Урок 13. Нерівності з двома змінними

ВИДЕО УРОК

Кожна нерівність з двома змінними  х  і  у  визначає безліч пар   (х; у)   значень змінних, які є його рішеннями, тобто задає деяке відношення між значеннями змінної  х  і значеннями змінної  у.

Графік відношення, заданої нерівності з двома змінними,  є безліч точок площини, координати яких є рішеннями цієї нерівності.

Скорочено графік відношення, заданого нерівністю з двома змінними, називатимемо графіком нерівності.

Рішенням нерівності з двома змінними називається пара значень змінних, що обертає його в істинну нерівність.

ПРИКЛАД:

Нерівність

у > –0,5х + 4

містить дві змінні  х  і  у. Щоб знайти яке-небудь рішення цієї нерівності, виберемо довільне значення  х, наприклад 

х = 2,

і вичислимо відповідне значення вираження

–0,5х + 4.

Отримаємо:

–0,5×2 + 4 = 3.

Будь-яка пара, в якій значення  х  дорівнює  2, а значення  у  більше  3, наприклад

(2; 4), (2; 5,2), (2; 100) 

і так далі, є рішенням даної нерівності:

у > –0,5х + 4.

Взагалі, вибравши значення  х  довільно і узявши значення  у, більше відповідного значення вираження

–0,5х + 4,

ми отримаємо деяке рішення нерівності

у > –0,5х + 4.

Очевидно, що безліч рішень цієї нерівності нескінченна.

Графічне рішення нерівностей з двома змінними.

Відомо, що пара дійсних чисел  (х; у)  однозначно визначає точку координатної площини. Це дає можливість зображувати рішення нерівності з двома змінними геометрично, у вигляді деякої безлічі точок координатної площини.

ПРИКЛАД:

Знайти безліч точок координатної площини, що задовольняють нерівності:

2х + 3 < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нерівність 2х + 3 < 0  рівносильно нерівності х < –³/₂, якому задовольняють точки, що лежать зліва від прямої  х = –³/₂.

У загальному випадку пряма

Ах + Ву + С = 0

розділяє площину на дві напівплощини, в одній з яких виконується нерівність

Ах + Ву + С < 0,

а в іншій – нерівність

Ах + Ву + С ˃ 0.

Щоб вирішити ці нерівності, досить узяти яку-небудь точку  М₁(х₁; у₁), що не лежить на прямій

Ах + Ву + С = 0,

і визначити знак числа

Ах₁ + Ву₁ + С.

ПРИКЛАД:

Знайти безліч точок координатної площини, що задовольняють нерівності:

2у – 3х – 6 < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Рівняння

2у – 3х – 6 = 0

є рівнянням прямої, що проходить через точки 

(–2; 0)  і  (0; 3).

Нехай  М₁(х₁; у₁) – точка, що лежить нижче прямий  l  (заштрихованій на малюнку напівплощині), а  М₂ – точка з абсцисою  х₁  і ординатою  у₂, що лежить на прямій  l. Тоді

2у₂ – 3х₁ – 6 = 0,  а

2у₁ – 3х₁ – 6 < 0,

оскільки  у₁ < у₂.

Таким чином, у будь-якій точці  М(х; у), що лежить нижче прямий  l, виконується нерівність

2у₁ – 3х₁ – 6 < 0.

Аналогічно, у будь-якій точці  М(х; у), що лежить вище прямий  l, виконується нерівність

2у₁ – 3х₁ – 6 ˃ 0.

Так само можна вирішити нерівність загального вигляду:

Ах + Ву + С < 0,

де принаймні одно з чисел  А  і  В  не дорівнює нулю.

Якщо  В ˃ 0, то нерівність

Ах + Ву + С < 0

виконується що в усіх точках лежать нижче прямої, заданої рівнянням

Ах + Ву + С = 0.

Якщо  В < 0, то нерівність

Ах + Ву + С < 0

справедливо в точках, що лежать вище за цю пряму.

Якщо  В = 0, то нерівність

Ах + Ву + С < 0

набере вигляду

Ах + С < 0

Ця нерівність рівносильна нерівності  

х < –^С/_А  при  А ˃ 0 

і нерівності

х ˃ –^С/_А   при  А < 0.

ПРИКЛАД:

Знайти безліч точок координатної площини, що задовольняють нерівності:

3х – 4у – 12 < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нерівність

3х – 4у – 12 < 0

вірно в напівплощині, розташованій вище за пряму

3х – 4у – 12 = 0,

так як при  х = у = 0  вираження

3х – 4у – 12

негативно. Ця пряма проходить через точки 

(4; 0)  і  (0; –3)

ПРИКЛАД:

Зображувати на координатній площині безліч рішень нерівності

х + у – 1 ˃ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо цю нерівність до виду

у ˃ –х + 1.

Побудуємо на координатній площині пряму

у = –х + 1.

Оскільки ордината будь-якої точки, що лежить вище за пряму

у = –х + 1,

більше, ніж ордината точки, що має таку ж абсцису, але що лежить на прямій, та безліч точок площини, розташованих вище за цю пряму, і буде геометричним зображенням рішень заданої нерівності.

ПРИКЛАД:

Знайти безліч точок координатної площини, що задовольняють нерівності:

у ˃ –0,5х + 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З'ясуємо, що є графіком нерівності

у > –0,5х + 4.

Відомо, що безліч точок, координати яких є рішеннями рівняння

у = –0,5х + 4,

є пряма.

Виберемо на цій прямій яку-небудь точку  А  і проведемо через точку  А  пряму  l, паралельну осі  у. Координати точки  А  задовольняють рівнянню

у = –0,5х + 4.

У будь-якої точки  В, розташованою на прямій  l  вище за точку  А, абсциса та ж, а ордината більша, ніж ордината точки  А. Означає, її координати задовольняють нерівності

у > –0,5х + 4.

Координати точки  А  і точок прямої  l, розташованих нижче точки  А, цій нерівності не задовольняють. Взагалі нерівності

у > –0,5х + 4

задовольняють координати тих і тільки тих точок площини, які розташовані вище за пряму

у = –0,5х + 4,

тобто вище відповідної точки цієї прямої, що лежить на тій же вертикалі.

Графік нерівності

у > –0,5х + 4

є відкрита напівплощина, розташована вище за пряму

у = –0,5х + 4.

На малюнку ця напівплощина показана штрихуванням. Для того, щоб підкреслити, що пряма

у = –0,5х + 4

не належить графіку відношення, заданого нерівністю

у > –0,5х + 4,

її зображували штриховою лінією.

Міркуючи аналогічно, можна показати, що графік нерівності

у < –0,5х + 4

є відкрита напівплощина, розташована нижче прямої

у = –0,5х + 4.

Взагалі пряма

у = kх + b,

де  k  і  b – деякі числа, розбиває безліч точок площини, що не належать цій прямій, на дві відкриті напівплощини, одна з яких задається нерівністю

у > kх + b,

а інша – нерівністю

у < kх + b.

ПРИКЛАД:

Вирішити нерівність:

2х + 5у ˃ 7.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спершу виразимо  у  через  х:

Побудуємо пряму

Безліч усіх рішень нерівності розташована, або вище, або нижче цій прямій.

Можна підставити будь-яку пару чисел і перевірити, виконалася нерівність або ні. Якщо нерівність виконалася, то ми вибираємо в якості рішення ту область, якій належить ця пара чисел, якщо не виконалося, то вибираємо протилежну область.

Виберемо пару 

(1; 2)

і підставимо значення  х = 1  і  у = 2  в нерівність

Оскільки  2  більше  1, та нерівність вірна.
Значить, потрібно вибрати область вище за пряму. Область, в якій виконується наша нерівність зазвичай прийнято зображувати штрихуванням або іншим кольором.

ПРИКЛАД:

Зображуйте в координатній площині безлічі рішень нерівності:

2х + 3у < 6.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо графік рівняння

2х + 3у = 6.

Пара  (0;0)  є рішенням нерівності

2х + 3у < 6,

і належить нижній напівплощині, означає графіком нерівності

2х + 3у < 6

являється нижня напівплощина.

ПРИКЛАД:

Парабола

у = ¹/₄ х²

Розбиває безліч точок площини, що не належать їй, на дві підмножини. Безліч точок, розташованих вище за параболу, задається нерівністю

у > ¹/₄ х²,

а безліч точок, розташованих нижче параболи, – нерівністю

у < ¹/₄ х².

На малюнку зображений графік нерівності

у ≥ ¹/₄ х²

(об'єднання безлічі точок параболи

у = ¹/₄ х²

і безліч точок площини, розташованих вище за параболу).

ПРИКЛАД:

Зображувати на координатній площині безліч рішень нерівності

х(х – 2) ≤ у – 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо нерівність до виду

у ≥ х² – 2х + 3.

Побудуємо на координатній площині параболу – графік функції

у = х² – 2х + 3.

Оскільки ордината будь-якої точки, параболи, що лежить вище

у = х² – 2х + 3,

більше, ніж ордината точки, що має ту ж абсцису, але що лежить на параболі, і оскільки нерівність

у ≥ х² – 2х + 3

нестроге, то геометричним зображенням рішень заданої нерівності буде безліч точок площини, що лежать на параболі

у = х² – 2х + 3

і вище її.

ПРИКЛАД:

Вирішити нерівність:

ху < 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо три можливі випадки:

1)  х = 0, то отримуємо вірну нерівність  0 < 3. Що означає, нерівність виконується для будь-кого  у, якщо  х = 0.

2)  х ˃ 0. Перейдемо до нерівності  у < ³/_х. У правій напівплощині цій нерівності задовольняють безліч усіх точок, розташованих нижче прямий  у = ³/_х.

3)  х < 0. Перейдемо до нерівності  у ˃ ³/_х. У лівій напівплощині цій нерівності задовольняють безліч усіх точок, розташованих вище за пряму  у = ³/_х.

Побудуємо графік і відмітимо безліч усіх рішень.

ПРИКЛАД:

Графік рівняння

х² + у² = 36

є коло з центром на початку координат і радіусом, рівним  6  одиницям. Точки, що лежать усередині круга, обмеженого цим колом, і тільки ці точки видалені від початку координат менш ніж на  6  одиниць, і, отже, їх координати задовольняють нерівності

х² + у² < 36.

Координати точок, що лежать поза кругом, задовольняють нерівності

х² + у² > 36.

На малюнку

зображений графік нерівності

х² + у² ≤ 36.

Він визначає собою круг з центром на початку координат і радіусом, рівним  6.

ПРИКЛАД:

На координатній площині зображувати безліч точок, координати яких задовольняють нерівності:

|3х – 2у| ≤ 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використовуючи властивість модуля, запишемо цю нерівність у вигляді подвійної нерівності:

–4 ≤ 3х – 2у ≤ 4

і виразимо з нього  у. Отримуємо:

–4 – 3х ≤ –2у ≤ 4 – 3х,

звідки

Спочатку побудуємо дві граничні лінії:

Вони є дві паралельні прямі.

Ці прямі розбивають точки координатної площини на область, розташовану між ними, і область, розташовану за ними. Перевірка показує, що цій нерівності задовольняють точки, розташовані між цими прямими (ці точки заштриховані). Наприклад, для початку координат (контрольна точка  х = 0, у = 0) отримуємо, що ця нерівність

|3х – 2у| ≤ 4

виконується

|3 ∙ 0 – 2 ∙ 0| ≤ 4.

Завдання до уроку 13

• Завдання 1 
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Числові нерівності
• Урок 2. Властивості числових нерівностей
• Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей
• Урок 4. Числові проміжки
• Урок 5. Лінійні нерівності
• Урок 6. Системи лінійних нерівностей
• Урок 7. Нелінійні нерівності
• Урок 8. Системи нелінійних нерівностей
• Урок 9. Дробово-раціональні нерівності
• Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків
• Урок 11. Нерівність з модулем
• Урок 12. Ірраціональні нерівності
• Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними
• Урок 15. Наближені обчислення
• Урок 16. Абсолютна і відносна погрішність