Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

четверг, 20 февраля 2020 г.

Урок 2. Визначення похідної функції

ВИДЕО УРОК

Визначення похідної базується на понятті границі.

 Поняття зростання, убування, максимуму, мінімуму функції.

 Уявіть, що нас чекає подорож в місто, до якого можна добратися різними шляхами. Відразу відкинемо криві петляючі доріжки, і розглядатимемо тільки прямі магістралі. Проте прямолінійні напрями теж бувають різними. До міста можна добратися по рівному автобану. Або по горбистому шосе – вгору-вниз, вгору-вниз. Інша дорога йде тільки в гору, а ще одна – увесь час під уклон. Екстремалі виберуть маршрут через ущелину з крутим обривом і прямовисним підйомом.
Але які б не були переваги, бажано знати місцевість або, щонайменше, мати в розпорядженні її топографічну карту. А якщо така інформація відсутня ? Адже можна вибрати, наприклад, рівний шлях, та в результаті наштовхнутися на гірськолижний спуск. Не факт, що навігатор і навіть супутниковий знімок дадуть достовірні дані. Тому непогано б формалізувати рельєф шляху засобами математики.
Розглянемо деяку дорогу

 y = f(x)

 (вигляд збоку)
Подорож відбувається зліва направо. Для простоти вважаємо, що функція безперервна на даній ділянці.
Які особливості у цього графіку ?
На інтервалах
(–∞; a), (b, +∞)
функція зростає, тобто кожне наступне її значення більше за попереднє. Графік йде від низу до верху (забираємося на гірку). А на інтервалі
(a,b)
функція убуває – кожне наступне значення менше за попереднє, і графік йде зверху вниз (спускаємося по схилу).
Також звернете увагу на особливі точки. У точці  х = а  ми досягаємо максимуму, тобто існує така ділянка шляху, на якому значення  f(а)   буде найбільшим (високим). У точці ж  х = b  досягається мінімум, і існує така її околиця, в якій значення  f(b)   найменше (низьке).
На проміжках
(–∞; a), (b, +∞)

 функція зростає, але зростає вона з різною швидкістю. І перше, що впадає у вічі, – на інтервалі  (–∞; a)  графік злітає вгору набагато крутіше, ніж на інтервалі  (b: +∞). Чи не можна виміряти крутизну дороги за допомогою математичного інструментарію ?
Швидкість зміни функції.
Візьмемо деяке значення  ∆х  (читається <<дельта  ікс>>), яке назвемо приростом аргументу, і почнемо його <<приміряти>> до різних точок нашого шляху:
1) Подивимося на найлівішу точку: минувши відстань  ∆х, ми піднімемося по схилу на висоту  ∆у1  (зелена лінія). Величина  ∆у1  називається приростом функції, і в даному випадку цей приріст позитивний (різниця значень по осі  ОY – більше нуля). Складемо відношення
яке і буде мірилом крутизни нашої дороги. Очевидно, що
– це цілком конкретне число, і, оскільки обидва прирости позитивні, то
Позначення  ∆х  є єдиним символом, тобто не можна відривати дельту від ікса і розглядати ці букви окремо.
Розглянемо отриманий дріб.
Нехай спочатку ми знаходимося на висоті  20  метрів (у лівій чорною иочке). Здолавши відстань  ∆х = 10  метрів (ліва червона лінія), ми виявимося на висоті  60  метрів. Тоді приріст функції складе
∆у1 = 60 – 20 = 40 (м)
(зелена лінія) і:
Таким чином, на кожному метрі цієї ділянки дороги висота збільшується в середньому на  4 м. Іншими словами, побудоване відношення характеризує середню швидкість зміни (в даному випадку зростання) функції. Числові значення даного прикладу відповідає пропорціям креслення лише приблизно. 

 2) Тепер пройдемо ту ж саму відстань  ∆х  від найправішої чорної точки. Тут під'їм пологіший, тому приріст  ∆у3   (малинова лінія) відносно невеликий, і відношення
в порівнянні з попереднім випадком буде дуже скромним.
Умовно кажучи,
∆х = 10 м, ∆у3 = 5 м
і швидкість зростання функції складає
тобто, тут на кожен метр шляху доводиться в середньому підлога метра підйому.

 3) Подивимося на верхню чорну точку, розташовану на осі ординат. Припустимо, що це відмітка  50 м. Знову долаємо відстань  ∆х = 10 м, внаслідок чого виявляємося нижче – на рівні  30 м. Оскільки здійснений рух зверху вниз, той підсумковий приріст функції (висоти) буде негативним:
∆у2 = 30 – 50 = –20 (м)
(коричневий відрізок на кресленні). І в даному випадку йдеться про швидкість убування функції:
тобто за кожен метр шляху цієї ділянки висота убуває в середньому на  2 м.
 Яке значення <<вимірювального еталону>>  ∆х  краще всього використати ? Абсолютно зрозуміло, 10 м – це дуже грубо. На них запросто уміщатиметься добра дюжина купини. Таким чином, при десятиметровому    ми не отримаємо зрозумілої характеристики подібних ділянок шляху за допомогою відношення
З проведеного міркування виходить виведення – чим менше значення  ∆х, тим точніше ми опишемо рельєф дороги.
Більше того, справедливі наступні факти:
– для будь-якої точки підйомів
(–∞; a), (b, +∞)
можна підібрати значення  ∆х  (хай і дуже мале), яке уміщається у межах того або іншого підйому. А це означає, що відповідний приріст висоти  ∆у  буде гарантовано позитивним, і нерівність
конкретно вкаже зростання функції в кожній точці цих інтервалів.
Аналогічно, для будь-якої точки схилу  (a, b)  існує значення  ∆х, яке повністю уміщатиметься на цьому схилі. Отже, відповідний приріст висоти  ∆у  однозначно негативно, і нерівність
конкретно покаже спад функції в кожній точці цього інтервалу.
 Особливо цікавий випадок, коли швидкість зміни функції дорівнює нулю:
Нульовий приріст висоти  (∆у = 0) – ознака рівного шляху.

 Похідна функція в точці.

Розглянемо функцію  y = f (x)  (синій графік), яка визначена і безперервна на деякому інтервалі, довільну точку  х0, що належить цьому інтервалу, і відповідне значення   f(x).
Задамо аргументу функції приріст  ∆х  (червоний відрізок) в точці  х0. Зверніть увагу, що  х0 + ∆х – це теж цілком певна точка інтервалу (відмічена малиновим кольором). І в цій точці існує своє значення функції
f(х0 + ∆х).
приріст аргументу  ∆х  спричинив приріст функції
∆у = f(х0 + ∆х) – f(х0)
(малиновий відрізок).
В даному випадку  ∆у ˃ 0, оскільки як приклад вибраний проміжок, на якому функція зростає.
На малюнку проведена січна  KL (коричнева пряма) і прямокутний трикутник  KLN. Кут нахилу січної до осі  ОХ  позначений через  α  і відмічений коричневою дугою в двох місцях. Цей кут однозначно визначається приростами  ∆х  і  ∆y. Розглянемо прямокутний трикутник  KLN  і кут  α = ∠ LKN. Тангенс цього кута дорівнює відношенню катета, що проти лежить, до прилеглого катета:
Похідній функції в точці  х0  називається границя відношення приросту функції  ∆y  до приросту аргументу ∆х, що викликав його, в цій точці при

Пам'ятайте, що приріст аргументу прагне до нуля, але нуля не досягає, іншими словами, величина  ∆х  нескінченно мала, але не дорівнює нулю.
Геометричний сенс похідної.
Якщо узяти лінійку і поєднати її ребро з прямою  LN, і, згідно з визначенням похідної
повільно рухати лінійку вліво до точки  х0, зменшуючи тим самим приріст  ∆х, то ми побачимо, що приріст функції  ∆y = LN  теж зменшується: точка  N  буде нескінченно близько наближатися до точки  K  по горизонталі (червоному відрізку), і точка  L – нескінченно близько наближатися до тієї ж точки  До, але вже по графіку функції  
y = f (x)  (синьої лінії).
В результаті січна  KL  прагне зайняти положення дотичної
y = kx + b
до графіку функції
y = f(x)
у точці  х0. Шукана дотична зображена зеленим кольором.
Таким чином, ми отримали строге визначення дотичної до графіку функції.
Дотична до графіку функції в точці – це граничне положення січної в цій точці.
Розглянемо формулу тангенса кута нахилу січної
і здійснимо в обох її частинах, так званий граничний перехід. При нескінченному зменшенні  ∆х  і знаходження границі
кут нахилу  α  січної  KL  прагне до кута нахилу  φ  дотичної
y = kx + b
(останній двічі відмічений зеленими дугами).
Аналогічне твердження справедливо і для тангенсів цих кутів:
У результаті:
Похідна функції в точці  х0  чисельно дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіку функції в цій точці:
Тангенс кута нахилу дотичної – це її кутовий коефіцієнт:
tg φ = k.
Для визначення похідної геометричним шляхом, необхідно:
– в точці визначення похідної провести дотичну;
– написати рівняння цієї дотичної, де коефіцієнт при невідомому і буде похідною.
ПРИКЛАД:
Для дотичної
у = –х + 7/4,
похідна рівна  –1.
Для дотичної
у = 2,
похідна рівна  0.
Для дотичної
у = 2х + 1,
похідна рівна  2.
Для дотичної
у = 4х – 2,
похідна рівна  4.
Розглянемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
y – y0 = k(x – x0).
Враховуючи отриману рівність
f ' (x0) = tg φ = k,
перепишемо рівняння в наступному виді:
y – y0 = f ' (x0)(x – x0).
Існування похідної в точці і безперервність функції.
За визначенням
отже, існування похідної в точці  x0  тісно пов'язане з існуванням границі
у цій точці.
У визначенні похідної найважливішим є той факт, що приріст аргументу  ∆х  задається і в інший бік.
Зображуйте координатні осі, приблизно такий же графік функції  
y = f(x)  
і точки  x0,  f(x0).
Відкладіть на кресленні невеликий відрізок  ∆х  зліва від точки  x0. При цьому точка 
x0 + ∆х 
розташується лівіше за точку  x0, а точка
f(x0 + ∆х)
– нижче точки  f(x0). Тепер проведіть січну графіка функції
y = f(x) 
і почніть подумки зменшувати приріст  ∆х  управо до точки  x0. В результаті ця січна прагнутиме зайняти положення тієї ж самої <<зеленої>> дотичної.
Приріст з лівого боку здійснюється <<проти осі абсцис>> і тому негативно: ∆х < 0. Відповідний приріст  ∆у  теж менше нуля, і тому лівобічна межа буде позитивною.
Він показує, як і правостороння границя, зростання функції в точці  x0.
Праві і ліві границі кінцеві і співпадають, що говорить про існування загальної границі, похідної і єдиної дотичної.
Таким чином, існування похідної в точці геометрично дуже зручно асоціювати з існуванням загальної дотичної в цій точці.

 Поняття похідної функції.

 Візьмемо формулу похідної в точці
і замінимо в ній  x0  на  х:
Для функції  y = f(x)  згідно із законом
ставиться у відповідності інша функція  у' = f ' (x), яка називається похідною функцією (чи просто похідною).
Похідна  у' = f ' (x)  характеризує швидкість зміни функції  y = f(x).
Розглянемо деяку точку  x0  області визначення функції
y = f(x).
Функція безперервна в цій  точці. Тоді:
1)  Якщо  f ' (x0) ˃ 0, то функція  y = f(x)  зростає в точці  x0. І, очевидно існує інтервал (нехай навіть дуже малий), що містить точку  x0, на якому функція  y = f(x)  росте, і її графік йде <<від низу до верху>>.

 2)  Якщо  f ' (x0) < 0, то функція  y = f(x)  убуває в точці  x0. І існує інтервал, що містить точку  x0, на якому функція  y = f(x)  убуває, і її графік йде <<зверху вниз>>.

 3)  Якшо  f ' (x0) = 0, те нескінченне близько біля точки  x0  функція  
y = f(x)  
зберігає свою швидкість постійною. Так буває у функції константи і в критичних точках функції, зокрема в точках мінімуму і максимуму.
Що розуміється під словом <<похідна>> ?
Функція  у' = f ' (x)  пішла від функції  y = f(x).

 Терміни, що тлумачать механічний сенс похідної.

 Розглянемо закон зміни координати тіла  x(t), залежною від часу  t, і функцію швидкості руху цього тіла  v(t). Функція  v(t)  характеризує швидкість зміни координати тіла, тому являється першій похідної функції  x(t)  за часом:
Якби в природі не існувало поняття <<рух тіла>>, те не існувало б і похідного поняття <<швидкість тіла>>. Прискорення тіла  а(t) – це швидкість зміни швидкості, тому:
Якби в природі не існувало початкових понять <<рух тіла>> і <<швидкість руху тіла>>, те не існувало б і похідного поняття <<прискорення тіла >>
ПРИКЛАД:
Використовуючи визначення похідної, довести, що похідна константи дорівнює нулю.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Функція константа має вигляд
f(x) = С,
і графічно – це сімейство прямих, паралельних осі абсцис.
Зображуватимемо графік функції
f(x) = 2.
Це <<рівна дорога>>, тобто функція  і не зростає і не убуває в кожній точці. Ні вгору і не вниз.
Покажемо аналітично, що похідна функції-константи дорівнює нулю.
Розглянемо довільне значення  x0, в якому
f(x0) = С.
Надамо аргументу приріст:
x0 + ∆х.
Функція увесь час постійна, тому
f(x0 + ∆х) = С
і приріст функції
∆у = f(x0 + ∆х) – f(x0) = С – С = 0.
За визначенням похідної в точці:
Тут немає невизначеності: нуль, що ділиться на нескінченно мале число  ∆х, дорівнює нулю. Оскільки в якості точки  x0  можна узяти будь-кого <<ікс>>, те проведемо заміну  x0 = х  і отримаємо:
ПРИКЛАД:
Знайти похідну функції:
f(x) = –2х – 1.
за визначенням.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Розглянемо довільне значення  x0, в якому
f(x0) = –2x0 – 1.
Задамо аргументу приріст  ∆х  і вичислимо відповідне значення функції:
f(x0 + ∆х) = –2(x0 + ∆х) – 1
= –2x0 – 2∆х – 1.
Вичислимо приріст функції:
∆у = f(x0 + ∆х) – f(x0) = 
–2x0 – 2∆х – 1 – (–2x0 – 1) =
–2x0 – 2∆х – 1 + 2x0 + 1 = –2∆х.
За визначенням похідної в точці:
Оскільки в якості    можна узяти будь-яке значення  х, то
f '(x) = –2.
Про що говорить знайдена похідна ?
По-перше, для будь-кого <<ікс>> вона негативна, тобто функція
f(x) = –2х – 1
убуває на усій області визначення.
По-друге, це убування постійне, тобто <<нахил гірки скрізь однаковий>> – в якій би точці ми не знаходилися, граничне відношення
буде незмінним.
ВІДПОВІДЬ:  –2
Використовуючи цей же алгоритм, можна вирішити завдання в загальному вигляді і довести, що похідна лінійної функції
f(x) = kх + b
дорівнює її кутовому коефіцієнту
f '(x) = k.
ПРИКЛАД:
Знайти похідну функції:
f(x) = х2 + 2
за визначенням.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Розглянемо довільну точку  x0  і відповідне значення
f(x0) = (x0)2 + 2.
Задамо приріст  ∆х  і вичислимо значення функції в точці
x0 + ∆х.
f(x0 + ∆х) = (x0 + ∆х)2 + 2 =
(x0)2 + 2x0∆х + (∆х)2 + 2.
Знайдемо приріст функції:
∆у = f(x0 + ∆х) – f(x0) =
(x0)2 + 2x0∆х + (∆х)2 + 2 – ((x0)2 + 2)
= (x0)2 + 2x0∆х + (∆х)2 + 2 – (x0)2 – 2
= 2x0∆х + (∆х)2.
За визначенням похідної в точці:
Оскільки в якості  x0  можна розглянути будь-яку точку  х  області определнения функції
f(x) = х2 + 2,
те проведемо заміну  x0 = х   і отримаємо
f '(x) = 2х.
Початкова функція
f(x) = х2 + 2
і її похідна
f '(x) = 2х.
– це дві абсолютно різні функції, проте між ними існує чіткий і прозорий зв'язок.
На інтервалі   (–∞, 0)   похідна негативна:
f '(x) < 0
(червона лінія) що говорить про убування функції  f(x)  на цьому інтервалі. Гілка параболи йде зверху вниз.
А на інтервалі  (0, +∞)  похідна позитивна:
f '(x) ˃ 0
(зелена лінія) значить, функція  f(x)  росте на цьому інтервалі, і її графік йде від низу до верху.
При  х = 0  похідна дорівнює нулю:
f '(0) = 2 ∙ 0 = 0.
Знайдене значення показує, що швидкість зміни функції
f(x) = х2 + 2
у точці  х = 0  дорівнює нулю (функція не росте в ній і не убуває). В даному випадку тут мінімум функції.
Усе це можна затверджувати навіть не знаючи, що таке парабола і як виглядає графік функції
f(x) = х2 + 2.
Значення похідної в точці виражає собою деяку міру швидкості зміни функції в цій точці. Знайдемо декілька значень похідної.
f '(–0,5) = 2 ∙ (–0,5) = –1,
f '(0) = 2 ∙ 0 = 0,
f '(1) = 2 ∙ 1 = 2,
f '(2) = 2 ∙ 2 = 4,
Таким чином, в точці  х = – 0,5  функція
f(x) = х2 + 2   
убуває, в точці  х = 0  зберігає швидкість постійною, а в точках 
х = 1, х = 2
– росте. Причому
f '(2) ˃ f '(1).
тому можна сказати (не дивлячись на малюнок), що в околиці точки  х = 2  графік функції
f(x) = х2 + 2
йде вгору крутіше, ніж поблизу точки  х = 1.
Завдання до уроку 2
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий