Урок 2. Определение производной функции

ВИДЕО УРОК

Определение производной базируется на понятии предела.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции.

Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными. До города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъёмом.

Но каковы бы ни были предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует ? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу

y = f(x)

(вид сбоку)

Путешествие происходит слева направо. Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика ?

На интервалах

(–∞; a), (b, +∞)

функция возрастает, то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. График идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале

(a,b)

функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратите внимание на особые точки. В точке  х = а  мы достигаем максимума, то есть существует такой участок пути, на котором значение  f(а)  будет самым большим (высоким). В точке же  х = b  достигается минимум, и существует такая её окрестность, в которой значение  f(b)  самое маленькое (низкое).

На промежутках

(–∞; a), (b, +∞)

функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью. И первое, что бросается в глаза, – на интервале  (–∞; a)  график взмывает вверх гораздо более круто, чем на интервале  (b, +∞). Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария ?

Скорость изменения функции.

Идея состоит в следующем:

Возьмём некоторое значение  ∆х  (читается <<дельта  икс>>), которое назовём приращением аргумента, и начнём его <<примерять>> к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние  ∆х, мы поднимемся по склону на высоту  ∆у₁  (зелёная линия). Величина  ∆у₁  называется приращением функции, и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси  ОY – больше нуля). Составим отношение

которое и будет мерилом крутизны нашей дороги. Очевидно, что

– это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то

Обозначение  ∆х  является единым символом, то есть нельзя отрывать дельту от икса и рассматривать эти буквы отдельно.

Рассмотрим полученную дробь.

Пусть изначально мы находимся на высоте  29  метров (в левой чёрной иочке). Преодолев расстояние  ∆х = 10  метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте  60  метров. Тогда приращение функции составит

∆у₁ = 60 – 20 = 40 (м)

(зелёная линия) и:

Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на  4 м. Иными словами, построенное отношение характеризует среднюю скорость изменения (в данном случае роста) фунеции. Числовые значения рассматриваемого примера соответствует пропорциям чертежа лишь приблизительно. 

2) Теперь пройдём то же самое расстояние  ∆х  от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение  ∆у₃  (малиновая линия) относительно невелико, и отношение

по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным.

Условно говоря,

∆х = 10 м, ∆у₃ = 5 м

и скорость роста функции составляет

то есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка  50 м. Снова преодолеваем расстояние  ∆х = 10 м, в результате чего оказываемся ниже – на уровне  30 м. Поскольку осуществлено движение сверху вниз, то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным:

∆у₂ = 30 – 50 = –20 (м)

(коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь идёт о скорости убывания функции:

то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на  2 м.
Какое значение <<измерительного эталона>>  ∆х  лучше всего использовать ? Совершенно понятно, 10 м – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Таким образом, при десятиметровом    мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение  ∆х, тем точнее мы опишем рельеф дороги.

Более того, справедливы следующие факты:

– для любой точки подъёмов

(–∞; a), (b, +∞)

можно подобрать значение  ∆х  (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты  ∆у  будет гарантировано положительным, и неравенство

конкретно укажет рост функции в каждой точке этх интервалов.
Аналогично, для любой точки склона  (a, b)  существует значение  ∆х, которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты  ∆у  однозначно отрицательно, и неравенство

конкретно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.
Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю:

Нулевое приращение высоты  (∆у = 0) – признак ровного пути.

Производная функция в точке.

Рассмотрим функцию  y = f(x)  (синий график), которая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точку  х₀, принадлежащую данному интервалу, и соответствующее значение   f(x).

Зададим аргументу функции приращение  ∆х  (красный отрезок) в точке  х₀. Обратите внимание, что  х₀ + ∆х – это тоже вполне определённая точка интервала (отмечена малиновым цветом). И в этой точке существует своё значение функции

f(х₀ + ∆х).

приращение аргумента  ∆х  повлекло за собой приращение функции

∆у = f(х₀ + ∆х) – f(х₀)

(малиновый отрезок).

В данном случае  ∆у ˃ 0, поскольку в качестве примера выбран промежуток, на котором функция возрастает.

На рисунке проведена секущая  KL (коричневая прямая) и прямоугольный треугольник  KLN. угол наклона секущей к оси  ОХ  обозначен через  α  и отмечен коричневой дугой в двух местах. Этот угол однозначно определяется приращениями  ∆х  и  ∆y. Рассмотрим прямоугольный треугольник  KLN  и угол  α = ∠ LKN. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

Производной функции в точке  х₀  называется предел отношения приращения функции ∆y   к вызвавшему его приращению аргумента ∆х   в этой точке при

Помните, что приращение аргумента стремится к нулю, но нуля не достигает, иными словами, величина  ∆х  бесконечно мала, но не равна нулю.

Геометрический смысл производной.

Если взять линейку и совместить её ребро с прямой  LN, и, согласно определению производной

медленно двигать линейку влево к точке  х₀, уменьшая тем самым приращение  ∆х, то мы увидим, что приращение функции  ∆y = LN  тоже уменьшается: точка  N  будеь бесконечно близко приближаться к точке  K  по горизонтали (красному отрезку), и точка  L – бесконечно близко приближаться к той же точке  К, но уже по графику функции  y = f(x)  (синей линии).

