Урок 12. Площа круга і його частин

ВІДЕОУРОК

Площа круга.

Кругом  називається фігура, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки не більша за дану.

Ця точка називається центром круга, а дана відстань – радіусом круга. Межею круга є коло з тим самим центром і радіусом.

Площа круга визначається як границя послідовності площ правильних вписаних (або описаних) у цей круг многокутників при необмеженому збільшенні числа їх сторін.

Площа круга дорівнює половинні добутку довжини кола, що його обмежує, на радіус.

Відношення площ двох кругів дорівнює відношенню квадратів їх радіусів або квадратів їх діаметрів:

ЗАДАЧА:

Довжина кола дорівнює  6π см. Знайдіть площу відповідного круга.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

2πr = 6π, r = 3 см.

S = πr² = π ∙ 3² = 9π (см²).

ЗАДАЧА:

Радіуси двох кіл відносяться як  4 : 9. Як відносяться площі кругів, обмежених цими колами ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ЗАДАЧА:

Чому дорівнює довжина кола, яке обмежує круг площею  100π см ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

πr² = 100π, 

r² = 100, r = 10 (cм).

l = 2πr = 

= 2π ∙ 10 = 20π (cм).

ЗАДАЧА:

Знайдіть площу круга, вписаного в трикутник зі сторонами 

4 см, 13 см  і  15 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У трикутник  АВС  вписано круг,

АВ = 4 см,

ВС = 13 см,

АС = 15 см.

де  S – площа трикутника,
р – його півпериметр.

r = ²⁴/₁₆ = 1,5 (см).

Тоді площа круга:

S = πr² = π ∙ 1,5² = 2,25π (см²).

ВІДПОВІДЬ:  2,25π см²

ЗАДАЧА:

Знайти радіус такого кола, для якого його довжина і площа круга виражаються одним і тим самим числом.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо радіус шуканого кола через  R. Тоді за умовою задачі повинна виконуватися рівність

2πR = πR²,

звідки знайдемо

R = 2.

ЗАДАЧА:

Визначити площу круга, якщо площа вписаного в нього квадрата дорівнює  Q  квадратних одиниць.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Площа квадрата через його діагональ виражається формулою

Q = ¹/₂ d²,

звідки

d = √͞͞͞͞͞2Q

Але діагональ квадрата дорівнює діаметру описаного кола, тобто

2R = √͞͞͞͞͞2Q,

отже, площа круга

S = πR² = ¹/₂ πQ.

Кругової сектор.

Круговим сектором називають частину круга, яка лежить усередині відповідного центрального кута.

Сектор  АОС, АС – дуга сектора, АОС – центральний кут, який відповідає сектору  АОС.

ЗАДАЧА:

Знайти периметр  Р  кругового сектора  АОВ,

якщо радіус дорівнює  R  і  ∠ AOB = α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

P_сект = AB + OA + OB = l + 2R,

де  l – довжина дуги сектора. На підставі формули

l = R ∙ α,

отримаємо:

P_сект = Rα + 2R =

= R(α + 2).

ЗАДАЧА:

Обчислити периметр  Р  кругового сектора з центральним кутом  75°  і радіусом, рівним  20 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки кут  75°  містить  1,31  радіана (дивіться таблицю), то:

P_сект ≈ 20(1,31 + 2) ≈ 66,2 см.

Площу сектора з центральнім кутом в  1°  визначають за формулою

Площу сектора з центральнім кутом в  n°  визначають за формулою

R – радіус круга, 

n° – градусна міра відповідного центрального кута, 

φ – радіанна міра відповідного центрального кута

ЗАДАЧА:

Радіус сектора дорівнює  r, а його площа дорівнює  Q. Визначити величину центрального кута.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Враховуючи формули для площі сектора та довжини його дуги, дістанемо

звідки

Якщо кут  α  виражений у радіанах, то:

Площа кругового сектора дорівнює добутку половини квадрата радіусу на величину центрального кута цього сектора, вираженого в радіанах.

R – радіус круга, 

n° – градусна міра відповідного центрального кута, 

φ – радіанна міра відповідного центрального кута

ЗАДАЧА:

Обчислити площу  S  кругового сектора з центральним кутом  75°  і радіусом, рівним  20 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки кут  75°  містить  1,31  радіана (дивіться таблицю), то:

S_сект ≈ ¹/₂ ∙ 20² ∙ 1,31 ≈ 262 см².

ЗАДАЧА:

Обчислити площу  S  кругового сектора при даному радіусі  R = 25 см  і центральному вугіллі, що дорівнює  42°24'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

S_сект ≈ ¹/₂ ∙ 25² ∙ 0,7400 ≈

≈ 625 ∙ 0,37 ≈ 231 см².

Кругової сегмент.

Круговим сегментом називають частину круга, яка лежить з одного боку від прямої, що перетинає даний круг.

Будь – яка пряма розбиває круг на два кругових сегменти.

Площа сегмента знаходиться як різниця між площею відповідного сектора і трикутника, утвореного його радіусами і хордою.

Можна також сказати, що площа сегмента дорівнює половині радіуса, помноженого на різницю між дугою сегмента і половиною хорди подвоєної його дуг. Це твердження випливає з рисунку, на якому 

CD = DB, BC ⊥ AO.

Площу кругового сегмента, який не дорівнює півкругу, обчислюють за формулою

де  n° – градусна міра відповідного центрального кута, якій містить дугу кругового сегмента, а  S_АОВ  – площа трикутника з вершинами в центрі круга і на кінцях радіусів, які обмежують даний сектор. Знак  +  (плюс) треба брати, колі  

n° > 180°, 

а знак  – (мінус) тоді, коли  

n° < 180°.

Якщо градусна міра дуги сегмента невелика, то площу сегмента можна обчислити за наближеною формулою

де  b – основа сегмента;  

h – висота сегмента, яку часто називають стрілкою. 

Точніша наближена формула має вигляд:

Площа кільця, утвореного двома концентричними колами радіусів  R₁ і  R₂, обчислюється як різниця площ цих кіл. Нехай  R₂ ˃ R₁, тоді:

ЗАДАЧА:

Навколо правильного трикутника з площею  Q  описано коло і в цей самий трикутник вписано інше коло. Визначити площу кільця між цими колами.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Площу правильного трикутника через його висоту виражається за формулою:

звідки

Радіуси описаного та вписаного кіл відповідно дорівнюють:

R = ²/₃ h;  r = ¹/₃ h.

Площа кільця:

Знаходження параметрів кругового сегмента за допомогою.

На кресленні

зображено круговий сегмент  АСВМА. Треба обчислити:

1. Довжину хорди  АВ.

2. Відстань цієї хорди від центру кола.

3. Довжину стрілки (висоти)  h.

4. Площа сегмента АСВМА.

За умови, що радіус кола дорівнює  R, а центральний кут  АОВ  дорівнює  α  (радіанів).

1. Хорда  АВ = 2АС  (ОС ⊥ АВ),

або 

АВ = 2АО sin ∠ АОС = 2R sin ^π/₂.

2. Відстань  ОС  хорди  АВ  від центру виразиться так:

ОС = ОА cos ∠ АОС,

або

ОС = R cos ^α/₂.

3. Стрілка сегменту

h = ОМ – ОС,

або

h = R – R cos ^α/₂ = R(1 – cos ^α/₂),

або

h = 2R sin^{2 α}/₄.

4. Площа сегмента  АСВМА:

S_{сегмАСВМА} = S_{сектАМВОА} – S_∆АВО =

= ¹/₂ R²α – ¹/₂ АВ ∙ ОС.

Підставляючи замість  АВ  та  ОС  їх значення, отримаємо:

S_{сегмАСВМА} = ¹/₂ R²α – ¹/₂ ∙ 2R sin ^α/₂ R cos ^α/₂ =

= ¹/₂ R²α – R² sin ^α/₂ cos ^α/₂ =

= R² (¹/₂ α – sin ^α/₂ cos ^α/₂),

або

S_{сегмАСВМА} = ¹/₂ R²(α – sin α).

ЗАДАЧА:

Обчислити площу сегмента, якщо  R = 20 см  і  α = 47°10'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З таблиць знаходимо радіальну міру кута  47°10', значення

sin 23°35'  і  cos 23°35'.

Шукана площа  S  висловиться так:

S ≈ R²(¹/₂ α – sin ^α/₂ cos ^α/₂) ≈

≈ 20²(¹/₂ ∙ 0,8232 – 0,4000 ∙ 0,9165) ≈ 18 см².

Завдання до уроку 12

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання площі
• Урок 2. Площа прямокутника
• Урок 3. Площа квадрата
• Урок 4. Площа трикутника
• Урок 5. Площа прямокутного трикутника
• Урок 6. Площа рівнобедреного трикутника
• Урок 7. Площа паралелограма
• Урок 8. Площа ромба
• Урок 9. Площа трапеції
• Урок 10. Площа рівнобічної трапеції
• Урок 11. Площа прямокутної трапеції
• Урок 13. Подібність трикутника
• Урок 14. Подібність рівнобедрених трикутників
• Урок 15. Подібність прямокутних трикутників
• Урок 16. Площа багатокутника