Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 29 апреля 2020 г.

Урок 6. Определённый интеграл

ВИДЕО УРОК
Для того чтобы научиться решать определённые интегралы необходимо

1)  Уметь находить неопределённые интегралы.
2)  Уметь вычислить определённый интеграл.

 В общем виде определённый интеграл записывается так:
По сравнению с неопределённым интегралом прибавились пределы интегрирования.

 Нижний предел интегрирования обозначается буквой  а.
Верхний предел интегрирования обозначается буквой  b.
Отрезок  [a; b]  называется отрезком интегрирования.

 Определённый интеграл – это число. Решить определённый интеграл это значит найти число.
Находится определённый интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Этапы решения определённого интеграла.

 1)  Сначала находим первообразную функцию

 F(Х)

 (неопределённый интеграл). Константа  С  в определённом интеграле не добавляется.
Обозначение
является чисто техническим, и вертикальная палочка не несёт никакого математического смысла. Запись
нужна для подготовки применения формулы Ньютона-Лейбница.

 2)  Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию

 F(b).

 3)  Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию

 F(а).

 4)  Находим разность (число)

 F(b) – F(a).

 Определённый интеграл существует не всегда.

 ПРИМЕР:

 Интеграла
не существует, поскольку отрезок интегрирования  

 [–5; –2]  

 не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными).

 ПРИМЕР:

 Интеграла
не существует, поскольку на отрезке интегрирования  [–2; 3]  тангенс терпит бесконечные разрывы в точках

 х = –π/2,  х = π/2.

 Для того чтобы определённый интеграл существовал, достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.

 Поэтому перед тем, как приступить к решению любого определённого интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования.
Определённый интеграл может быть равен отрицательному числу или нулю.
Нижний предел интегрирования может быть больше верхнего предела интегрирования.

 ПРИМЕР:
Интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

 Свойства определённого интеграла.

 1)  В определённом интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак.
ПРИМЕР:

 В определённом интеграле
перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на <<привычный>> порядок:
В таком виде интегрировать значительно удобнее.

2)  Свойства линейности.
где   k = const.
Это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

 ПРИМЕР:

 Вычислить определённый интеграл:
РЕШЕНИЕ:

 Выносим константу за знак интеграла:
Интегрируем по таблице с помощью формулы
Используем формулу Ньютона-Лейбница.
Сначала подставляем в  х3  верхний предел, зптем нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

 = 2/3 (23 – 13) = 2/3 (8 – 1) = 2/3 ∙ 7 = 14/3 = 42/3.

 ПРИМЕР:

 Вычислить определённый интеграл:
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:
Вычислить определённый интеграл:
РЕШЕНИЕ:

Используем свойства линейности определённого интеграла.
Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим второй способ решения этого интеграла.

 ПРИМЕР:

 Вычислить определённый интеграл:
РЕШЕНИЕ:
Сначала используем правило линейности и проинтегрируем по таблице. Получается одна скобка с отчёркиванием пределов.
В первообразную функцию сначала подставим  4, затем  –2. А затем найдём разность.
Перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку и убедиться, что первообразная функция найдена правильно.
 Так, применительно к рассматриваемому примеру, перед тем, как в первообразную функцию
подставлять верхний и нижний пределы, необходимо проверить правильно или нет, найден неопределённый интеграл. Дифференцируем:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределённый интеграл найден верно.

ПРИМЕР:


Вычислить определённый интеграл:
РЕШЕНИЕ:
Задания к уроку 6
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий