Урок 7. Графічне рішення тригонометричних нерівностей

ВИДЕО УРОК

Розглянемо приклади графічного рішення простих тригонометричних нерівностей, тобто нерівностей виду:

f(x) ˃ a,

f(x) < a

де  f(x) – одна з тригонометричних функцій.

Графічна інтерпретація рішень нерівностей виду

sin х ˃ а,

sin х ≥ а.

Графічна інтерпретація рішень нерівностей виду

sin х < а,

sin х ≤ а.

Графічна інтерпретація рішень нерівностей виду

cos х ˃ а,

cos х ≥ а.

Графічна інтерпретація рішень нерівностей виду

cos х < а,

cos х ≤ а.

Графічна інтерпретація рішень нерівностей виду

tg х ˃ а,

tg х ≥ а.

Графічна інтерпретація рішень нерівностей виду

tg х < а,

tg х ≤ а.

Графічна інтерпретація рішень нерівностей виду

ctg х ˃ а,

ctg х ≥ а.

Графічна інтерпретація рішень нерівностей виду

ctg х < а,

ctg х ≤ а.

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

sin х ˃ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо графік функції

у = sin х

і виберемо на осі  х  значення аргументу  х, яким відповідають точки графіку, осі  х, що лежать вище. Одним з проміжків, що містять такі точки осі  х, є інтервал

(0; π), (дивіться малюнок),

а всього таких інтервалів буде нескінченне багато.

Причому в силу періодичності функції

у = sin х

кожен з них виходить з  (0; π)  зрушенням по осі  х  на

2πk, де  k ∈ Z.

Таким чином, рішенням заданої нерівності служить об'єднання інтервалів виду

(0 + 2πk; π + 2πk), тобто

(2πk; π + 2πk), k ∈ Z.

Це можна записати так:

2πk < x < π + 2πk), k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

2πk < x < π + 2πk), k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

соs х < ¹/₂.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо графік функції

у = соs х

і проведемо пряму

у = ¹/₂.

Нас цікавлять ті значення аргументу  х, яким відповідають точки графіку, що лежать нижче прямої

у = ¹/₂.

Одним з потрібних нам проміжків є інтервал

(^π/₃; ^5π/₃).

Скориставшись періодичністю функції

у = соs х,

запишемо відповідь.

ВІДПОВІДЬ:

^π/₃ + 2πk < x < ^5π/₃ + 2πk, k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

tg х ≥ –1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо графік функції

у = tg х

і проведемо пряму

у = –1.

Нас цікавлять ті значення  х, яким відповідають точки графіку, що лежать не нижче прямої

у = –1.

Одним з потрібних нам проміжків є інтервал

[–^π/₄; ^π/₂),

А всього таких проміжків буде нескінченне багато, причому в силу періодичності функції

у = tg х

кожен виходить з

[–^π/₄; ^π/₂)

зрушенням по осі  х  на  πk, де  k ∈ Z. Це дозволяє записати рішення таким чином.

ВІДПОВІДЬ:

–^π/₄ + πk ≤ x < ^π/₂ + πk, k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

cos х – 3х + 1 ≥ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

При рішенні нерівності графічним способом необхідно як можна точніше побудувати графіки функцій.

Перетворимо цю нерівність до виду:

cos х ≥ 3х – 1.

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій

у = cos х,

у = 3х – 1.

Графіки функцій перетинаються в точці  А  з координатами 

х ≈ 0,6  і  у ≈ 0,8.

На проміжку  (–∞; 0,6)  точки графіку

у = 3х – 1

нижче точок графіку

у = cos х.

А при  х ≈ 0,6  значення функцій співпадають. Тому

 cos х ≥ 3х – 1

при  х ≤ 0,6.

ВІДПОВІДЬ:

х ∈ (–∞; 0,6].

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

sin х < 2х – 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій

у = sin х,

у = 2х – 1.

Графіки функцій перетинаються в точці 

А(х ≈ 0,9; у ≈ 0,8).

На проміжку  (0,9; +∞)  точки графіку 

у = 2х – 1 

вище за точки графіку  

у = sin х.

Значить

sin х < 2х – 1

при  х ˃ 0,9.

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

соs х – х² – 2х – 1 ≥ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо цю нерівність до виду:

соs х ≥ х² + 2х + 1.

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій

у = соs х,

у = х² + 2х + 1.

Графіки функцій перетинаються в точках 

А(0; 1)  и  В(х ≈ –1,4; у ≈ 0,2).

