Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 2. Координаты вектора

ВИДЕО УРОК

Для введения понятия координат вектора следует рассмотреть возможность разложения вектора по осям координат. Каждый вектор задаётся парой чисел – проекциями этого вектора на оси координат. При таком подходе действия над векторами можно свести к действиям с парами чисел.

Определим проекцию вектора на координатную ось. Пусть задана координатная ось Ох. Единичный отрезок ОЕ будем считать единичным вектором

то есть вектором, длина которого равна 1.

Возьмём любой вектор

и отложим его от некоторой точки А:

Спроектируем точки А и В на ось Ох. Получим точки А₁, В₁ и составляющую А₁В₁ вектора

по оси Ох.

Её длину со знаком <<плюс>> или <<минус>> и называют проекцией вектора

на ось Ох.

Проекцией а_х вектора

на ось Ох называют длину его составляющей

по этой оси, взятую со знаком <<плюс>> или <<минус>>.

При этом берётся знак <<плюс>>, если направление вектора

совпадает с направлением оси Ох, и знак <<минус>>, если эти направления противоположны.
Если

то есть А₁ = В₁, то а_х = 0.

Прежде чем ввести понятие координат вектора, рассмотрим следующий пример.

ПРИМЕР:

Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат с единичными векторами
координатных осей Ох и Оу.
Пусть
– некоторый вектор, а а_х и а_у – его проекции на оси координат. Тогда вектор
единственным образом представляется в виде
Полученная формула применяется для разложения вектора

по векторам

Пару чисел а_х и а_у называют координатами вектора

в данной системе координат.
Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости можно отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости

ПРИМЕР:

Разложить вектор
по базисным векторам
РЕШЕНИЕ:

Составим векторное уравнение:

которое можно записать в виде системы линейных уравнений
Из первого уравнения выражаем х.
Подставим х во второе уравнение.
ОТВЕТ:
Записи координат точек и координат вектора вроде бы схожи:

А(2; 1), В(–2; 3),

а смысл координат абсолютно разный, и надо хорошо понимать эту разницу.
Вектор

получается из коллинеарного ему единичного вектора

умножением на

При этом, если

сонаправлен с

Если же

противоположно направлен

Следовательно, имеет место равенство

Проекция точки – точка, проекция отрезка – отрезок (или точка), а проекция вектора – число.

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов.

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты вектора – это его разложение по базису

Координаты вектора – это коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Рассмотрим рисунок.

Если точка А не лежит на координатных осях, то треугольник ОАА₁ прямоугольный.
Тогда

по теореме Пифагора.
Так как А₁А = ОА₂, то получим, что

Но

поэтому

то есть

Формула справедлива и в тех случаях, когда точка А лежит на какой-то оси координат.

Координаты равных векторов соответственно равны.

Векторы, имеющие соответственно равные координаты, равны.

Координаты вектора связаны с координатами точки по следующему правилу:

Чтобы найти координаты вектора, нужно от координат конца вектора отнять координаты начала вектора.

В частности, если вектор отложен от начала координат, то координаты вектора равны координатам его конца.

Проекция вектора на заданное направление.

Пусть заданы два вектора

Приведём эти векторы к одному началу О.

Угол, образованный лучами, исходящими из точки О и направленными вдоль векторов

называют углом между векторами

Обозначим это угол через α.
Число

a_b = a cos α

называется проекцией вектора

на направление вектора

Проекция вектора

получается, если из его конца опустить перпендикуляр на направление вектора

Тогда расстояние от общего начала векторов – точки О – до точки пересечения указанного перпендикуляра с прямой, на которой лежит вектор

будет равно модулю проекции вектора

на направление вектора

Угол α может принимать различные значения, поэтому в зависимости от знака cos α проекция может принимать положительные, отрицательные значения или нуль.
Проекция равна нулю, если направления векторов

взаимно перпендикулярны. Проекции равных векторов равны. Проекции противоположных векторов отличаются знаком.

На координатной плоскости будем откладывать векторы от начала координат:

Каждому вектору будет отвечать полностью определенная точка А, каждой точке А плоскости – полностью определенный вектор

Точку А называть будем концом вектора

Координатами вектора называют координаты его конца,

которые обозначим

Координаты нулевого вектора

равны

Если вектор

ненулевой, то он имеет определённое направление. Направление вектора

– это не что иное, как направление, заданное лучом ОА. Этот луч можно получить из луча Ох (положительного луча оси абсцисс) в результате поворота R^α.

Если ограничить угол α условием

–180⁰ < α ≤ 180⁰,

то угол α определяется вектором

однозначно. Говорят, что вектор

образует угол α с положительным направлением оси абсцисс. Ненулевой вектор полностью определяется заданием его длины

и углом α, который образует вектор с положительным направлением оси абсцисс. Вектор единичной длины называется единичным вектором. Конец единичного вектора лежит на единичном кругу. Поэтому единичный вектор, который образует угол α с осью абсцисс, записывают в виде

Его координаты равны

Возьмём единичный вектор

того же самого направления, что и вектор

Отношение

будут равными между собою при произвольном угле α. Равенство абсолютных величин этих отношений выплывает из подобия треугольника OAN и OEM.

Знаки ординат

одинаковые. Но

Поэтому

откуда

Аналогично получим:

Равенство абсолютных величин этих отношений выплывает из подобия треугольников OAN и OEM.

Знаки абсцисс

одинаковые. Поэтому,

Откуда

Таким образом, вектор

который образует угол α с положительным направлением оси абсцисс, имеет координаты

Координаты вектора на плоскости.

Координаты вектора

который имеет начало в точке А и конец в точке В, равняются разности соответствующих координат точек В и А. Если началом вектора является точка А(х_А; у_А), а концом – точка В(х_В; у_В), то

Записывают вектор

указывая его координаты так:

Например:

ПРИМЕР:

Найдите вектор

если А(4; 1), В(2; –5).

РЕШЕНИЕ:

то есть

Длина вектора на плоскости

Если есть вектор

ПРИМЕР:

Найдите модуль вектора
РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Модуль вектора

ПРИМЕР:

Найти длину векторов, если одна клетка имеет площадь 1 см².

РЕШЕНИЕ:

Так как клетка имеет площадь 1 см², то очевидно что

Длину вектора

найдём с помощью теоремы Пифагора. Получим:

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найдите модуль вектора

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Модуль вектора

равен 10. Найдите х.

РЕШЕНИЕ:

По условию

Равенство векторов на плоскости.

Равные векторы имеют равные координаты. Если координаты векторов равны, то векторы равны.

Если

Равные векторы имеют соответственно равные координаты. И наоборот: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

ПРИМЕР:

Даны точки

А(–2; 3), B(4; –1), C(x; –2), D(0; y).

Найдите х и у. Если

РЕШЕНИЕ:

то есть АВ = (6; –4).

то есть CD = (–x; y + 2). Поскольку

то –х = 6 і у + 2 = –4.
Откуда х = –6; у = –6.

Определение коллинеарности векторов с помощью координат вектора.

Если векторы коллинеарные, то их соответствующие координаты пропорциональные. И наоборот, если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарные.

Если есть векторы