Урок 10. Площа рівнобічної трапеції

ВІДЕОУРОК

Площа рівнобічної трапеції дорівнює добутку напівсуми її заснування на висоту.

де  а  и  b – основи,  h – висота трапеції.

Висота трапеції – перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї з основ до прямої, що містить іншу основу.

Площу рівнобічної трапеції можна обчислити також за формулами:

S = c(a – c cos γ) sin γ; ⁡⁡

S = c(b + c cos γ) sin γ, ⁡⁡

де  а  і  b – основи трапеції, с – бічна сторона, γ – кут між бічною стороною і основою.

ЗАДАЧА:

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють  12 см  і  20 см, а центр описаного кола належить більшій основі. Знайдіть площу трапеції.

Трапеція  АВСD  вписана в коло так, що  АD – діаметр кола.

АD = 20 см, ВС = 12 см.

Тоді

KD = AD – AK = 

= 20 – 4 = 16 (см).

∠ ABD = 90°

(як такий, що опирається на діаметр).

Тоді за властивістю пропорційних відрізків прямокутного трикутника:

ЗАДАЧА:

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють  15 см  і  33 см, а діагональ ділить її гострий кута навпіл. Знайдіть площу трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD (ВС ∥ АD) – рівнобічна трапеція  (ВС ∥ АD).

ВЕ – її висота, АС – діагональ. Тоді

АD = 33 см, ВС = 15 см,

АЕ = (33 – 15) : 2 = 9 (см).

∠ DАС = ∠ САВ. АD ∥ ВС  і 

АС – січна, тому  ∠ DАС = ∠ АСВ.

Крім того,  ∠ DАС = ∠ САВ  за умовою.

Тому  ∠ САВ = ∠ АСВ  і трикутник  АВС – рівнобедрений. Отже,

АВ = ВС = 15 см.

З прямокутного трикутника  ВЕА (∠ Е =  90°)  маємо:

Шукаємо площу трапеції:

S_тр. = ¹/₂ (АD + ВС) ∙ ВЕ =

= ¹/₂ (33 + 15) ∙ 12 = 288 (см²).

ВІДПОВІДЬ:  288 см²

ЗАДАЧА:

Основания равнобедренной трапеции равны  3 см  и  13 см, а диагональ делит её тупой угол пополам. Найдите площадь трапеции.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD (АD ∥ ВС) – рівнобічна трапеція,

АD = 13 см, ВС = 3 см,

ВК – її висота,

ВD – бісектриса кута В, а значить.

∠1 = ∠2,  ∠2 = ∠3,

бо  АD ∥ ВС  і  ВD – січна. Отже,

∠1 = ∠3  і  АВ = АD = 13 см.

АК = (АD – ВС) : 2 = (13 – 3) : 2 = 5 (см).

З прямокутного трикутника  АКВ (∠ К = 90°)  маємо:

Знайдемо площу трапеції.

ВІДПОВІДЬ:  96 см²

ЗАДАЧА:

У рівнобедрену трапецію вписано коло. Бокова сторона крапкою торкання ділиться на відрізки довжиною 16 см і 9 см. Знайдіть площу трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD (АD ∥ ВС) – рівнобічна трапеція,

О – центр вписаного в трапецію кола, Р, К, Е – точки дотику кола до сторін ВС, СD, АD  відповідно,

СК = 9 см, КD = 16 см,

СР = СК = 9 см

як дотичні до кола, проведені з однієї точки. Аналогічно 

ЕD = КD = 16 см.

Проведемо  

СМ ⊥ АD,

ЕМ = РС = 9 см,

тоді  

МD = ЕD – ЕМ =

= 16 – 9 = 7 см.

З  ∆СМD (∠ М = 90°):

АD = 2ЕD = 2 ∙ 16 = 32 (см),

ВС = 2РС = 2 ∙ 9 = 18 (см).

Отже,

ВІДПОВІДЬ:  600 см²

Завдання до уроку 10

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання площі
• Урок 2. Площа прямокутника
• Урок 3. Площа квадрата
• Урок 4. Площа трикутника
• Урок 5. Площа прямокутного трикутника
• Урок 6. Площа рівнобедреного трикутника
• Урок 7. Площа паралелограма
• Урок 8. Площа ромба
• Урок 9. Площа трапеції
• Урок 11. Площа прямокутної трапеції
• Урок 12. Площа круга
• Урок 13. Подібність трикутника
• Урок 14. Подібність рівнобедрених трикутників
• Урок 15. Подібність прямокутних трикутників
• Урок 16. Площа багатокутника