Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 5. Действия над векторами и их проекциями

ВИДЕО УРОК

Сложение векторов.

ЗАДАЧА:

Пешеходу, стоящему на перекрёстке двух улиц, надо перейти с угла, обозначенного М₁, на угол М₂.

Он мог бы направиться непосредственно к этому углу по прямой М₁М₂. Тогда мы сказали бы, что перемещение пешехода равно

Но на улицах с оживлённым движением такой переход запрещён. Поэтому дисциплинированный пешеход перейдёт сначала из точки М₁ в точку А, а затем из точки А в точку М₂. Конечный результат будет таким же, как если бы он прошёл по прямой М₁М₂. Перемещение

достигнуто в результате двух перемещений:

Эти перемещения заменили одно. Естественно считать, что перемещени

еесть сумма двух перемещений

Приведённый пример показывает, что векторы складываются геометрически.

Чтобы сложить два вектора, нужно их расположить так, чтобы конец первого вектора примыкал к началу второго.

Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, есть сумма обоих векторов.

Правило параллелограмма.

Если нужно сложить два вектора

их располагают так, чтобы они исходили из одной точки.

Затем, считая, что расположенные таким образом векторы образуют две стороны параллелограмма, достраивают параллелограмм и проводят диагональ из точки, где совмещены начала обоих векторов. Эта диагональ и есть сумма векторов или результирующий вектор.

Другой способ сложения двух векторов состоит в том, что складываемые векторы

располагаются так, чтобы конец одного из них примыкал к началу другого. Сумма обоих векторов – это вектор, направленный от начала первого вектора к концу второго.

Этим же способом пользуются, если нужно сложить не два, а больше векторов. Все складываемые векторы располагаются так, чтобы конец первого вектора примыкал к началу второго, конец второго – к началу третьего и т. д. Сумма всех векторов или результирующий вектор – это вектор, направленный от начала первого вектора к концу последнего.

Чтобы сложить несколько векторов, надо расположить их так, чтобы конец первого вектора примыкал к началу второго, конец второго – к началу третьего и т. д.
Результирующим будет вектор, направленный от начала первого вектора к концу последнего.

По этому же правилу складывают векторы, направленные вдоль одной прямой (коллинеарные векторы). Сложение коллинеарных векторов, направленных в одну и ту же сторону и в стороны, противоположные друг другу показано на рисунках:

Из этих рисунков видно, что параллельные (коллинеарные) векторы складываются, как алгебраические величины, если приписать одному из направлений знак <<+>> , а противоположному знак <<–>>.

Как найти проекцию вектора, являющегося суммой нескольких векторов ?
На рисунке

проведены векторы

и показан результирующий вектор

равный сумме этих векторов:

Из этого рисунка видно, что проекции векторов

на ось Х положительны, а проекция вектора

отрицательна. Видно также, что проекция результирующего вектора

получается, если сложить проекции всех трёх складываемых векторов алгебраически, т. е. с учётом того, что знак проекции вектора

отрицательный.

Следовательно,

проекция суммы векторов на заданную ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Поэтому, для того чтобы найти проекцию суммы векторов, нет необходимости находить результирующий вектор и определить его проекцию. Надо просто сложить проекции всех векторов, учитывая их знаки.

Задачей, обратной сложению вектора, является разложение вектора на составляющие. Так, в частности, нахождение по данной скорости её составляющих называется разложением скорости. Данная скорость

раскладывается на составляющие самым различным образом, так как можно построить сколько угодно параллелограммов с заданной диагональю, равной вектору

чтобы задача разложения данного вектора

на две составляющие была бы однозначной, нужно дополнительно знать направления составляющих векторов

или величину и направление одного из них.

Вычитание векторов.

Чтобы найти вектор

равный разности двух векторов

нужно сложить векторы

Вектор

равен по модулю и направлен противоположно вектору

Чтобы найти разность двух векторов, нужно расположить их так, чтобы они исходили из одной точки, и соединить концы обоих векторов отрезком, направленным от второго вектора к первому (от вычитаемого к уменьшаемому). Этот направленный отрезок и есть вектор-разность.

По такому же правилу производят вычитание коллинеарных векторов

Если нам нужно найти проекцию разности двух векторов

то, так же как в случае сложения векторов, нет необходимости выполнять геометрические построения. Нетрудно убедиться в том, что

проекция разности векторов на ось равна алгебраической разности их проекций на эту ось.

Умножение вектора на скаляр.

ЗАДАЧА:

Два автомобиля, выехавшие из гаража, к исходу дня оказались один в 100 км, а другой в 200 км к северу от места, где расположен гараж. Что можно сказать о перемещении этих двух автомобилей ? Очевидно, что одно из них вдвое больше другого. Если обозначить перемещение в 100 км через

то перемещение в 200 км будет равно

т. е. вектору

умноженному на 2. Вектор

имеет то же направление, что и вектор

но его модуль вдвое больше.

Если бы второй автомобиль отправился не на север, а на юг, то его перемещение было бы равно

т. е. вектору

умноженному на и –2. Вектор

вдвое больше (по абсолютной величине) вектора

но направлен в противоположную сторону.

Вектор

умноженный на скаляр k, представляет собой вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль скаляра:

Вектор

направлен так же, как вектор

если знак k положительный. Если же знак k отрицательный, то вектор

направлен в сторону, противоположную вектору

Проекция вектора

на ось равна умноженной на k проекции вектора

на эту ось:

b_x = ka_x.

Итак, действия над векторами производят по правилам геометрии.

При умножении вектора на скалярную величину k изменяется его модуль: увеличивается при k ˃ 1 или уменьшается при k < 1.

Если величина k положительна, то направление вектора

совпадает с направлением вектора

Если же величина k отрицательна, то вектор

направлен противоположно вектору

Действия же над проекциями векторов производят по обычным правилам алгебры. Если известны проекции a_x и a_y вектора

на оси координат, то абсолютное значение самого вектора равно

(теорема Пифагора).

ЗАДАЧА:

Камень, который кинули из окна второго этажа с высоты 4 м, упал на поверхность земли на расстоянии 3 м от стены здания. Найдите модуль перемещения камня.

РЕШЕНИЕ:

Перемещение камня

Проверим единицы измерения:

Числовое значение:

ОТВЕТ: 5 м

Относительность движения.

Положение тела (точки) в пространстве всегда задаётся относительно какого-то другого тела, выбранного телом отсчёта. Через какую-нибудь точку тела отсчёта связана система координат.

Но за тело отсчёта мы можем принять любое тело и с каждым из них связать свою систему координат. Тогда положение одного и того же тела мы можем одновременно рассматривать в разных системах координат. Очевидно, что относительно разных тел отсчёта в разных системах координат положение одного и того же тела может быть совершенно различным.

ПРИМЕР:

Положение автомобиля на дороге можно определить, указав, что он находится на расстоянии l₁ км к северу от населённого пункта А.

Пункт А служит в данном случае телом отсчёта, а прямая, мысленно проведённая от него к северу, – координатной осью, связанной с телом отсчёта. Но можно выбрать за тело отсчёта и какой-нибудь другой населённый пункт, например В, и сказать, что автомобиль расположен в l₂км к востоку от него.

Это значит, что положение тела относительно:

оно различно относительно разных тел отсчёта и связанных с ними разных систем координат.

Но не только положение тела относительно.

Относительно и его движение.

В чём состоит относительность движения ?

Часто бывает, что движение одного и того же тела приходится рассматривать относительно разных тел отсчёта, которые сами движутся друг относительно друга.

ПРИМЕР:

Артиллеристу важно знать, как движется снаряд не только относительно Земли, на которой его орудие стоит неподвижно, но и относительно танка, в который он стреляет и который сам движется относительно Земли.

Пилот интересуется движением самолёта и относительно Земли, и относительно воздуха, который в бурную погоду сам движется.

Движение одного и того же тела относительно разных тел отсчёта, движущихся одно относительно другого, могут сильно различаться. Различными могут быть и траектории, и скорости движения этого тела.

Рассмотрим движения одного и того же тела относительно двух тел отсчёта, движущихся друг относительно друга. Предположим, что одно тело отсчёта неподвижно, а второе движется относительно первого. Примем для простоты, что оно движется прямолинейно и равномерно. Выясним, как найти перемещение тела относительно этих двух тел отсчёта (конечно, за одно и то же время).

ПРИМЕР:

Представим себе человека, плывущего вниз по течению реки с некоторой скоростью, которую он поддерживает постоянной, работая руками и ногами (если бы он не работал руками и ногами, он бы просто лежал на воде и относительно воды находился в покое). Примем за неподвижное тело отсчёта берег, а за подвижное – воду.

Как же движется пловец относительно берега и относительно воды ? предположим, что за движением пловца следит два наблюдателя: один – на берегу, а другой – на лодке, которая без гребца плывёт по течению реки. Относительно воды лодка покоится, а относительно берега она движется равномерно с такой же скоростью, как и сама вода.

Проведём мысленно через точку О на берегу, в которой расположился наблюдатель, оси координат X и Y, причём ось Х направим вдоль течения реки.

С лодкой (с водой) мы тоже свяжем систему координат X'O'Y', оси X' и Y' которой параллельны осям X и Y. Лодка и вода движутся поступательно.

Найдём перемещение пловца относительно этих двух систем координат (систем отсчёта).

Для наглядности посмотрим, как движение пловца будет представляться наблюдателям в лодке и на берегу. Наблюдатель в лодке через некоторое время отметит, что пловец относительно него совершил перемещение

Разделив это перемещение на время, он получит скорость пловца:

– это скорость пловца относительно воды (лодки),

т. е. в подвижной системе координат X'O'Y'.

Наблюдатель на берегу отмети, что за это же время t перемещение пловца равно

а сама лодка совершила перемещение

относительно берега. Из рисунка видно, что перемещение

пловца относительно берега, т. е. в системе координат, XOY, равно сумме обоих перемещений:

Разделив

на t, наблюдатель на берегу получит скорость

пловца относительно берега:

Первое слагаемое

– это скорость пловца относительно подвижной системы координат (воды или лодки). Слагаемое же

– это, очевидно, скорость лодки (воды) относительно неподвижной системы координат (берега). Обозначим её через

Значит,

– это скорость подвижной системы координат относительно покоящейся.

Следовательно

Эта формула называется формулой сложения скоростей.

Точно такую же формулу сложения скоростей мы получили бы и в том случае, если бы пловец плыл против течения.

Скорость движения тела относительно неподвижной системы координат равна геометрической сумме двух скоростей: скорости тела относительно подвижной системы координат и скорости самой подвижной системы относительно неподвижной.

Скорости тела относительно различных систем отсчёта, движущихся друг относительно друга, различны. В этом и проявляется относительность движения.

В рассмотренном примере движущееся тело (пловец) и подвижная система координат (лодка или вода) движутся вдоль одной прямой – вдоль оси Х. Поэтому вместо векторов

мы можем воспользоваться их проекциями на ось Х. Тогда формула сложения скоростей будет иметь вид:

v = v₁ + v₂.

Величины v, v₁ и v₂ в этой формуле могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от направлений векторов

по отношению оси Х.

Может случиться и так, что тело, которое движется в одной системе координат, находится в покое относительно другой. Если бы тот же пловец перестал работать руками и ногами и просто лежал бы на воде, то относительно лодки он находился бы в покое, а относительно берега он двигался бы со скоростью течения. Наоборот, если бы пловец плыл со скоростью течения, но в противоположном направлении, то в покое он находился ба относительно берега, а относительно воды он двигался бы со скоростью – v₁. Следовательно, относительно не только движение, но и покой. Если тело относительно какой-то системы координат покоится, то всегда можно найти такие системы координат, относительно которых оно движется. Это значит, что абсолютно покоящихся тел не существует. Движение свойственно всем телам и вообще всему, что существует в природе, т. е. всему материальному миру.

Не всегда скорости движущегося тела и подвижной системы координат направлены вдоль одной прямой, как в примере с пловцом в предыдущем примере.

ПРИМЕР:

Предположим, что пловцу понадобилось переплыть реку с одного берега на другой, так что двигаться он должен всё время перпендикулярно течению, т. е. перпендикулярно оси Х.

По-прежнему будем считать движение пловца равномерным.

Каким будет это движение для наблюдателя в лодке (относительно подвижной системы координат X'O'Y') и каким оно будет для наблюдателя на берегу (в покоящейся системе координат XOY) ?

Наблюдатель в лодке видит, что пловец всё время удаляется от него, двигаясь вдоль оси Y'. Он видит это, находясь и в точке А, и в точке В, и в любой другой точке. Через промежуток времени t, когда лодка будет находиться в точке С, пловец окажется на противоположном берегу в точке C¹, совершив перемещение

Перемещение самого наблюдателя вдоль оси Х равно

Разделив перемещение

На время t, наблюдатель в лодке получит скорость

пловца относительно подвижной системы координат X'O'Y':

Направлена она вдоль оси Y'.

Совсем другим будет представляться движение пловца, переплывающего реку, наблюдателю, находящемуся на берегу. Для этого наблюдателя перемещаться будет и ось Y'. B <<его>> системе координат перемещение пловца за то же время t представится направленным отрезком

Пловца отнесло вниз по течению. Из рисунка видно, что перемещение

равно геометрической сумме перемещения

пловца относительно подвижной системы координат X'O'Y' и перемещения

cамой системы координат X'O'Y' относительно неподвижной системы XOY. Следовательно, и теперь так же, как и в примере, рассмотренном выше,

Скорость пловца

Относительно системы XOY найдём так:

т. е.

Видно, что правило сложения скоростей осталось таким же как и раньше, но теперь алгебраически скорости складывать нельзя, так как векторы

не параллельны друг другу.

В рассмотренном примере не только скорости движения, но и траектории пловца различны в разных системах координат.

Если для наблюдателя в лодке траекторией движения пловца является прямая, перпендикулярная течению реки, то для наблюдателя на берегу траектория движения пловца – это прямая, наклонённая под некоторым углом (не равным 90°) к направлению течения.

Это тоже проявление относительности движения: в различных системах координат, движущихся друг относительно друга, и траектории движения различны.

Задания к уроку 5