Урок 14. Система неравенств с двумя переменными

ВИДЕО УРОК

ПРИМЕР:

Найти все такие пары целых чисел  х, у, которые удовлетворяют системе неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Запишем данную систему в следующем виде:

Так как

|х² – 2х| ≥ 0,

|х –1| ≥ 0,

то из неравенств

у + ¹/₂ ˃ |х² – 2х|,

у < 2 – |х –1|.

следует, что

–¹/₂ < у < 2.

Целыми числами, удовлетворяющими этому неравенству, являются лишь  0  и  1, поэтому система

может иметь целые решения только при 

у = 0  и  у = 1.

1)  Если  у = 0, то система примет следующий вид:

Второму из этих неравенств удовлетворяют целые числа  0, 1  и  2.

Проверка показывает, что первому неравенству удовлетворяют

лишь  0  и  2. Следовательно, пары чисел

х₁ = 0,  у₁ = 0

и

х₂ = 2,  у₂ = 0

образуют решения исходной системы неравенств.

2)  Если  у = 1, то система примет следующий вид:

Второму неравенству данной системы удовлетворяет единственное целое число  х = 1, которое является также и решением первого неравенства.

ОТВЕТ:

х₁ = 0,  у₁ = 0,

х₂ = 2,  у₂ = 0,

х₃ = 1,  у₃ = 1.

Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными.

Суть метода решений системы неравенств с двумя переменными проста. Находим решение каждого неравенства в отдельности, изображаем решения на одной координатной плоскости и ищем пересечение этих решений.

ПРИМЕР:

Решить графически систему неравенство

РЕШЕНИЕ:

Сначала решим графически первое неравенство.

у ≥ 0.

Затем второе.

х ≤ 0

Объединим эти решения в одной координатной плоскости.

Системой неравенств

задаётся второй координатный угол.

ПРИМЕР:

Решить графически систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Сначала решим графически первое неравенство.

у ≥ 2х – 3.

Затем второе.

у ≤ 2х + 2.

Объединим эти решения в одной координатной плоскости.

Системой неравенств

задаётся полоса, ограниченная прямыми

у = 2х – 3,

у = 2х + 2.

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Найдём решение каждого неравенства в отдельности.

Для неравенства

у ≥ х² – 6х + 2,

множество всех точек расположено выше или “внутри” параболы.

Решения неравенства

у ≤ х + 5

расположены ниже прямой

у = х + 5.

Изобразим оба графика на одной плоскости и найдём пересечение областей.

ПРИМЕР:

Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Множество решений этой системы есть пересечение множеств решений входящих в неё неравенств.

Выясним, что представляет собой множество точек плоскости, координаты которых являются решениями рассматриваемой системы.

Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

у ≥ х,

Есть объединение множества точек прямой

у = х

и открытой полуплоскости, расположенной выше этой прямой.

Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству

х² + у² ≤ 9,

есть круг с центром в начале координат и радиусом  3.

Очевидно, что системе удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат пересечению множеств точек, задаваемых каждым из неравенств системы (на рисунке ему соответствует та область, где штриховки накладываются одна на другую). Значит, рассматриваемой системой неравенств задаётся полукруг.

ПРИМЕР:

Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Построим прямые

х + у = 3,

4х – 5у = 20.

Множество решений первого неравенства показано горизонтальной штриховкой, а множество решений второго неравенства – вертикальной штриховкой.

Двойная штриховка – множество решений системы. Система задаёт плоский угол.

ПРИМЕР:

Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Построим прямые

х + у = 3,

4х – 5у = 20,

5х + у = –5.    

Этой системой задаётся треугольник.

ПРИМЕР:

Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Геометрическим изображением решений системы неравенств

является множество точек первого координатного угла.

Геометрическим изображением решений неравенства

х + у < 5  или

у < 5 – х

является множество точек, лежащих ниже прямой, служащей графиком функции

у = 5 – х.

Геометрическим изображением решений неравенства  ху ˃ 4, или, поскольку  х ˃ 0, неравенства

у ˃ ⁴/_х

является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции

у = ⁴/_х.

В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции

у = 5 – х,

и выше гиперболы, служащей графиком функции

у = ⁴/_х.

ПРИМЕР:

Изобразить на координатной плоскости  Оху  фигуру  Ф, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Построим графики функций

у = |х|,

у = 3 – |х –1|,

Решив систему уравнений

находим общую точку  А(2;2)  этих графиков, лежащую в  I  квадранте.
Аналогично, решив систему уравнений

находим общую точку  В(–1;1)  графиков функций

у = |х|  и

у = 3 – |х –1|,

лежащую в  II квадранте.

Неравенству

у ˃ |х| 

удовлетворяют все точки координатной плоскости, расположенные выше графика функции

у = |х|,

а неравенству

у < 3 – |х –1|

все точки координатной плоскости, лежащие ниже графика функции

у = 3 – |х –1|.

Следовательно, исходной системе удовлетворяют все точки, лежащие внутри прямоугольника  ОАСВ, полученного при пересечении графиков функций:

у = |х|,

у = 3 – |х –1|.

Задания к уроку 14

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Числовые неравенства
• Урок 2. Свойства числовых неравенств
• Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
• Урок 4. Числовые промежутки
• Урок 5. Линейные неравенства
• Урок 6. Системы линейных неравенств
• Урок 7. Нелинейные неравенства
• Урок 8. Системы нелинейных неравенств
• Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
• Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
• Урок 11. Неравенства с модулем
• Урок 12. Иррациональные неравенства
• Урок 13. Неравенства с двумя переменными
• Урок 15. Приближённые вычисления
• Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность