Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 1 апреля 2020 г.

Урок 4. Первообразная функция

ВИДЕО УРОК
Что такое первообразная и как она считается ?

ПРИМЕР:

Найдём производную:

f(x) = x3.

Находим её, пользуясь формулой:
Откуда
Это и есть определение первообразной.
Аналогично запишем и такое выражение:
Обобщим это правило и выведем следующую формулу:
При   n = –1  первообразная функция определяется следующим образом:
Учитывая, что
а производная
Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

Функция

y = F(x)

называется первообразной функции

y = f(x)

на промежутке  Х, если для любого  х Х  выполняется равенство:

F(x) = f(x).

Таблица первообразных функций.
К каждому выражению в правой части таблицы необходимо прибавить константу.

Правила нахождения первообразных функций.

1. Первообразная функция суммы (разности) равна сумме (разности) первообразных функций.

F(x + у) = F(x) + F(у),
F(x – у) = F(x) – F(у).

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = 4х3 + cos x.

РЕШЕНИЕ:

Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций.

f(x) = 4x3F(x) = x4.
f(x) = cos xF(x) = sin x.

Тогда первообразная исходной функции будет

у = х4 + sin x

или любая функция вида

у = х4 + sin x + C.

2. Если  F(x) – первообразная для  f(x), то
k F(x)– первообразная для функции  k f(x).
(Коэффициент можно выносить за функцию).

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = 8 sin x.

РЕШЕНИЕ:

Первообразной для  sin x  служит минус  cos x. Тогда первообразная исходной функции примет вид:

у = –8 cos x.

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = 3x2 + 4х + 5.

РЕШЕНИЕ:

Первообразной для  x2  служит
Первообразной для  x  служит
Первообразной для  1  служит  x.
Тогда первообразная исходной функции примет вид:

у = x3 + 2x2 + 5 x.

3. Если  y = F(x) – первообразная для функции

y = f(x),

то первообразная для функции

y = f(kx + m)

служит функция

y = 1/k F(kx + m).

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = cos (7x).

РЕШЕНИЕ:

Первообразной для  cos x  служит  sin x. Тогда первообразная для функции

cos (7x)

будет функция
ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = sin x/2.

РЕШЕНИЕ:

Первообразной для  sin x  служит минус  cos x. Тогда первообразная для функции

у = sin x/2

будет функция
ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = (–2х + 3)3.

РЕШЕНИЕ:

Первообразной для  x3  служит
Тогда первообразная для исходной функции

у = (–2х + 3)3.

будет функция
ПРИМЕР:


Найти первообразную для функции
РЕШЕНИЕ:

Сначала упростим выражение в степени:
Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет:
Если  y = F(x) – первообразная для функции
y = f(x)  на промежутке  Х, то у функции  y = f(x)  бесконечно много первообразных, и все они имеют вид:

y = F(x) + С.

Если во всех примерах, которые были рассмотрены выше, потребовалось бы найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу  С.
Для функции  у = cos (7x)  все первообразные имеют вид:
Для функции  у = (–2х + 3)3  все первообразные имеют вид:
ПРИМЕР:

По заданному закону изменения скорости тела от времени

v = –3sin 4t

найти закон движения

S = S(t),

если в начальный момент времени тело имело координату равную  
1,75.

РЕШЕНИЕ:

Так как  v = S'(t), нам надо найти первообразную для заданной скорости.

S = –3 1/4 (–cos 4t) + C = 3/4 cos 4t + C.

В этой задаче дано дополнительное условие – начальный момент времени. Это значит, что  t = 0.

S(0)= 3/4 (–cos 40) + C = 7/4,
3/4 cos 0 + C = 7/4,
3/4 1 + C = 7/4,
C = 1.

Тогда закон движения описывается формулой:

S = 3/4 cos 4t + 1.

Формул для нахождения частного и произведения первообразной функции не существует.

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции
РЕШЕНИЕ:

Так как формул для нахождения частного и произведения первообразной функции не существует, то поступаем следующим образом. Разобьём дробь на сумму двух дробей.
Найдём первообразные каждого слагаемого и их сумму.

F(x) = 1 х + ln x = х + ln x.

Решение выражений со степенью с рациональным показателем.

Многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к
могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:
ПРИМЕР: 

Найти первообразную для функции
РЕШЕНИЕ:

Посчитаем каждый корень отдельно:
Итого:
Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой.

Иногда необходимо из множества всех первообразных найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку.
Все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдёт одна первообразная, и причём, только одна.
Поэтому примеры, приведённые ниже, сформулированы следующим образом:
Надо не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

f(x) = 5x4 + 6x3 – 2x + 6
в точке  М (–1; 4).

РЕШЕНИЕ:

Посчитаем каждое слагаемое:
Найдём первообразную:
Эта функция должна проходить через точку  М (–1; 4). Что значит, что она проходит через точку ? Это значит, что если вместо  х  поставить  –1, а вместо  F(x) 4, то получится верное числовое равенство:
Получилось уравнение относительно  С. Найдём  С.
Подставим в общее решение  С = 10,5  и получим ответ:
ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

f(x) = (x – 3)2
в точке  М (2; –1).

РЕШЕНИЕ:

В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращённого умножения.

f(x) = x2 – 6x + 9.

Посчитаем каждое слагаемое:
Найдём первообразную:
Найдём  С, подставив координаты точки  М.
Осталось отобразить итоговое выражение.
Решение тригонометрических задач.

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции
в точке  М (π/4; –1).

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой:
Тогда

F(x) = tg x + C,

Подставляем координаты точки  М

–1 = tg π/4 + C,
–1 = 1 + C,
C = –2.

Осталось отобразить итоговое выражение.

F(x) = tg x – 2.

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции
в точке  М (π/4; 2).

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой:
Или
Тогда

F(x) = –ctg x + C,

Подставляем координаты точки  М

2 = –сtg (–π/4) + C,
2 = сtg π/4 + C,
2 = 1 + C
C = 1.

Осталось отобразить итоговое выражение.

F(x) = –сtg x + 1.

Задания к уроку 4

Комментариев нет:

Отправить комментарий