На проміжку  [–1,4; 0]  точки графіку функції

у = х² + 2х + 1

нижче точок графіку

у = соs х.

значить,

соs х ≥ х² + 2х + 1

при  –1,4 ≤ х ≤ 0.

ВІДПОВІДЬ:  х ∈ [–1,4; 0]

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

sin х ≤ ¹/₃.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій

у = sin х,

у = ¹/₃.

Графіки функцій перетинаються в точках 

А(–3,481; 0,333)  і  В(3,4; 0,333).

На проміжку  [–3,481; 3,4]  точки графіку функції

у = sin х

нижче точок графіку

у = ¹/₃.

значить,

sin х ≤ ¹/₃

при  –3,481 ≤ х ≤ 3,4,

або

–π – arcsin ¹/₃ ≤ х ≤ arcsin ¹/₃.

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо в декартовій системі координат графіки

та виділимо інтервали, на яких графік функції

розташований не вище від графіка прямої

Наступним кроком знаходимо абсцису точки  х₀ – перетину графіків зазначених функцій. Шукана точка є кінцем одного з проміжків, на якому виконується задана нерівність

Якщо точно:

Але враховуючи період  π  котангенса  у = ctg x, то

Іншим кінцем цього проміжку є точка  π, у якій функція у = ctg x   має вертикальну асимптоту.

Таким чином, одним із проміжків розв’язку заданої нерівності є

^2π/₃ ≤ х < π.

Добавляємо періодичність котангенса та записуємо множину розв’язків нерівності.

x ∈ [^2π/₃ + πk; π + πk)  k ∈ Z.

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спершу перевіряємо праву частину нерівності на входження в область допустимих значень синуса. Оскільки умова виконується

То розв’язок нерівності для синуса існує.

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій

та виділимо проміжки, на яких графік функції  у = sin х  розташований нижче від графіка прямої

Нижче, оскільки заданий знак нерівності строго менше.
Якщо нерівність нестрога, то точки перетину включаємо в розв’язок і дістаємо проміжок.

Знайдемо абсциси точок  х₁  і  х₂ (х₁ <  х₂) – перетину графіків зазначених функцій:

Запишемо відповідь, врахувавши період функції  у = sin х.

Отже, розв’язком нерівності є множина значень

x ∈ (–^5π/₃ + 2πk; ^π/₄ + 2πk)  k ∈ Z.

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки

То розв’язок нерівності існує.

Побудуємо в декартовій системі координат графіки функцій

та виділимо проміжки, на яких графік функції  у = соs х  розташований вище прямої

Знайдемо абсциси точок  х₁  і  х₂ (х₁ <  х₂) – перетину графіків зазначених функцій через арккосинус:

Добавляємо період косинуса  2π  та записуємо множину розв’язків нерівності:

x ∈ (–^π/₆ + 2πk; ^π/₆ + 2πk)  k ∈ Z.

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно нерівність:

tg x < √͞͞͞͞͞3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо в декартовій системі координат графіки функцій

у = tg x,

у =  √͞͞͞͞͞3

та виділимо проміжки, на яких графік функції  у = tg х  розташований нижче від графіка прямої

у =  √͞͞͞͞͞3.

Не забувайте, що тангенс має розриви і в точках розриву (в асимптотах) множина розв’язків обривається.

Знайдемо через арктангенс абсцису точки  х₀ – перетину графіків зазначених функцій, яка є кінцем одного з проміжків, на якому виконується задана нерівність

х₀ = arctg √͞͞͞͞͞3 = ^π/₃.

Іншим кінцем цього проміжку є точка  – ^π/₂, у якій функція  у = tg x  невизначена (розрив II роду).

Таким чином, одним із проміжків розв’язку заданої нерівності є

–^π/₂ < х < ^π/₃.

Враховуючи, що період тангенса рівний  π  записуємо загальний розв’язок нерівності:

x ∈ (–^π/₂ + πk; ^π/₃ + πk)  k ∈ Z

Завдання до уроку 7.

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки

• Урок 1. Найпростіші тригонометричні рівняння
• Урок 2. Методи розв'язування тригонометричних рівнянь з функціями одного аргументу
• Урок 3. Тригонометричні рівняння з функціями різних аргументів
• Урок 4. Графічні методи розв'язання тригонометричних рівнянь
• Урок 5. Системи тригонометричних рівнянь
• Урок 6. Тригонометричні нерівності