В результате секущая  KL  стремится занять положение касательной

y = kx + b

к графику функции

y = f(x)

в точке  х₀. Искомая касательная изображена зелёным цветом.

Таким образом, мы получили строгое определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции в точке – это предельное положение секущей в данной точке.

Рассмотрим формулу тангенса угла наклона секущей

и осуществим в обеих её частях, так называемый предельный переход. При бесконечном уменьшении  ∆х  и нахождения предела

угол наклона  α  секущей  KL  стремится к углу наклона  φ  касательной

y = kx + b

(последний дважды отмечен зелёными дугами).

Аналогичное утверждение справедливо и для тангенсов данных углов:

В итоге:

Производная функции в точке  х₀  численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке:

Тангенс угла наклона касательной – это её угловой коэффициент:

tg φ = k.

Для определения производной геометрическим путём, необходимо:

– в точке определения производной провести касательную;

– написать уравнение этой касательной, где коэффициент при неизвестном и будет производной.

ПРИМЕР:

Для касательной

у = –х + ⁷/₄,

производная равна  –1.

Для касательной

у = 2,

производная равна  0.

Для касательной

у = 2х + 1,

производная равна  2.

Для касательной

у = 4х – 2,

производная равна  4.

Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y – y₀ = k(x – x₀).

Учитывая полученное равенство

f ' (x₀) = tg φ = k,

перепишем уравнение в следующем виде:

y – y₀ = f ' (x₀)(x – x₀).

Существование производной в точке и непрерывность функции.

По определению

следовательно, существование производной в точке  x₀  тесно связано с существованием предела

в данной точке.

В определении производной важнейшим является тот факт, что приращение аргумента  ∆х  задаётся и в другую сторону.

Изобразите координатные оси, примерно такой же график функции  

y = f(x)  

и точки  x₀,  f(x₀).

Отложите на чертеже небольшой отрезок  ∆х  слева от точки  x₀. При этом точка 

x₀ + ∆х 

расположится левее точки  x₀, а точка

f(x₀ + ∆х)

– ниже точки  f(x₀). Теперь проведите секущую графика функции  

y = f(x)  

и начните мысленно уменьшать приращение  ∆х  вправо к точке  x₀. В результате данная секущая будет стремиться занять положение той же самой <<зелёной>> касательной.

Приращение с левой стороны осуществляется <<против оси абсцисс>> и поэтому отрицательно:  ∆х < 0. Соответствующее приращение  ∆у  тоже меньше нуля, и поэтому левосторонний предел будет положительным.

Он показывает, как и правосторонний предел, рост функции в точке  x₀.

Правые и левые пределы конечны и совпадают, что говорит о существовании общего предела, производной и единой касательной.

Таким образом, существование производной в точке геометрически очень удобно ассоциировать с существованием общей касательной в данной точке.

Понятие производной функции.

Возьмём формулу производной в точке

и заменим в ней  x₀  на  х:

Для функции  y = f(x)  по закону

ставится в соответствии другая функция  у' = f ' (x), которая называется производной функцией (или просто производной).

Производная  у' = f ' (x)  характеризует скорость изменения функции  
y = f(x).

Рассмотрим некоторую точку  x₀  области определения функции 

y = f(x).

Функция непрерывна в данной  точке. Тогда:

1)  Если  f ' (x₀) ˃ 0, то функция  y = f(x)  возрастает в точке  x₀. И, очевидно существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку  x₀, на котором функция  y = f(x)  растёт, и её график идёт <<снизу вверх>>.

2)  Если  f ' (x₀) < 0, то функция  y = f(x)  убывает в точке  x₀. И существует интервал, содержащий точку  x₀, на котором функция  

y = f(x)  

убывает, и её график идёт <<сверху вниз>>.

3)  Если  f ' (x₀) = 0, то бесконечно близко около точки  x₀  функция  

y = f(x)  

сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает у функции константы и в критических точках функции, в частности в точках минимума и максимума.

Что понимается под словом <<производная>> ?

Функция  у' = f ' (x)  произошла от функции  y = f(x).

Термины, истолковывающие механический смысл производной.

Рассмотрим закон изменения координаты тела  x(t), зависящей от времени  t, и функцию скорости движения данного тела  v(t). Функция  v(t)  характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производеной функции  x(t)  по времени:

Если бы в природе не существовало понятие <<движение тела>>, то не существовало бы и производного понятия <<скорость тела>>.
Ускорение тела  а(t) – это скорость изменения скорости, поэтому:

Если бы в природе не существовало исходных понятий <<движение тела>> и <<скорость движения тела>>, то не существовало бы и производного понятия <<ускорение тела>>

ПРИМЕР:

Используя определение производной, доказать, что производная константы равна нулю.

РЕШЕНИЕ:

Функция константа имеет вид

f(x) = С,

и графически – это семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

Изобразим график функции

f(x) = 2.

Это <<ровная дорога>>, то есть функция  и не возрастает и не убывает в каждой точке. Ни вверх и не вниз.

Покажем аналитически, что производная функции-константы равна нулю.

Рассмотрим произвольное значение  x₀, в которм

f(x₀) = С.

Придадим аргументу приращение:

x₀ + ∆х.

Функция всё время постоянна, поэтому

f(x₀+ ∆х) = С

и приращение функции

∆у = f(x₀+ ∆х) – f(x₀) = С – С = 0.

По определению производной в точке:

Тут нет неопределённости: ноль, делённый на бесконечно малое число  ∆х, равен нулю.
Поскольку в качестве точки  x₀  можно взять любое <<икс>>, то проведём замену  x₀ = х  и получим:

ПРИМЕР:

Найти производную функции:

f(x) = –2х – 1.

по определению.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим произвольное значение  x₀, в котором

f(x₀) = –2x₀ – 1.

Зададим аргументу приращение  ∆х  и вычислим соответствующее значение функции:

f(x₀ + ∆х) = –2(x₀ + ∆х) – 1 = –2x₀ – 2∆х – 1.

Вычислим приращение функции:

∆у = f(x₀ + ∆х) – f(x₀) = 

–2x₀ – 2∆х – 1 – (–2x₀ – 1) =

–2x₀ – 2∆х – 1 + 2x₀ + 1 = –2∆х.

По определению производной в точке:

Поскольку в качестве    можно взять любое значение  х, то

f '(x) = –2.

О чём говорит найденная производная ?

Во-первых, для любого <<икс>> она отрицательна, а значит, функция

f(x) = –2х – 1

убывает на всей области определения.

Во-вторых, это убывание постоянно, то есть <<наклон горки везде одинаков>> – в какой бы точке мы ни находились, предельное отношение

будет неизменным.

ОТВЕТ:  –2

Используя этот же алгоритм, можно решить задачу в общем виде и доказать, что производная линейной функции

f(x) = kх + b

равна её угловому коэффициенту

f '(x) = k.

ПРИМЕР:

Найти производную функции

f(x) = х² + 2

по определению.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим произвольную точку  x₀  и соответствующее значение

f(x₀) = (x₀)² + 2.

Зададим приращение  ∆х  и вычислим значение функции в точке

x₀ + ∆х.

f(x₀ + ∆х) = (x₀ + ∆х)² + 2 =

(x₀)² + 2x₀∆х + (∆х)² + 2.

Найдём приращение функции:

∆у = f(x₀ + ∆х) – f(x₀) =

(x₀)² + 2x₀∆х + (∆х)² + 2 – ((x₀)² + 2)

= (x₀)² + 2x₀∆х + (∆х)² + 2 – (x₀)² – 2

= 2x₀∆х + (∆х)².

По определению производной в точке:

Поскольку в качестве  x₀  можно рассмотреть любую точку  х  области определнения функции

f(x) = х² + 2,

то проведём замену x₀ = х   и получим

f '(x) = 2х.

Исходная функция

f(x) = х² + 2

и её производная

f '(x) = 2х.

– это две совершенно разные функции, однако между ними существует чёткая и прзрачная связь.

На интервале  (–∞, 0)  производная отрицательна:

f '(x) < 0

(красная линия), что говорит об убывании функции   f(x)  на данном интервале. Ветвь параболы идёт сверху вниз.

А на интервале  (0, +∞)  производная положительна:

f '(x) ˃ 0

(зелёная линия), значит, функция  f(x)  растёт на этом интервале, и её график идёт снизу вверх.

При  х = 0  производная равна нулю:

f '(0) = 2 ∙ 0 = 0.

Найденное значение показывает, что скорость изменения функции

f(x) = х² + 2

в точке  х = 0  равна нулю (функция не растёт в ней и не убывает). В данном случае здесь минимум функции.

Всё это можно утверждать даже не зная, что такое парабола и как выглядит график функции

f(x) = х² + 2.

Значение производной в точке выражает собой некоторую меру скорости изменения функции в данной точке. Найдём несколько значений производной.

f '(–0,5) = 2 ∙ (0,5) = –1,

f '(0) = 2 ∙ 0 = 0,

f '(1) = 2 ∙ 1 = 2,

f '(2) = 2 ∙ 2 = 4.

Таким образом, в точке  х = –0,5  функция

f(x) = х² + 2   

убывает, в точке  х = 0  сохраняет скорость постоянной, а вточках  х = 1, х = 2 – растёт. Причём

f '(2) ˃ f '(1)

поэтому можно сказать (не глядя на рисунок), что в окрестности точки  х = 2  график функции

f(x) = х² + 2

идёт вверх круче, чем вблизи точки  х = 1.

Задания к уроку 2

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Предел функции
• Урок 3. Дифференцирование функции
• Урок 4. Первообразная функция
• Урок 5. Неопределённый интеграл
• Урок 6. Определённый интеграл
• Урок 7. Применение производной при исследовании функций
• Урок 8. Применение определённого интеграла для решения геометрических задач