Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 2 апреля 2020 г.

Урок 4. Первісна функція

ВИДЕО УРОК

Що таке первісна і як вона вважається ?

ПРИКЛАД:

Знайдемо похідну:

f(x) = x3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо її, користуючись формулою:
Звідки
Це і є визначення первісної.
Аналогічно запишемо і такий вислів:
Узагальнимо це правило і виведемо наступну формулу:
При   n = –1  первісна функція визначається наступним чином:
Враховуючи що
а похідна
Первісної функції називається така функція, похідна якої дорівнює вихідної функції.

Функція

y = F(x)

називається первісною функції

y = f(x)

на проміжку  Х, якщо для будь-якого  х Х  виконується рівність:

F(x) = f(x).

Таблиця первісних функцій.
До кожного виразу в правій частині таблиці необхідно додати константу.

Правила знаходження первісних функцій.

1. Первісна функція суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) первісних функцій.

F(x + у) = F(x) + F(у),
F(x – у) = F(x) – F(у).

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = 4х3 + cos x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісна суми дорівнює сумі первісних, тоді треба знайти первісну для кожної з представлених функцій.

f(x) = 4x3F(x) = x4.
f(x) = cos xF(x) = sin x.

Тоді первісна вихідної функції буде

у = х4 + sin x

або будь-яка функція виду

у = х4 + sin x + C.

2. Якщо  F(x) – первісна для  f(x), то
k F(x) – первісна для функції  k f(x).
(Коефіцієнт можна виносити за функцію).

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = 8 sin x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісною для  sin x  служить мінус cos x. Тоді первісна вихідної функції набуде вигляду:

у = –8 cos x.

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = 3x2 + 4х + 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісною для  x2  служить
Первісною для  x  служить
Первісною для  1  служить  x.
Тоді первісна вихідної функції набуде вигляду:

у = x3 + 2x2 + 5 x.

3. Якщо  y = F(x) – первісна для функції

y = f(x),

то первісна для функції

y = f(kx + m)

служить функція

y = 1/k F(kx + m).

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = cos (7x).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісною для  cos x  служить  sin x. Тоді первісна для функції

cos (7x)

буде функція
ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = sin x/2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісною для  sin x  служить мінус  cos x. Тоді первісна для функції

у = sin x/2

буде функція
ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = (–2х + 3)3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісною для  x3  служить
Тоді первісна для вихідної функції

у = (–2х + 3)3.

буде функція
ПРИКЛАД:


Знайти первісну для функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку спростимо вираз в ступеня:
Первісної експоненційної функції є сама експоненціальна функція. Первісної вихідної функції буде:
Якщо  y = F(x) – первісна для функції
y = f(x)  на проміжку  Х, то у функції  y = f(x)  нескінченно багато первісних, і всі вони мають вигляд:

y = F(x) + С.

Якщо у всіх прикладах, які були розглянуті вище, треба було б знайти безліч всіх первісних, то всюди слід було б додати константу  С.
Для функції  у = cos (7x)  все первісні мають вигляд:
Для функції  у = (–2х + 3)3  все первісні мають вигляд:
ПРИКЛАД:

За заданим законом зміни швидкості тіла від часу

v = –3sin 4t

знайти закон руху

S = S(t),

якщо в початковий момент часу тіло мало координату рівну
1,75.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як  v = S'(t), нам треба знайти первісну для заданої швидкості.

S = –3 1/4 (–cos 4t) + C = 3/4 cos 4t + C.

У цьому завданні дано додаткову умову – початковий момент часу. Це означає, що  t = 0.

S(0)= 3/4 (–cos 40) + C = 7/4,
3/4 cos 0 + C = 7/4,
3/4 1 + C = 7/4,
C = 1.

Тоді закон руху описується формулою:

S = 3/4 cos 4t + 1.

Формул для знаходження приватного та твори первісної функції не існує.

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як формул для знаходження приватного та твори первісної функції не існує, то чинимо так. Розіб'ємо дріб на суму двох дробів.
Знайдемо первісні кожного доданка і їх суму.

F(x) = 1 х + ln x = х + ln x.

Рішення виразів зі ступенем з раціональним показником.

Багато конструкцій і виразив, які, на перший погляд, не мають ніякого відношення до
можуть бути представлені у вигляді ступеня з раціональним показником, а саме:
ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Порахуємо кожен корінь окремо:
Разом:
Рішення задач на знаходження первісних із заданою точкою.

Іноді необхідно з безлічі всіх первісних знайти одну-єдину таку, яка проходила б через задану точку.
Всі первісні даної функції відрізняються лише тим, що вони зрушені по вертикалі на якесь число. А це означає, що яку б точку на координатній площині ми не взяли, обов'язково пройде одна первісна, і причому, тільки одна.
Тому приклади, наведені нижче, сформульовані наступним чином:
Треба не просто знайти первісну, знаючи формулу вихідної функції, а вибрати саме таку з них, яка проходить через задану точку, координати якої будуть дані в умові задачі.

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

f(x) = 5x4 + 6x3 – 2x + 6
в точці  М (–1; 4).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Порахуємо кожний доданок:
Знайдемо первісну:
Ця функція повинна проходити через точку  М (–1; 4). Що значить, що вона проходить через точку ? Це означає, що якщо замість  х поставити   –1, а замість  F(x) 4, то вийде вірне числове рівність:
Вийшло рівняння щодо  С. Знайдемо  С.
Підставами в загальне рішення  С = 10,5  отримаємо відповідь:
ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

f(x) = (x – 3)2
в точці  М (2; –1).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В першу чергу необхідно розкрити квадрат різниці за формулою скороченого множення.

f(x) = x2 – 6x + 9.

Порахуємо кожний доданок:
Знайдемо первісну:
Знайдемо  С, підставивши координати точки  М.
Залишилося відобразити підсумкове вираз.
Рішення тригонометричних задач.

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:
в точці  М (π/4; –1).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємося формулою:
Тоді

F(x) = tg x + C,

Підставляємо координати точки  М

–1 = tg π/4 + C,
–1 = 1 + C,
C = –2.

Залишилося відобразити підсумкове вираз.

F(x) = tg x – 2.

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:
в точці  М (π/4; 2).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємося формулою:
або
Тоді

F(x) = –ctg x + C,

Підставляємо координати точки  М

2 = –сtg (–π/4) + C,
2 = сtg π/4 + C,
2 = 1 + C
C = 1.

Залишилося відобразити підсумкове вираз.

F(x) = –сtg x + 1.

Завдання до уроку 4
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий