Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 8. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

ВИДЕО УРОК

Самое важное – это уметь вычислять перемещение тела, потому что, зная перемещение, можно найти и координаты тела, а это и есть главная задача механики. Как же вычислить перемещение при равноускоренном движении ?

Формулу для определения перемещения проще всего получить, если воспользоваться графическим методом.

При прямолинейном равномерном движении перемещение тела численно равно площади фигуры (прямоугольника), расположенной под графиком скорости. Верно ли это для равноускоренного движения ?

При равноускоренном движении тела, происходящем вдоль координатной оси Х, скорость с течением времени не остаётся постоянной, а меняется со временем согласно формулам:

или

Поэтому графики скорости имеют вид, показанный на рисунке

Прямая 1 на этом рисунке соответствует движению с положительным ускорением (скорость растёт), прямая 2 – движению с отрицательным ускорением (скорость убывает). Оба графика относятся к случаю, когда в момент времени t = 0 тело имело скорость v₀.

Выделим на графике скорости равноускоренного движения маленький участок ab

и опустим из точки a и b перпендикуляры на ось t. Длина отрезка cd на оси t численно равна тому малому промежутку времени, за который скорость изменилась от её значения в точке а до её значения в точке b. Под участком графика ab получилась узкая полоска abdc.

Если промежуток времени, численно равный отрезку cd, достаточно мал, то и в течении этого времени изменение скорости тоже мало. Движение в течении этого времени изменение скорости тоже мало. Движение в течении этого промежутка времени можно считать равномерным, и полоска abdc будет тогда мало отличаться от прямоугольника. Площадь полоски поэтому численно равна перемещению тела за время, соответствующее отрезку cd.

Но на такие узкие полоски можно разбить всю площадь фигуры, расположенной под графиком скорости. Следовательно, перемещение за всё время t численно равно площади трапеции OABC. Площадь же трапеции, как известно из геометрии, равна произведению полусуммы её основания на высоту. В нашем случае длина одного из оснований трапеции численно равна v₀, длина другого – v. Высота же её численно равна t. Отсюда следует, что перемещение s равно:

Подставим в эту формулу вместо v выражение

тогда

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:

Подставим в формулу

выражение

получим (см. рис.):

или

Формулу

применяют в том случае, когда вектор ускорения

направлен так же, как и ось координат, а формулу

тогда, когда направление вектора ускорения противоположно направлению этой оси.

Если начальная скорость v₀ равна нулю (см. рис.)

и вектор ускорения направлен по оси координат, то из формулы

следует, что

Если же направление вектора ускорения противоположно направлению оси координат, то из формулы

Следует, что

(знак <<–>> здесь означает, что вектор перемещения, так же как и вектор ускорения, направлен противоположно выбранной оси координат).

В формулах

Величины s и v₀ могут быть как положительными, так и отрицательными – это проекции векторов

Теперь, когда мы получили формулу для вычисления перемещения, можно легко получить и формулу для вычисления координаты тела. Для того чтобы найти координату тела x в какой-то момент времени t, надо к начальной координате x₀ прибавить проекцию вектора перемещения тела на ось координат:

x = x₀ + s.

Поэтому

если вектор ускорения направлен так же, как и ось координат, и

если направление вектора ускорения противоположно направлению оси координат.

Это и есть формулы, позволяющие находить положение тела в любой момент времени при прямолинейном равноускоренном движении. (Такие формулы иногда называют уравнениями движения). Для этого нужно знать начальную координату тела х₀, его начальную скорость

и ускорение

ЗАДАЧА:

Водитель автомобиля, движущегося со скоростью 72 км/час, увидел красный сигнал светофора и нажал на тормоз. После этого автомобиль начал тормозить, двигаясь с ускорением 5 м/сек². Какое расстояние пройдёт автомобиль за время t₁ = 2 сек после начала торможения ? Какое расстояние пройдёт автомобиль до полной остановки ?

РЕШЕНИЕ:

За начало координат выберем ту точку дороги, в которой автомобиль начал тормозить. Координатную ось направим по направлению движения автомобиля (см. рис.),

а начало отсчёта времени отнесём к моменту, в который водитель нажал на тормоз. Скорость автомобиля направлена так же, как ось Х, а ускорение автомобиля противоположно направлению этой оси. Поэтому проекция скорости на ось Х положительна, а проекция ускорения отрицательна и координату автомобиля нужно находить по формуле:

Подставляя в эту формулу значения

получим:

Теперь найдём, какое расстояние пройдёт автомобиль до полной остановки. Для этого нам нужно знать время движения t₂. Его можно узнать, воспользовавшись формулой

Так как в тот момент, когда автомобиль останавливается, его скорость равна нулю, то

Расстояние, которое пройдёт автомобиль до полной остановки, равно координате автомобиля в момент времени t₂:

ЗАДАЧА:

Определите перемещение тела, график скорости которого показан на рисунке.

РЕШЕНИЕ:

Так как сначала модуль скорости тела уменьшается со временем, то вектор ускорения направлен противоположно направлению оси Х. Для вычисления перемещения воспользуемся формулой

Из графика видно, что при t = τ скорость равна нулю. Но

Поэтому

откуда

Всё время движения t = 2τ, поэтому

Полученный ответ показывает, что график, изображённый на рисунке, соответствует движению тела сначала в одном направлении, а затем на такое же расстояние в противоположном направлении, в результате чего тело оказывается в исходной точке.

ЗАДАЧА:

Тело движется вдоль прямой равноускоренно с ускорением