Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 12 января 2015 г.

Урок 7. Площа паралелограма

ВІДЕОУРОК

Основа паралелограма  а – одна із сторін паралелограма. Висота паралелограма  h – перпендикуляр, проведений з будь-якої точки протилежної сторони до прямої, що містить основу.

Зазвичай висоту проводять із вершини паралелограма. Оскільки паралелограм має дві пари паралельних сторін, він має висоти двох різних довжин.
Висота  ВЕ, проведена між довгими сторонами, коротше висоти  ВF, проведеної між короткими сторонами.

Площа паралелограма дорівнює добутку висоти та сторони, до якої проведена висота.
Проведемо висоти із двох вершин  В  і  С  до сторони  АD. Прямокутні трикутники  АВЕ  і  DСF  рівні (рівні гіпотенузи як протилежні сторони паралелограма та рівні катети як відстані між паралельними прямими).

Паралелограм  ABCD  та прямокутник  EBCF – рівновеликі, тому що складаються з рівних фігур:

SABCD = SABE + SEBCD,

SEBCF = SDCF + SEBCD.

Значить, площа паралелограма визначається так само, як площа прямокутника:

SEBCF = BE∙ BC,

SABCD = BE∙ BC = BE∙ AD.

Якщо позначити сторону через  а, висоту через  h, то:
Для визначення площі паралелограма можна використовувати коротку сторону та висоту, проведену до короткої сторони.

ПРИКЛАД:

ABCD – паралелограм.
ВК ⊥ А D,  
ВК = 4 см, АD = 6 см,  

S = ВК × АD =

= 4× 6 = 24 см2.

Площа паралелограма дорівнює добутку сторін на синус кута між ними.
Площа паралелограма дорівнює половині твору діагоналей на синус кута між ними.
ЗАДАЧА:
Дано паралелограм  АВСD.
Знайдіть площу паралелограма, якщо:

ВС = 10, АК = 5.

АК – перпендикуляр, опущений із вершини  А  на пряму  ВС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВС – основа, АК – перпендикуляр, проведений до цієї основи, тоді:

Sпарал. = 10∙ 5 = 50.

ЗАДАЧА:

Дано паралелограм  АВСD.

Знайдіть площу паралелограма, якщо:

СD = 6, DL = 10  

(DL ⊥ AB).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

CD – основа, 

DL – висота, тоді:

Sпарал. = 6 ∙ 10 = 60.

ЗАДАЧА:

Площа паралелограма дорівнює  32, а дві його сторони дорівнюють  8  і  16. Знайдіть його висоти.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Для вирішення цього завдання треба з формули площі паралелограма знайти обидві висоти.

S = ah.

h1 = 32 : 8 = 4,

h2 = 32 : 16 = 2.

ЗАДАЧА:

Знайдіть площу паралелограма, зображеного на малюнку.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

S = ah.

h = 5 – висота,

а = 12 + 3 = 15 – сторона, до якої проведено висоту.

S = 15 ∙ 5 = 75.

ЗАДАЧА:

АВСD – паралелограм.
Знайдіть площу паралелограма, якщо

АВ = 6, АD = 7, ∠ А = 30°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Проведемо  ВН ⊥ АD, ВН – висота.

Знайдемо  ВН  із прямокутного трикутника  АВН. Катет, що лежить проти кута  30°, дорівнює половині гіпотенузи. Значить,

ВН = 1/2 АВ = 1/2∙ 6 = 3.

Висоту знайшли, основа відома, отже, площа паралелограма дорівнює:

S = АD∙ ВН = 7∙ 3 = 21.

ВІДПОВІДЬ:  21

ЗАДАЧА:

У паралелограмі  АВСD:

АD = а, АВ = b,

ВН = h – висота.
Знайдіть іншу висоту.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Висота входить у формулу площі паралелограма. Порахуємо площу двома способами: через одну висоту та через іншу висоту.
ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

Гострий кут паралелограма дорівнює  30°, а висоти, проведені з вершини тупого кута, дорівнюють  2 см і  3 см. Знайдіть площу паралелограма.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Є паралелограм  АВСD. Проведемо з вершини В висоти: ВН  та  ВК до прямої  АD  та  DС  відповідно.
Знайдемо основу паралелограма. Для цього розглянемо трикутник  АВН. Він прямокутний, з кутом  30°, катет, що лежить проти цього кута, дорівнює  2. Отже, гіпотенуза дорівнює:

АВ = 2 ∙ 2 = 4.

Тепер ми маємо підставу  АВ  та висоту  ВК, яка проведена до цієї підстави. Площа паралелограма дорівнюватиме:

S = АВ∙ ВК = 4∙ 3 = 12.

ВІДПОВІДЬ:  12 см2

ЗАДАЧА:

У паралелограмі  АВСD  з точки  А  проведено бісектрису  АL  та перпендикуляр  АН  до прямої  СD.

ВL = 3 м, АН = 4 м.

Знайдіть площу паралелограма.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
АН – висота, проведена з вершини  А  до прямої  СD. Щоб знайти площу треба дізнатися про довжину сторони  СD.

АL – бісектриса, отже, ∠ 1 = ∠ 2, але прямі  АD  і  ВС  паралельні, АL – січна. Значить, ∠ 2 = ∠ 3  як навхрест кути, що лежать. Тоді в трикутнику  АВL  ∠ 1 = ∠ 3, тобто це рівнобедрений трикутник.

АВ = ВL = 3. Значить,

СD = АВ = 3.

Тоді площа паралелограма дорівнює:

S = СD ∙ АН = 4 ∙ 3 = 12.

ВІДПОВІДЬ:  12 см2

ЗАДАЧА:

Висоти паралелограма дорівнюють  5 см і  4 см, а периметр дорівнює  43 см. Знайдіть площу паралелограма.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, опущену на цю сторону. Позначимо сторони паралелограма як  а  і  b. Отже, площа та периметр будуть відповідно рівними:

S = 4a, S = 5b,

P = 2a + 2b.

Звідки:

4a = 5b,

a = 5/4b.

Оскільки периметр паралелограма дорівнює  42 см, то

2(5/4b) + 2b = 42

b = 91/3.

Звідки

a = 112/3.

Тепер знаходимо площу паралелограма:

S = 4∙ 112/3 = 5∙ 91/3 = 462/3.

ВІДПОВІДЬ:  462/3 см2

ЗАДАЧА:

Площа паралелограма  АВСD  дорівнює 132. Точка  Е – середина сторони  АВ. Знайдіть площу трикутника  СВЕ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для вирішення цього завдання знання формул не потрібно Необхідно провести пряму через точку Е паралельно стороні  ВС  і  АD.
Так як  E – середина  АВ, то  ЕN  ділить паралелограм на два рівні паралелограми  АЕND  і  ЕВСN. Провівши у другому паралелограмі діагональ, вийде чотири рівні за площею трикутника.

SEBC. = 132 : 4 = 33.

ВІДПОВІДЬ:  33

Завдання до уроку 7
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий