Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 4. Первісна функція

ВИДЕО УРОК

Що таке первісна і як вона вважається ?

ПРИКЛАД:

Знайдемо похідну:

f(x) = x³.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо її, користуючись формулою:

Звідки

Це і є визначення первісної.

Аналогічно запишемо і такий вислів:

Узагальнимо це правило і виведемо наступну формулу:

При n = –1 первісна функція визначається наступним чином:
Враховуючи що

а похідна

Первісної функції називається така функція, похідна якої дорівнює вихідної функції.

Функція

y = F(x)

називається первісною функції

y = f(x)

на проміжку Х, якщо для будь-якого х ∈ Х виконується рівність:

F(x) = f(x).

Таблиця первісних функцій.

До кожного виразу в правій частині таблиці необхідно додати константу.

Правила знаходження первісних функцій.

1. Первісна функція суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) первісних функцій.

F(x + у) = F(x) + F(у),

F(x – у) = F(x) – F(у).

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = 4х³ + cos x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісна суми дорівнює сумі первісних, тоді треба знайти первісну для кожної з представлених функцій.

f(x) = 4x³, F(x) = x⁴.

f(x) = cos x, F(x) = sin x.

Тоді первісна вихідної функції буде

у = х⁴ + sin x

або будь-яка функція виду

у = х⁴ + sin x + C.

2. Якщо F(x) – первісна для f(x), то

k F(x) – первісна для функції k f(x).

(Коефіцієнт можна виносити за функцію).

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = 8 sin x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісною для sin x служить мінус cos x. Тоді первісна вихідної функції набуде вигляду:

у = –8 cos x.

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = 3x² + 4х + 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісною для x² служить

Первісною для x служить

Первісною для 1 служить x.

Тоді первісна вихідної функції набуде вигляду:

у = x³ + 2x² + 5 x.

3. Якщо y = F(x) – первісна для функції

y = f(x),

то первісна для функції

y = f(kx + m)

служить функція

y = ¹/_kF(kx + m).

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = cos (7x).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісною для cos x служить sin x. Тоді первісна для функції

cos (7x)

буде функція

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = sin ^x/₂.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісною для sin x служить мінус cos x. Тоді первісна для функції

у = sin ^x/₂

буде функція

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

у = (–2х + 3)³.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Первісною для x³ служить
Тоді первісна для вихідної функції

у = (–2х + 3)³.

буде функція

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку спростимо вираз в ступеня:

Первісної експоненційної функції є сама експоненціальна функція. Первісної вихідної функції буде:

Якщо y = F(x) – первісна для функції

y = f(x) на проміжку Х, то у функції y = f(x) нескінченно багато первісних, і всі вони мають вигляд:

y = F(x) + С.

Якщо у всіх прикладах, які були розглянуті вище, треба було б знайти безліч всіх первісних, то всюди слід було б додати константу С.

Для функції у = cos (7x) все первісні мають вигляд:

Для функції у = (–2х + 3)³ все первісні мають вигляд:

ПРИКЛАД:

За заданим законом зміни швидкості тіла від часу

v = –3sin 4t

знайти закон руху

S = S(t),

якщо в початковий момент часу тіло мало координату рівну

1,75.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як v = S'(t), нам треба знайти первісну для заданої швидкості.

S = –3 ¹/₄ (–cos 4t) + C = ³/₄ cos 4t + C.

У цьому завданні дано додаткову умову – початковий момент часу. Це означає, що t = 0.

S(0)= ³/₄ (–cos 4∙ 0) + C = ⁷/₄,

³/₄ cos 0 + C = ⁷/₄,

³/₄ ∙1 + C = ⁷/₄,

C = 1.

Тоді закон руху описується формулою:

S = ³/₄ cos 4t + 1.

Формул для знаходження приватного та твори первісної функції не існує.

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як формул для знаходження приватного та твори первісної функції не існує, то чинимо так. Розіб'ємо дріб на суму двох дробів.

Знайдемо первісні кожного доданка і їх суму.

F(x) = 1∙ х + ln x = х + ln x.

Рішення виразів зі ступенем з раціональним показником.

Багато конструкцій і виразив, які, на перший погляд, не мають ніякого відношення до

можуть бути представлені у вигляді ступеня з раціональним показником, а саме:

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Порахуємо кожен корінь окремо:

Разом:

Рішення задач на знаходження первісних із заданою точкою.

Іноді необхідно з безлічі всіх первісних знайти одну-єдину таку, яка проходила б через задану точку.

Всі первісні даної функції відрізняються лише тим, що вони зрушені по вертикалі на якесь число. А це означає, що яку б точку на координатній площині ми не взяли, обов'язково пройде одна первісна, і причому, тільки одна.

Тому приклади, наведені нижче, сформульовані наступним чином:

Треба не просто знайти первісну, знаючи формулу вихідної функції, а вибрати саме таку з них, яка проходить через задану точку, координати якої будуть дані в умові задачі.

ПРИКЛАД:

Знайти первісну для функції:

f(x) = 5x⁴ + 6x³ – 2x + 6

в точці М (–1; 4).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Порахуємо кожний доданок:

Знайдемо первісну:

Ця функція повинна проходити через точку М (–1; 4). Що значить, що вона проходить через точку ? Це означає, що якщо замість х поставити –1, а замість F(x) – 4, то вийде вірне числове рівність: