Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 26 января 2015 г.

Урок 14. Подібність рівнобедрених трикутників

ВІДЕОУРОК
Дві фігури подібні, якщо кожній точці однієї фігури можна зіставити точку іншої фігури так, що для будь-яких двох точок  А  і  В  однієї фігури і порівнянних їм точок  А1  і  В1  іншої фігури виконується умова
де  k – одно і те ж позитивне число для усіх точок.
Число  k – коефіцієнт подібності фігур.

Подібність рівнобедрених трикутників.

 Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають

 – по рівному куту при основі;
– по рівному куту при вершині.

 Усі рівнобедрені прямокутні трикутники подібні.
Відношення периметрів подібних рівнобедрених трикутників дорівнює відношенню подібних сторін (коефіцієнту подібності):
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношенню відповідних сторін (квадрату коефіцієнта подібності).

При проведенні усіх трьох середніх ліній утворюється  4  рівні трикутники, подібних до початкового з коефіцієнтом  1/2.

ЗАДАЧА:

Кути при основі першого рівнобедреного трикутника дорівнюють кутам при основі другого рівнобедреного трикутника. Бічна сторона і основа першого трикутника дорівнюють відповідно  15 см  і  18 см, а висота другого трикутника, проведена до основі, – 24 см. Чому дорівнює периметр другого трикутника ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
АН = 18 : 2 = 9 (см),
Р1 : Р = В1Н1 : ВН = 

= 24 : 12 = 2,

Р1 = 2Р = 

= 2 ∙ (15 + 15 + 18) = 96 (см).

ЗАДАЧА:

Середина бічної сторони рівнобедреного трикутника віддалена від його основи на  9 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до його основи.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Трикутники  ВDС  і  КLС – подібні.
BD = 2 ∙ 9 = 18 (см).

ЗАДАЧА:

Продовження бічних сторін  АВ  і  СD  трапеції  АВСD перетинаються в точці  Е. Більша основа  АD  трапеції дорівнює     12 см,

АЕ = 15 см, ВЕ = 5 см.

Знайдіть меншу основу трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD  (АВ ∥ ВС) – задана трапеція,
АD = 12 см, АЕ = 5 см.
 ∆ ВЕС ~ ∆ АЕD,
ВІДПОВІДЬ:  4 см

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  відомо, що 

АВ = ВС = 13 см,

АС = 10 см.

До кола, вписаного в цей трикутник, проведено дотичну, яка паралельна основі  АС  і перетинає сторони  АВ  і  ВС  у точках  М  і  К  відповідно. Обчисліть площу трикутника  МВК.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Відстань  FL  між паралельними прямими  АС  і  МК  дорівнює діаметру вписаного кола. Знайдемо його. За формулою Герина
З формули  S = pr  знайдемо  r,
LF = 2r = 20/3 (см).

Знайдемо висоту  ВF  трикутника  АВС.

1/2 AC∙ BF = S = 60 (см2),

1/2∙ 10∙ BF = 60,

BF = 12 (см),

BL = BF – LF = 12 – 20/3 =

= 12 – 62/3 = 51/3 (см).

Оскільки  MK ∥ АC, то 

∆ ABC ~ ∆ MBK.

Звідки маємо:
ВІДПОВІДЬ: 1123/27 см2.

ЗАДАЧА:

Два кола з центрами  О1  і  О2, радіуси яких дорівнюють  10 см  і  16 см  відповідно, мають зовнішній дотик у точці  С. Пряма, яка проходіть через точку  С, перетинає коло з центром  О1  у точці  А, а інше коло – у точці  В. Знайдіть хорди  АС  і  ВС, якщо  АВ = 39 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Розглянемо трикутники  САО1  і  СВО2. Вони рівнобедрені і 

∠ О1СА = ∠ О2СВ.

Отже,  ∆ САО1 ~ ∆ СВО2.

Нехай  АС = х см.

Тоді  ВС = (39 – х) см.
16х = 390 – 10х,

26х = 390, х = 15.

Отже, АС = 15 см,

ВС = 39 – 15 = 24 (см).

ВІДПОВІДЬ:  15 см, 24 см.

ЗАДАЧА:

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює  40 см, а висота, проведена до неї, – 15 см. Знайдіть відстань між точками дотику кола, вписаного у трикутник, з його бічними сторонами.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВС – рівнобедрений трикутник,
АС – його основа,

АС = 40 см,

ВР – висота трикутника, ВР = 15 см,

D, К  і  Р – точки дотику вписаного кола з центром  О  і з відповідними сторонами трикутника.

АР = АС : 2 = 

= 40 : 2 = 20 (см).

З прямокутного трикутника  АРВ (∠ Р = 90°):
АО – бісектриса кута  А  трикутника  АВР. За властивістю бісектриси маємо:
5РО = 60 – 4РО,

9РО = 60, РО = 20/3 см.

ВО = 15 – 20/3 = 25/3 (см).

З прямокутного трикутника  ОDВ (∠ D = 90°)  маємо:

ВО = 25/3 см,

ОD = ОР = 20/3 см,
Аналогічно  ВК = 5 см. Отже,

∆ АВС ~ ∆ DВК.

Звідки одержимо:

АВ : АС = DВ : DК,

25 : 40 = 5 : DК,

DК = 40 ∙ 5 : 25,

DК = 8 (см).

ВІДПОВІДЬ:  8 (см)

ЗАДАЧА:

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює  40 см, а висота, проведена до основи, – 4√͞͞͞͞͞91 см. Знайдіть відстань між точками перетину бісектрис кутів при основі трикутника з його бічними сторонами.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВС – заданий рівнобедрений трикутник.
АВ = ВС = 40 см, 
ВЕ – його висота,

ВЕ = 4√͞͞͞͞͞91 см, 

О – точка перетину бісектрис 

АL  і  СК.

З прямокутного трикутника  АЕВ (∠ Е = 90°) одержимо:
АС = 24 см.
За властивістю бісектриси трикутника маємо:
Тоді 

ВL = 5/8 ВС = 25 (см).

Аналогічно  ВК = 25 см. Трикутники  КВL  і  АВС – рівнобедрені зі спільним кутом при вершині. Отже,

∆ КВL ~ ∆ АВС.

Тоді
ВІДПОВІДЬ:  15 см

ЗАДАЧА:

Діагоналі рівнобічної трапеції є бісектрисами її гострих кутів ї точкою перетину ділиться у відношенні  5 : 13. Знайдіть площу трапеції, якщо її висота дорівнює  9 см.

 РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD (ВС ∥ АD, ВС < АD) – задана трапеція.
АВ = СD, 

ВF = СК = 9 см – її висоти.

Діагональ  АС – бісектриса кута  ВАD, тому 

∠ ВАС = ∠ САD,

∠ САD = ∠ АСВ

як внутрішні різнобічні для паралельних прямих  ВС  та  АD  та дотичної  АС. Звідки  

∠ ВАС = ∠ АСВ.

Отже, ∆ АВС – рівнобедрений,

ВС = АВ.

Звідки 

АВ = ВС = СD.

Якщо  О – точка перетину діагоналей, то за умовою 

ВО : ОО = 5 : 13.

∆ BOC ~ ∆ DOA  за двома кутами. Тоді
Нехай  BC = 5x, 
тоді  AD = 13x.

Отже  AB = CD = 5x.

Оскільки  BF  і  CK – висоти,то  BC = FK,
З  ∆ АFВ (∠ F = 90°):

BF2 = AB2 – AF2,

81 = 25x2 – 16x2,

81 = 9x2, x = 3.

BC = 5 ∙ 3 = 25 (см),

AD = 13 ∙ 3 = 39 (см).
ВІДПОВІДЬ:  243 см2
Завдання до уроку 14
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий