Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 3 мая 2020 г.

Урок 6. Визначений інтеграл

ВИДЕО УРОК

Для того, щоб навчитися вирішувати визначені інтеграли необхідно

1)  Уміти знаходити невизначені інтеграли.
2)  Уміти вичислити визначений інтеграл.

 У загальному вигляді визначений інтеграл записується так:
В порівнянні з невизначеним інтегралом додалися межі інтегрування.

Нижня межа інтегрування позначається буквою  а.
Верхня межа інтегрування позначається буквою  b.
Відрізок  [a; b]  називається відрізком інтеграції.

Визначений інтеграл – це число. Вирішити визначений інтеграл це означає знайти число.
Знаходиться визначений інтеграл за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.
Етапи рішення визначеного інтеграла.

1)  Спочатку знаходимо первісну функцію

F(Х)

(невизначений інтеграл). Константа  С  в визначеному інтегралі не додається.
Позначення
є чисто технічним, і вертикальна паличка не несе ніякого математичного сенсу. Запис
потрібна для підготовки застосування формули Ньютона-Лейбніца.

2)  Підставляємо значення верхньої межі в первісну функцію

F(b).

3)  Підставляємо значення нижньої межі в первісну функцію

F(а).

4)  Знаходимо різницю (число)

F(b) – F(a).

Визначений інтеграл існує не завжди.

ПРИКЛАД:


Інтеграла
не існує, оскільки відрізок інтегрування  

[–5; –2]  

не входить в область визначення підінтегральної функції (значення під квадратним коренем не можуть бути негативними).

ПРИКЛАД:


Інтеграла
не існує, оскільки на відрізку інтегрування  

[–2; 3]  

тангенс терпить нескінченні розриви в точках

х = –π/2,  х = π/2.

Для того щоб визначений інтеграл існував, досить щоб підінтегральна функція була неперервною на відрізку інтегрування.

Тому перед тим, як приступити до вирішення будь-якого визначеного інтеграла, потрібно переконатися в тому, що підінтегральна функція неперервна на відрізку інтегрування.
Визначений інтеграл може бути дорівнює негативному числу або нулю.
Нижня межа інтегрування може бути більше верхньої межі інтегрування.


ПРИКЛАД:
Інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца.

Властивості визначеного інтеграла.


1)  У визначеному інтегралі можна переставити верхню і нижню межу, змінивши при цьому знак.
ПРИКЛАД:


У визначеному
інтеграліперед інтеграцією доцільно поміняти межі інтегрування на << звичний >> порядок:
У такому вигляді інтегрувати значно зручніше.

2)  Властивості лінійності.
де   k = const.
Це справедливо не тільки для двох, але і для будь-якої кількості функцій.

ПРИКЛАД:


Обчислити визначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виносимо константу за знак інтеграла:
Інтегруємо по таблиці за допомогою формули
Використовуємо формулу Ньютона-Лейбніца.
Спочатку підставляємо в  х3  верхня межа, потім нижню межу. Проводимо подальші обчислення і отримуємо остаточну відповідь.

= 2/3 (23 – 13) = 2/3 (8 – 1) = 2/3 ∙ 7 = 14/3 = 42/3.

ПРИКЛАД:


Обчислити визначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:
Обчислити визначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використовуємо властивості лінійності визначеного інтеграла.
Для кожного з трьох доданків застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца.
 

Розглянемо другий спосіб вирішення цього інтеграла.

ПРИКЛАД:


Обчислити визначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Спочатку використовуємо правило лінійності і інтегруємо по таблиці. Виходить одна дужка з виділенням меж.
У первісну функцію спочатку підставимо  4, потім  –2. А потім знайдемо різницю.
Перед тим, як використовувати формулу Ньютона-Лейбніца, корисно провести перевірку і переконатися, що первісна функція знайдена правильно.
 Так, стосовно до розглянутого прикладу, перед тим, як в первісну функцію
підставляти верхні і нижні межі, необхідно перевірити правильно чи ні, знайдений невизначений інтеграл. Диференціюючи:
Отримана вихідна підінтегральна функція, значить, невизначений інтеграл знайдено вірно.

ПРИКЛАД:

Обчислити визначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Завдання до уроку 6
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий