Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 10. Частные случаи прямолинейного равноускоренного движения

ВИДЕО УРОК

Свободное падение тел.

Частным случаем равноускоренного движения без начальной скорости является свободное падение.

Свободным падением называется движения тела только под действием силы тяжести из состояния покоя.

Свободно падающие тела движутся равноускоренно.

Измерения показали, что это ускорение равно 9,8 м/сек².

Ускорение свободного падения одинаково для всех тел.

Что значит свободное падение ?

ПРИМЕР:

Если взять стальной шар, футбольный мяч, развёрнутую газету, птичье перо и все эти разнородные предметы сбросить с высоты в несколько метров и тем или иным способом измерить их ускорения, то мы увидим, что ускорения этих тел различны. Но это объясняется лишь тем, что на пути к земле телам приходится проходить сквозь воздух, который мешает их движению. Если бы тела падали в трубе, из которой воздух удалён, то их ускорения оказались бы одинаковыми. Такой опыт можно провести с помощью толстостенной стеклянной трубки длиной около 1 м, один конец которой запаян, а другой снабжён краном.

Поместим в трубку три разных предмета, например: дробинку, пробку и птичье перо. Затем быстро перевернём трубку. все три тела упадут на дно трубки, нов разное время: сначала дробинка, затем пробка и, наконец перо. Но это в том случае, когда в трубке имеется воздух. Стоит только воздух откачать насосом

и, закрыв после откачки кран, снова перевернуть трубку,

мы увидим, что все три тела упадут одновременно. Следовательно, в вакууме все тела падают с одинаковым ускорением.

Только такое падение в вакууме, падение, которому ничто не мешает, мы и называем свободным падением.

Свободное падение – это падение в безвоздушном пространстве.

Следует иметь ввиду, что ускорение падающего тела не изменится, если мы толкнём его вниз, сообщив ему начальную скорость v₀. Только нарастание скорости начнётся не от нулевого значения, а от значения v₀.

При рассмотрении движения свободно падающего тела за начало отсчёта удобно выбрать ту точку, из которой начинается падение, а координатную ось направить в направлении движения, т. е. по вертикали вниз.

В этом случае направления векторов перемещения, скорости и ускорения совпадают, а их проекции на ось координат равны модулям самих векторов.

Формулы для скорости и перемещения свободно падающего тела ничем не отличаются от формул, полученных для прямолинейного равноускоренного движения. Но чтобы отличать свободное падение от всякого другого прямолинейного равноускоренного движения, принято обозначать модуль ускорения свободного падения буквой g,

а модуль перемещения буквой h. Имея в виду эту замену букв, приведём формулы, описывающие движение свободно падающего тела.

1. Скорость тела в любой момент времени выразится формулой

где v₀ – скорость тела в момент, когда начинается отсчёт времени. Если в этот момент тело покоилось, то

2. Скорость тела в любой точке траектории после прохождения расстояния h от начала отсчёта расстояний определяется выражением

Если падение начинается из состояния покоя (v₀ = 0), то

3. Модуль перемещения падающего тела за время t находится по формуле

Если начальная скорость v₀ = 0, то

Пользуясь этими формулами, можно вычислить время падения тела с заданной высоты, скорость падающего тела в любой точке и в любой момент времени и т. д.

ЗАДАЧА:

Подъёмный кран равномерно опускает контейнер. Из контейнера выпал кирпич. Через сколько времени кирпич упал на землю, если в момент его удара о землю контейнер находился на высоте 20 м над землёй ?

РЕШЕНИЕ:

Выберем в качестве начала отсчёта точку О, в которой находился контейнер в момент, когда выпал кирпич (эту точку мы считаем неподвижной относительно земли, так что телом отсчёта фактически является земля), и направим ось Х по вертикали вниз.

Обозначим высоту точки О над поверхностью Земли через Н.

Высоту контейнера в момент падения кирпича на землю обозначим h, а скорость равномерного движения контейнера вниз через v₀. Тогда можно написать

За время t падения кирпича контейнер совершил перемещение

H – h = v₀t,

откуда

H = h + v₀t.

Подставив это значение Н в формулу

получим:

откуда

Так как h = 20 м,

а g = 9,8 м/сек², то

Эту задачу можно решить короче, если выбрать в качестве тела отсчёта движущийся контейнер. Относительно него скорость кирпича в тот момент, когда он выпал из контейнера, равна нулю: v₀ = 0. Следовательно, перемещение h кирпича относительно контейнера определяется по формуле

Какой результат даёт для t эта формула, мы уже видели.

ЗАДАЧА:

С аэростата, находящегося на высоте h = 300 м, упал камень. Через какое время камень достигнет земли, если:

1) аэростат неподвижен,

2) аэростат опускается со скоростью v₀ = 4,9 м/сек,

3) аэростат поднимается со скоростью v₀ = 4,9 м/сек.

Сопротивлением воздуха пренебречь.

РЕШЕНИЕ:

В первом случае (аэростат неподвижен) камень свободно падает и время его падения определяется по формуле:

Во втором случае (аэростат опускается) камень падает равноускоренно с начальной скоростью v₀, равной скорости опускания аэростата. Время падения определяется из формулы пути равноускоренного движения с начальной скоростью

Решая квадратное уравнение, относительно времени, получаем

Численное значение времени равно

В третьем случае (аэростат поднимается) камень в течении времени

равнозамедленно движется вверх, а затем в течении времени, равного

t₂ = t₁ + t

(где t₁ – время падения камня до высоты, на которой он выпал из аэростата; t – время падения с этой высоты до поверхности земли) равноускоренно движется вниз. Численное значение времени

t₂ = 0,5 сек + 7,3 сек = 7,8 сек.

Следовательно, камень упадёт на землю через

t₂ + t₁ = 0,5 сек + 7,8 сек = 8,3 сек.

ПРИМЕЧАНИЕ. Время падения камня, брошенного с аэростата во время подъёма, можно определить иначе. Камень одновременно участвует в двух движениях: равномерном, которое направлено вертикально вверх и имеет скорость v₀, и в свободном падении. Оба движения происходят по одной и той же прямой, и для искомого времени t путь первого меньше, чем второго, на величину h; т. е. имеет место равенство

Отсюда легко определить время t.

Движение тела, брошенного вертикально вверх.

Частным случаем равнопеременного движения является движение тела, брошенного вертикально вверх.

Само по себе тело вверх, как известно, не движется. Его нужно <<бросить>>, т. е. сообщить ему некоторую начальную скорость

направленную по вертикали вверх.

Брошенное вверх тело движется, как показывает опыт, с таким же ускорением, как и свободно падающее тело. Это ускорение равно

и направлено вертикально вниз. Движение тела, брошенного вверх,– это тоже прямолинейное равноускоренное движение, и формулы, которые были написаны для свободного падения тела, годны для описания движения тела, брошенного вверх. Но при написании формул надо учесть, что вектор ускорения направлен против вектора начальной скорости: скорость тела по абсолютному значению не увеличивается, а уменьшается. Поэтому, если ось координат направить вверх, проекция начальной скорости

будет положительна, а проекция ускорения

будет отрицательна, и формулы примут вид:

Так как тело, брошенное вверх, движется с уменьшающейся скоростью, то наступит такой момент, когда скорость станет равной нулю. В этот момент тело будет находиться на максимальной высоте. Подставив в формулу

v = v₀– gt

Значение v = 0, получим:

v₀= gt.

Отсюда можно найти время, которое требуется для того, чтобы тело поднялось до максимальной высоты:

Максимальную высоту определяем из формулы

Подставив в неё

Получим:

После того как тело достигнет высоты h_макс, оно начнёт падать вниз, проекция его скорости станет отрицательной, а по абсолютной величине будет возрастать, высота же будет уменьшаться со временем согласно формуле

Пользуясь формулами

легко убедиться в том, что

скорость тела в момент его падения на землю или вообще туда, откуда оно было брошено (при h = 0), равна по абсолютной величине начальной скорости v₀, а время падения тела равно времени его подъёма.

ЗАДАЧА:

Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/сек. Какова скорость тела через 4 сек ? Какое перемещение совершит тело и какова длина пути, пройденного телом за это время ?

РЕШЕНИЕ:

Скорость тела вычисляется по формуле

v = v₀– gt

К исходу четвёртой секунды

v = 25 м/сек – 9,8 м/сек² × 4 сек ≈ –15 м/сек.

Знак <<–>> означает, что скорость направлена против координатной оси, направленной вверх, т. е. в конце четвёртой секунды тело уже двигалось вниз, пройдя через высшую точку своего подъёма. Величину перемещения тела найдём по формуле

откуда

Это перемещение отсчитывается от того места, откуда тело было брошено. Но в этот момент тело уже двигалось вниз. Поэтому длина пройденного телом пути равна максимальной высоте подъёма плюс расстояние, на которое оно успело опуститься вниз: