Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 4. Первообразная функция

ВИДЕО УРОК

Что такое первообразная и как она считается ?

ПРИМЕР:

Найдём производную:

f(x) = x³.

Находим её, пользуясь формулой:

Откуда

Это и есть определение первообразной.

Аналогично запишем и такое выражение:

Обобщим это правило и выведем следующую формулу:

При n = –1 первообразная функция определяется следующим образом:
Учитывая, что

а производная

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.

Функция

y = F(x)

называется первообразной функции

y = f(x)

на промежутке Х, если для любого х ∈ Х выполняется равенство:

F(x) = f(x).

Таблица первообразных функций.

К каждому выражению в правой части таблицы необходимо прибавить константу.

Правила нахождения первообразных функций.

1. Первообразная функция суммы (разности) равна сумме (разности) первообразных функций.

F(x + у) = F(x) + F(у),

F(x – у) = F(x) – F(у).

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = 4х³ + cos x.

РЕШЕНИЕ:

Первообразная суммы равна сумме первообразных, тогда надо найти первообразную для каждой из представленных функций.

f(x) = 4x³, F(x) = x⁴.

f(x) = cos x, F(x) = sin x.

Тогда первообразная исходной функции будет

у = х⁴ + sin x

или любая функция вида

у = х⁴ + sin x + C.

2. Если F(x) – первообразная для f(x), то

k F(x)– первообразная для функции k f(x).

(Коэффициент можно выносить за функцию).

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = 8 sin x.

РЕШЕНИЕ:

Первообразной для sin x служит минус cos x. Тогда первообразная исходной функции примет вид:

у = –8 cos x.

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = 3x² + 4х + 5.

РЕШЕНИЕ:

Первообразной для x² служит

Первообразной для x служит

Первообразной для 1 служит x.

Тогда первообразная исходной функции примет вид:

у = x³ + 2x² + 5 x.

3. Если y = F(x) – первообразная для функции

y = f(x),

то первообразная для функции

y = f(kx + m)

служит функция

y = ¹/_kF(kx + m).

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = cos (7x).

РЕШЕНИЕ:

Первообразной для cos x служит sin x. Тогда первообразная для функции

cos (7x)

будет функция

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = sin ^x/₂.

РЕШЕНИЕ:

Первообразной для sin x служит минус cos x. Тогда первообразная для функции

у = sin ^x/₂

будет функция

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

у = (–2х + 3)³.

РЕШЕНИЕ:

Первообразной для x³ служит
Тогда первообразная для исходной функции

у = (–2х + 3)³.

будет функция

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

РЕШЕНИЕ:

Сначала упростим выражение в степени:

Первообразной экспоненциальной функции является сама экспоненциальная функция. Первообразной исходной функции будет:

Если y = F(x) – первообразная для функции

y = f(x) на промежутке Х, то у функции y = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид:

y = F(x) + С.

Если во всех примерах, которые были рассмотрены выше, потребовалось бы найти множество всех первообразных, то везде следовало бы прибавить константу С.

Для функции у = cos (7x) все первообразные имеют вид:

Для функции у = (–2х + 3)³ все первообразные имеют вид:

ПРИМЕР:

По заданному закону изменения скорости тела от времени

v = –3sin 4t

найти закон движения

S = S(t),

если в начальный момент времени тело имело координату равную
1,75.

РЕШЕНИЕ:

Так как v = S'(t), нам надо найти первообразную для заданной скорости.

S = –3 ¹/₄ (–cos 4t) + C = ³/₄ cos 4t + C.

В этой задаче дано дополнительное условие – начальный момент времени. Это значит, что t = 0.

S(0)= ³/₄ (–cos 4∙ 0) + C = ⁷/₄,

³/₄ cos 0 + C = ⁷/₄,

³/₄ ∙1 + C = ⁷/₄,

C = 1.

Тогда закон движения описывается формулой:

S = ³/₄ cos 4t + 1.

Формул для нахождения частного и произведения первообразной функции не существует.

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

РЕШЕНИЕ:

Так как формул для нахождения частного и произведения первообразной функции не существует, то поступаем следующим образом. Разобьём дробь на сумму двух дробей.

Найдём первообразные каждого слагаемого и их сумму.

F(x) = 1∙ х + ln x = х + ln x.

Решение выражений со степенью с рациональным показателем.

Многие конструкции и выражения, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к

могут быть представлены в виде степени с рациональным показателем, а именно:

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

РЕШЕНИЕ:

Посчитаем каждый корень отдельно:

Итого:

Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой.

Иногда необходимо из множества всех первообразных найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку.

Все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдёт одна первообразная, и причём, только одна.

Поэтому примеры, приведённые ниже, сформулированы следующим образом:

Надо не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.

ПРИМЕР:

Найти первообразную для функции

f(x) = 5x⁴ + 6x³ – 2x + 6

в точке М (–1; 4).

РЕШЕНИЕ:

Посчитаем каждое слагаемое:

Найдём первообразную:

Эта функция должна проходить через точку М (–1; 4). Что значит, что она проходит через точку ? Это значит, что если вместо х поставить –1, а вместо F(x) – 4, то получится верное числовое равенство: