ВИДЕО УРОК
Зробимо
заміну:
sin x = u,
соs y = v.
v
= 1,5 – u.
Підставивши
вираження
1,5 – u
замість v
в друге рівняння
системи, отримаємо:
u2 + (1,5 – u)2
= 1,25,
2u2 – 3u + 1 =
0,
u1 = 1, u2 = 0,5.
Якщо
u1 = 1, то
v1 = 1,5 – u1
= 1,5 – 1 = 0,5.
Якщо
u2 = 0,5, то
v1 = 1,5 – u2 =
1,5 – 0,5 = 1.
u
= sin x, v = соs y,
sin x = 1
знаходимо:
x1 = π/2 +
2πk,
k ∈ Z.
З
рівняння
соs y = 0,5
знаходимо:
у1 = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.
sin x = 0,5
знаходимо:
x2 = (–1)k ∙
π/6 +
πk,
k ∈ Z.
З
рівняння
соs y = 1
знаходимо:
у2 = 2πn,
n ∈ Z.
x1 = π/2 +
2πk,
k ∈ Z,
у1 = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z,
x2 = (–1)k ∙
π/6 +
πk,
k ∈ Z,
у2 = 2πn,
n ∈ Z.
При рішенні систем тригонометричних рівнянь слід
використати різні позначення для параметра (n, k, m) в записі рішень
першого і другого рівнянь системи. Іншими словами, якщо в першому рівнянні
системи при записі рішення в якості параметра використана буква k, то для другого
рівняння цю букву вже використати не можна – в розглянутому прикладі для цієї
мети використовувалася буква n.
Розв'язати систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Перетворивши за формулою
ліву частину першого рівняння в добуток, одержимо: Або після підстановки з другого рівняння Розглянемо можливі випадки.
1. Якщо
а = 0 і b = πk (k = 0; ±1; ±2; …),
то розв'язком заданої системи буде будь-яка пара чисел, що визначається за системою
де α – будь яке дійсне число, а k = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
Розв'язати систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
x = ± arccos m + 2πn,
кожне із знайдених найпростіших тригонометричних рівнянь, приходимо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
Якщо
| a + b | ≤ 1 і | a – b | ≤ 1,
то
x = ± 1/2 [arccos (a + b) + arccos (a – b)] + π(n + k),
Якщо
| a + b | ˃ 1,
або
| a – b | ˃ 1,
то система розв'язків не має.
ПРИКЛАД:
Розв'язати систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
З
першого рівняння знаходимо:
у = х –
5π/3.
sin х = sin х + √͞͞͞͞͞3 соs х.
Звідки
соs х = 0,
x =
π/2 +
πn,
n ∈ Z.
Далі
знаходимо:
у
= х – 5π/3 =
π/2 +
πn – 5π/3
=
πn – 7π/6,
n
∈ Z.
ВІДПОВІДЬ:
x = π/2 +
πn,
у
= πn
– 7π/6,
n
∈ Z.
ПРИКЛАД:
Склавши 1 і 2
рівняння системи, дістанемо:
sin х ∙ соs
у + соs х ∙ sin y =
0,5 + (–0,5),
0,5[sin(х + у) + sin(х – у)] + 0,5[sin(у + х)
+ sin(у – х)] =
0,5[sin(х + у) + sin(х – у) + sin(у + х)
– sin(х – у)] =
0,5[2 sin(х + у)] = sin(х + у).
Отримаємо
наступне рівняння:
sin(х + у)
= 0.
Зробивши
віднімання з першого рівняння другого, дістанемо:
sin х ∙ соs
у – соs х ∙ sin y =
0,5 – (–0,5),
0,5[sin(х + у) + sin(х – у)] – 0,5[sin(у + х)
+ sin(у – х)] =
0,5[sin(х + у) + sin(х – у) – sin(у + х)
+ sin(х – у)] =
0,5[2 sin(х _ у)] = sin(х – у).
Отримаємо
наступне рівняння:
sin(х – у)
= 1.
π/4
+ πn/2
+ kπ,
n, k ∈ Z,
–π/4 + πn/2 – kπ, n, k ∈ Z
ПРИКЛАД:
Область
допустимих значень:
sin х ≠ 0, соs
х ≠
0.
sin2 х – 1 = sin2 х – (sin2 х +
соs2 х) =
sin2 х – sin2
х –
соs2 х = –соs 2х.
і
соs2 х – 1 = соs2 х – (sin2 х
+ соs2 х) =
соs2 х – соs2 х – sin2 х = – sin2 х.
соs х ∙ соs
y + sin х ∙
sin y = –sin2 х + (–соs2 х),
соs (х –
y) = –1,
звідси
у – х = π + 2πk, k ∈ Z,
у = х + π + 2πk, k ∈ Z,
соs 2х = 0,
2х = π/2
+ πn,
х
=
π/4 +
πn/2, n ∈ Z.
Тоді
у
=
π/4 +
πn/2 + π + 2πk =
5π/4
+ πn/2 + 2πk n,
k ∈ Z.
ВІДПОВІДЬ:
х
=
π/4 +
πn/2,
- Урок 1. Найпростіші тригонометричні рівняння
- Урок 2. Методи розв'язування тригонометричних рівнянь з функціями одного аргументу
- Урок 3. Тригонометричні рівняння з функціями різних аргументів
- Урок 4. Графічні методи розв'язання тригонометричних рівнянь
- Урок 6. Тригонометричні нерівності
- Урок 7. Графічне рішення тригонометричних нерівностей
Комментариев нет:
Отправить комментарий