Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 1 марта 2020 г.

Урок 5. Векторы в пространстве

ВИДЕО УРОК

Система координат в пространстве.

 Выберем начало координат. Проведём три взаимно перпендикулярные оси

 Х, Y  и  Z.

 Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трёхмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами – координатами по  

 Х, Y  и  Z.

 ПРИМЕР:

 Запись

 М(–1; 3; 2) 

означает что координата точки  М  по  Х (абсцисса) равна  –1, координата по  Y (ордината) равна  3, а координата по  Z (аппликата) равна  2.

 Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задаётся тремя координатами x, y  и  z:
Определение координат вектора.

 Как найти координаты вектора ? Как и на плоскости – из координаты конца вычитаем координату начала.
В случае пространственной задачи вектор  АВ  заданный координатами точек 

 А(XA; YA; ZA)  и  B(XB; YB; ZB) 

можно найти воспользовавшись следующей формулой:

ПРИМЕР:

Даны точки

F(–2; –1; 0)  и 

E(0; –1; –2).

Найти векторы
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Даны точки

A1(10; 5; –4),

A2(–8; 6; 3),

A3(1; 1; –1),

A4(0; 0; 1).

Найти векторы
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:
Пусть точка  М – середина отрезка  АВ. Её координаты находятся по формуле:
Длина (модуль) вектора в пространстве. 

Длина вектора
в пространстве – это расстояние, между точками  А  и  В. Если вектор задан своими координатами:
то его длина находится по формуле:
где
– модуль вектора,

 а1, a2 a3 – его координаты.

 Единичным называется вектор
Нулевым называется вектор
у которого начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления, а его модуль равен нулю.

 Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

ПРИМЕР:

Даны точки

А(2; 3; –1),

В(–5; 3; 0).

Найти длину (модуль) отрезка  АВ.

РЕШЕНИЕ:

По соответствующей формуле, находим:
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Даны точки

А(0; 2; 5),

В(–4; 7; 15).

Найти длину вектора
РЕШЕНИЕ:
Найдём вектор
Вычислим длину вектора.
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Найти длину вектора:
РЕШЕНИЕ: 

Используя формулу, получаем:
ОТВЕТ:  √͞͞͞͞͞17

 ПРИМЕР:

 Найдите координаты и длину векторов
если 

 А(2; –3; –1),
В(–4; –8; 5),
С(3; 1; –2)

 РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:
Равенство векторов в пространстве.
Если
то
Если
то

ПРИМЕР:

Определить, какие из нижеперечисленных векторов равны.
РЕШЕНИЕ:
так как их координаты равны,
так как их координаты не равны,
так как их координаты не равны, 

Противоположные векторы в пространстве. 

Если имеем:
и
то
Если имеем:
и
то
Коллинеарность векторов в пространстве. 

Если есть векторы:
и они коллинеарные, то
Если:
то
– коллинеарные векторы.

ПРИМЕР:
коллинеарны ?

РЕШЕНИЕ:

Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся следующим условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов
Какие из векторов
примет вид:
Значит:
 Вектора
коллинеарны так как
Вектора
не коллинеарны так как
Вектора
не коллинеарны так как
ПРИМЕР:
Найдите значения  m  и  n, при которых векторы
коллинеарные.

 РЕШЕНИЕ:

 У коллинеарных векторов координаты пропорциональны, откуда:
Имеем два уравнения:
ОТВЕТ:

 m = 1,  n = –10.

Компланарность векторов.

Кроме понятия коллинеарности векторов, вводится понятие компланарности векторов.

Три вектора называют компланарными, если изображающие их направленные отрезки лежат в параллельных плоскостях или в одной плоскости.

ПРИМЕР:

На рисунке
 векторы
компланарны, так как точки  О, А, В  и  С  лежат в одной плоскости.
 Векторы
не компланарны, так как точки  А, В, D  и  О  не лежат в одной плоскости

Разложение вектора по ортам координатных осей.

Система ортов (или базисная система векторов) – это система единичных векторов осей координат.

Орт координатной оси  Оx  обозначается через
оси  Оy – через
оси  Оz – через
Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат с единичными векторами
координатных осей  Ох, Оу, Оz. Тогда вектор
единственным образом представляется в виде
Числа

ax, ay, az 

называются координатами вектора
относительно векторов
которые называются базисными векторами или, короче, базисом.
Для вектора
расположенного в пространстве, разложение по ортам координатных осей имеет вид:
ПРИМЕР: 

Зная разложение
по базисной системе векторов:
записать координаты этого вектора в пространстве.

 РЕШЕНИЕ:

 Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что
получаем, что
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

 Вектор
задан своими координатами:
Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

 РЕШЕНИЕ:

 Координаты вектора – это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе, поэтому искомое разложение:
ОТВЕТ:
                                                      
Задания к уроку 5
ДРУГИЕ УРОКИ
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий