, то
погрішність добутку рівна
1000 – 991,02 = 8,98.
Розглянуті
два випадки – самі несприятливі. Значить, гранична абсолютна погрішність твору
є 9,02.
Гранична відносна погрішність рівна
9,02 : 1000 = 0,902%,
- Урок 1. Числові нерівності
- Урок 2. Властивості числових нерівностей
- Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей
- Урок 4. Числові проміжки
- Урок 5. Лінійні нерівності
- Урок 6. Системи лінійних нерівностей
- Урок 7. Нелінійні нерівності
- Урок 8. Системи нелінійних нерівностей
- Урок 9. Дробово-раціональні нерівності
- Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків
- Урок 11. Нерівність з модулем
- Урок 12. Ірраціональні нерівності
- Урок 13. Нерівності з двома змінними
- Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними
- Урок 15. Наближені обчислення
Комментариев нет:
Отправить комментарий