Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 2. Координати вектора

ВІДЕО УРОК

Для введення поняття координат вектора слід розглянути можливість розкладання вектора по осях координат. Кожен вектор задається парою чисел – проекціями цього вектора на осі координат. При такому підході дії над векторами можна звести до дій з парами чисел.

Визначимо проекцію вектора на координатну вісь. Нехай задана координатна вісь Ох. Одиничний інтервал ОЕ будемо вважати одиничним вектором

тобто вектором, довжина якого дорівнює 1.

Візьмемо будь-який вектор

і відкладемо його від деякої точки А:

Спроектуємо точки А і В на вісь Ох. Отримаємо точки А₁, В₁ і складову А₁В₁ вектора

по осі Ох.

Її довжину зі знаком << плюс >> або << мінус >> і називають проекцією вектора

на вісь Ох.

Проекцією а_х вектора

на вісь Ох називають довжину його складової

по цій осі, взяту зі знаком << плюс >> або << мінус >>.
При цьому береться знак << плюс >>, якщо напрямок вектора

збігається з напрямком осі Ох, і знак << мінус >>, якщо ці напрямки протилежні.
Якщо

тобто А₁ = В₁, то а_х = 0.

Перш ніж ввести поняття координат вектора, розглянемо наступний приклад.

ПРИКЛАД:

Нехай на площині введена прямокутна система координат з одиничними векторами
координатних осей Ох і Оу.
Нехай
– деякий вектор, а а_х і а_у – його проекції на осі координат. Тоді вектор
єдиний образ представляється у вигляді

Отримана формула застосовується для розкладання вектора

по векторам

Пару чисел а_х і а_у називають координатами вектора

в даній системі координат.
Будь-вектор є вільним, тому при необхідності можна відкласти його від будь-якої іншої точки площині. Для векторів можна взагалі не будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, в даному випадку ортонормованій базис площини.

ПРИКЛАД:

Розкласти вектор
по базисних векторах
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Складемо векторне рівняння:

яке можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь
З першого рівняння висловлюємо х.
Підставимо х в друге рівняння
ВІДПОВІДЬ:
Записи координат точок і координат вектора начебто схожі:
А(2; 1), В(–2; 3),

а сенс координат абсолютно різний, і треба добре розуміти цю різницю.
Вектор

виходить з колінеарну йому одиничного вектора

множенням на

При цьому, якщо

сонаправлен з

Якщо ж

протилежно спрямований

Отже, має місце рівність

Проекція точки – точка, проекція відрізка – відрізок (або точка), а проекція вектора – число.

Обов'язково потрібно розуміти різницю між координатами точок і координатами векторів.

Координати точок – це звичайні координати в прямокутній системі координат. Кожна точка має суворим місцем на площині, і переміщати їх куди-небудь не можна.

Координати вектора – це його розкладання по базису

Координати вектора – це коефіцієнти єдино можливою лінійної комбінації базисних векторів в обраній системі координат, яка дорівнює даному вектору.
Розглянемо малюнок.

Якщо точка А не лежить на координатних осях, то трикутник ОАА₁ прямокутний..
Тоді

По теоремі Піфагора.

Так як А₁А = ОА₂, то отримаємо, що

Але

тому

тобто

Формула справедлива і в тих випадках, коли точка А лежить на якійсь осі координат.

Координати рівних векторів відповідно рівні.

Вектори, які мають відповідно рівні координати, рівні.

Координати вектора пов'язані з координатами точки за таким правилом:

Щоб знайти координати вектора, потрібно від координат кінця вектора відняти координати початку вектора.

Зокрема, якщо вектор відкладений від початку координат, то координати вектора дорівнюють координатам його кінця.

Проекція вектора на заданий напрямок.

Нехай задані два вектори

Наведемо ці вектори до одного початку О.

Кут, утворений променями, що виходять з точки О і спрямованими вздовж векторів

називають кутом між векторами

Позначимо це кут через α.

Число

a_b = a cos α

називається проекцією вектора

на напрям вектора

Проекція вектора

виходить, якщо з його кінця опустити перпендикуляр на напрямок вектора

Тоді відстань від загального початку векторів – точки О – до точки перетину вказаного перпендикуляра з прямою, на якій лежить вектор

дорівнюватиме модулю проекції вектора

на напрям вектора

Кут α може набувати різних значень, тому в залежності від знака cos α проекція може приймати позитивні, негативні значення або нуль.
Проекція дорівнює нулю, якщо напрями векторів

взаємно перпендикулярні.

Проекції рівних векторів рівні.

Проекції протилежних векторів відрізняються знаком.

На координатній площині відкладатимемо вектори від початку координат:

Кожному вектору відповідатиме цілком певна точка А, кожній точці А площини – цілком певний вектор

Точку А називатимемо кінцем вектора

Координатами вектора називаються координати його кінця,

які позначатимемо

Координати нульового вектора

дорівнюють

Якщо вектор

ненульовий, то він має певний напрям. Напрям вектора

– це не що інше, як напрям, заданий променем ОА. Цей промінь можна дістати з променя Ох (додатного променя осі абсцис) внаслідок повороту R^α.

Якщо обмежити кут α умовами

–180⁰ < α ≤ 180⁰,

то кут α визначатиметься вектором

однозначно. Кажуть, що вектор

утворює кут α з додатним напрямом осі абсцис. Ненульовий вектор цілком визначається завданням його довжини

і кута α, що його утворює вектор з додатним напрямом осі абсцис. Вектор одиничної довжини називається одиничним вектором. Кінець одиничного вектора лежить на одиничному колі. Тому одиничний вектор, що утворює кут α з віссю абсцис, записують у вигляді

Його координати дорівнюють

Візьмемо одиничний вектор

того самого напряму, що й вектор

Відношення

будуть рівними між собою при довільному куті α. Рівність абсолютних величин цих відношень випливає з подібності трикутника OAN і OEM.

Знаки ординат

однакові. Але

тому

звідки

Аналогічно дістанемо:

Рівність абсолютних величин цих відношень випливає з подібності трикутників OAN і OEM.

Знаки абсцис

однакові. Отже,

Звідси

Таким чином, вектор

який утворює кут α з додатним напрямом осі абсцис, має координати

Координати вектора на площині.

Координати вектора

що має початок в точці А і кінець в точці В, дорівнюють різниці відповідних координат точок В і А. якщо початком вектора є точка А(х_А; у_А), а кінцем – точка В(х_В; у_В), то

Записують вектор

вказуючи його координати так:

Наприклад:

ПРИКЛАД:

Знайдіть вектор

якщо А(4; 1), В(2; –5).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

тобто

Довжина вектора на площині.

Якщо є вектор

ПРИКЛАД:

Знайдіть модуль вектора

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПРИКЛАД:

Модуль вектора

дорівнює 10. Знайдіть х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За умовою

Рівність векторів на площині.

Рівні вектори мають відповідно рівні координати. І навпаки: якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні.

Якщо

ПРИКЛАД:

Дано точки

А(–2; 3), B(4; –1), C(x; –2), D(0; y).

Знайдіть х і у. Якщо

РОЗВ'ЯЗАННЯ

:тобто АВ = (6; –4).

тобто CD = (–x; y + 2).
Оскільки

то –х = 6 і у + 2 = –4.
Звідки х = –6; у = –6.

Визначення коллинеарности векторів за допомогою координат вектора.

Якщо вектори колінеарні, то їх відповідні координати пропорційні. І навпаки, якщо відповідні координати двох векторів пропорційні, то ці вектори колінеарні.

Якщо є вектори