Завдання 3. Застосування визначеного інтеграла для вирішення геометричних завдань

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАВДАНЬ

або

ВИДЕО УРОК

  1. Частина площини, обмеженої лініями

y = ln x, x = e  і  y = 0,

обертається навколо осі ординат  (Оу). Вичислити об'єм отриманого тіла.

 а)  ^π/₄ (е² – 1);     

 б)  ^π/₂ (е² + 1);     

 в)  ^π/₂ (е² – 1);     

 г)  ^π/₄ (е² + 1).

 2. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі  Ох  криволінійної трапеції, яку обмежують лінії:

х = 0, х = 8,

у = 0, у = 2х + 1.

 а)  816¹/₃ куб. од.;     

 б)  818¹/₃ куб. од.;     

 в)  816²/₃ куб. од.;     

 г)  818²/₃ куб. од.             

 3. Фігура, яку обмежують лінії:

х = 1, х = 4,

у = 0, у = 6х² + 1,

обертається навколо осі  Ох. Знайдіть об’єм фігури обертання.

 а)  7622,8 куб. од.;     

 б)  7620,8 куб. од.;     

 в)  7620,6 куб. од.;     

 г)  7622,6 куб. од.

 4. Який об’єм має тіло, що утворене обертанням косинусоїди навколо осі  Ох  і яке обмежують площини  х = 0  і  х = ^π/₂ ?

 а)  ^π/₃ куб. од.;     

 б)  ^π/₄ куб. од.;     

 в)  ^π/₅ куб. од.;     

 г)  ^π/₂ куб. од.

 5. Знайдіть об’єм тіла, обмеженого площинами 

у = 0  та  у = 1, х = 1 

і обертанням навколо осі  Оу  кривої 

у = х².

 а)  ¹/₄ куб. од.;     

 б)  ²/₃ куб. од.;     

 в)  ¹/₃ куб. од.;     

 г)  ¹/₂ куб. од.

 6. Знайдіть об’єм тора, отриманого обертанням кола радіуса  2  із центром  О(0; 5)  навколо осі  Ох.

 а)  40π²;     

 б)  44π²;     

 в)  38π²;     

 г)  42π².

 7. Знайдіть об’єм тіла, обмеженого площинами 

у = 0  та  у = 1, х = 1 

і обертанням навколо осі  Оу  кривої 

у = х.

 а)  ¹/₄ куб. од.;     

 б)  ²/₃ куб. од.;     

 в)  ¹/₃ куб. од.;     

 г)  ¹/₂ куб. од.  

 8. Знайти площу фігури, обмеженої графіком функції

у = √͞͞͞͞͞x,

віссю абсцис   (Ох)   і прямої  х = 4.

 а)  ¹⁴/₃ кв. од;     

 б)  ¹⁷/₃ кв. од;     

 в)  ¹⁰/₃ кв. од;     

 г)  ¹⁶/₃ кв. од.

 9. Знайти площу фігури, обмеженої лініями

у = 4 – х²,  у = 3х,  у = 0 

і що знаходиться в  1-її чверті.

 а)  ¹⁷/₆ кв. од.;     

 б)  ¹⁹/₆ кв. од.;     

 в)  ¹⁹/₈ кв. од.;     

 г)  ¹⁷/₈ кв. од.

10. Знайти площу криволінійної трапеції  АСDВ, якщо рівняння кривої  СD  х² = 4у  і абсциси  А  і  В  відповідно 1  і  2.

 а)  ⁷/₁₁ кв. од.;     

 б)  ⁵/₁₂ кв. од.;     

 в)  ⁷/₁₁ кв. од.;     

 г)  ⁷/₁₂ кв. од.

11. Знайти площу фігури, обмеженої параболою

х² – 6х + 5

і віссю абсцис  (Ох).

 а)  ³²/₃ кв. од.;     

 б)  ³¹/₅ кв. од.;     

 в)  ³¹/₃ кв. од.;     

 г)  ³²/₅ кв. од.

12. Знайти площу фігури, ув'язненої між параболою

х² = 4у

і кривій

у(х² + 4) = 8.

 а)  ⁴/₅ кв. од.;     

 б)  ⁵/₂ кв. од.;     

 в)  ⁴/₃ кв. од.;     

 г)  ⁵/₃ кв. од.

Завдання до уроку 8

• Завдання 1
• Завдання 2