Урок 7. Графическое решение тригонометрических неравенств

ВИДЕО УРОК

Рассмотрим примеры графического решения простейших тригонометрических неравенств, то есть неравенств вида:

f(x) ˃ a,

f(x) < a

где  f(x) – одна из тригонометрических функций.

Графическая интерпретация решений неравенств вида

sin х ˃ а,

sin х ≥ а.

Графическая интерпретация решений неравенств вида

sin х < а,

sin х ≤ а.

Графическая интерпретация решений неравенств вида

cos х ˃ а,

cos х ≥ а.

Графическая интерпретация решений неравенств вида

cos х < а,

cos х ≤ а.

Графическая интерпретация решений неравенств вида

tg х ˃ а,

tg х ≥ а.

Графическая интерпретация решений неравенств вида

tg х < а,

tg х ≤ а.

Графическая интерпретация решений неравенств вида

ctg х ˃ а,

ctg х ≥ а.

Графическая интерпретация решений неравенств вида

ctg х < а,

ctg х ≤ а.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

sin х ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Построим график функции

у = sin х

и выберем на оси  х  значения аргумента  х, которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси  х. Одним из промежутков, содержащих такие точки оси  х, является интервал

(0; π), (смотрите рисунок),

а всего таких интервалов будет бесконечно много.

Причём в силу периодичности функции

у = sin х

каждый из них получается из  (0; π)  сдвигом по оси  х  на

2πk, где  k ∈ Z.

Таким образом, решением заданного неравенства служит объединение интервалов вида

(0 + 2πk; π + 2πk), то есть

(2πk; π + 2πk), k ∈ Z.

Это можно записать так:

2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z.

ОТВЕТ:

2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

соs х < ¹/₂.

РЕШЕНИЕ:

Построим график функции

у = соs х

и проведём прямую

у = ¹/₂.

Нас интересуют те значения аргумента  х, которым соответствуют точки графика, лежащие ниже прямой

у = ¹/₂.

Одним из нужных нам промежутков является интервал

(^π/₃; ^5π/₃).

Воспользовавшись периодичностью функции

у = соs х,

запишем ответ.

ОТВЕТ:

^π/₃ + 2πk < x < ^5π/₃ + 2πk, k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

tg х ≥ –1.

РЕШЕНИЕ:

Построим график функции

у = tg х

и проведём прямую

у = –1.

Нас интересуют те значения  х, которым соответствуют точки графика, лежащие не ниже прямой

у = –1.

Одним из нужных нам промежутков является интервал

[–^π/₄; ^π/₂),

А всего таких промежутков будет бесконечно много, причём в силу периодичности функции

у = tg х

каждый получается из

[–^π/₄; ^π/₂)

сдвигом по оси  х  на  πk, где  k ∈ Z. Это позволяет записать решение следующим образом.

ОТВЕТ:

–^π/₄ + πk ≤ x < ^π/₂ + πk, k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

cos х – 3х + 1 ≥ 0.

РЕШЕНИЕ:

При решении неравенства графическим способом необходимо как можно более точно построить графики функций.

Преобразуем данное неравенство к виду:

cos х ≥ 3х – 1.

Построим в одной системе координат графики функций

у = cos х,

у = 3х – 1.

Графики функций пересекаются в точке  А  с координатами  х ≈ 0,6  и  у ≈ 0,8. На промежутке  (–∞; 0,6)  точки графика

у = 3х – 1

ниже точек графика

у = cos х.

А при  х ≈ 0,6  значения функций совпадают. Поэтому

 cos х ≥ 3х – 1

при  х ≤ 0,6.

ОТВЕТ:

х ∈ (–∞; 0,6].

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

sin х < 2х – 1.

РЕШЕНИЕ:

Построим в одной системе координат графики функций

у = sin х,

у = 2х – 1.

Графики функций пересекаются в точке 

А(х ≈ 0,9; у ≈ 0,8).

На промежутке  (0,9; +∞)  точки графика 

у = 2х – 1 

выше точек графика  

у = sin х.

Значит

sin х < 2х – 1

при  х ˃ 0,9.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

соs х – х² – 2х – 1 ≥ 0.

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем данное неравенство к виду:

соs х ≥ х² + 2х + 1.

Построим в одной системе координат графики функций

у = соs х,

у = х² + 2х + 1.

Графики функций пересекаются в точках 

А(0; 1)  и  В(х ≈ –1,4; у ≈ 0,2).

На промежутке  [–1,4; 0]  точки графика функции

у = х² + 2х + 1

ниже точек графика

у = соs х.

значит,

соs х ≥ х² + 2х + 1

при  –1,4 ≤ х ≤ 0.

ОТВЕТ:  х ∈ [–1,4; 0]

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

sin х ≤ ¹/₃.

РЕШЕНИЕ:

Построим в одной системе координат графики функций

у = sin х,

у = ¹/_3.

Графики функций пересекаются в точках 

А(–3,481; 0,333)  и  В(3,4; 0,333).

На промежутке  [–3,481; 3,4]  точки графика функции

у = sin х

ниже точек графика

у = ¹/₃.

значит,

sin х ≤ ¹/₃

при  –3,481 ≤ х ≤ 3,4,

или

–π – arcsin ¹/₃ ≤ х ≤ arcsin ¹/₃.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Построим в декартовой системе координат графики

и выделим интервалы, на которых график функции

у = ctg x

расположен не выше графика прямой

Следующим шагом находим абсциссу точки  х₀ – пересечению графиков отмеченных функций. Искомая точка является концом одного из промежутков, на котором выполняется заданное неравенство

Если точно:

Но, учитывая период  π  котангенса  у = ctg x, тогда

Другим концом этого промежутка является точка  π, в которой функция  у = ctg x  имеет вертикальную асимптоту.

Таким образом, одним из промежутков решения заданного неравенства будет

^2π/₃ ≤ х < π.

Добавляем периодичность котангенса и записываем множество решений неравенства.

x ∈ [^2π/₃ + πk; π + πk)  k ∈ Z.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Сначала проверяем правую часть неравенства на вхождение в область допустимых значений синуса. Поскольку условие выполняется

то решение неравенства для синуса существует.

Построим в одной системе координат графики функций

у = sin х

и выделим промежутки, на которых график функции  у = sin х  расположен ниже от графика прямой

Ниже, поскольку заданный знак неравенства строго меньше.
Если неравенство нестрогое, то точки пересечения включаем в решение и получаем промежуток.

Найдем абсциссы точек  х₁  и  х₂ (х₁ <  х₂) – пересечения графиков отмеченных функций:

Запишем ответ, учитывая период функции  у = sin х.

Следовательно, решением неравенства является множество значений

x ∈ (–^5π/₃ + 2πk; ^π/₄ + 2πk)  k ∈ Z.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

РЕШЕНИЕ:
Поскольку

то решение неравенства существует.
Построим в декартовой системе координат графики функций

и выделим промежутки, на которых график функции  у = соs х  расположен выше прямой

Найдем абсциссы точек  х₁  и  х₂ (х₁ <  х₂) – пересечения графиков отмеченных функций, через арккосинус:

Добавляем период косинуса  2π  и записываем множество решений неравенства:

x ∈ (–^π/₆ + 2πk; ^π/₆ + 2πk)  k ∈ Z.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

tg x < √͞͞͞͞͞3.

РЕШЕНИЕ:

Построим в декартовой системе координат график функций

у = tg x,

у = √͞͞͞͞͞3

и выделим промежутки, на которых график функции  у = tg х  расположен ниже графика прямой

у = √͞͞͞͞͞3.

Не забывайте, что тангенс имеет разрывы и в точках разрыва (в асимптотах) множество решений обрывается.

Найдем через арктангенс абсциссу точки  х₀ – пересечению графиков отмеченных функций, которая является концом одного из промежутков, на котором выполняется заданное неравенство

х₀ = arctg √͞͞͞͞͞3 = ^π/₃.

и на котором функция  у = tg x  не определена (разрыв II рода).

Таким образом, одним из промежутков решения заданного неравенства есть

–^π/₂ < х < ^π/₃.

Учитывая, что период тангенса ровный  π  записываем общее решение неравенства:

x ∈ (–^π/₂ + πk; ^π/₃ + πk)  k ∈ Z.

Задания к уроку 7

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения
• Урок 2. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями одного аргумента
• Урок 3. Тригонометрические уравнений с функциями разных аргументов
• Урок 4. Графический метод решения тригонометрических уравнений
• Урок 5. Системы тригонометрических уравнений
• Урок 6. Тригонометрические неравенства