Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними

ВИДЕО УРОК

ПРИКЛАД:

Знайти усі такі пари цілих чисел  х, у, які задовольняють системі нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Запишемо цю систему в наступному виді:

Оскільки

|х² – 2х| ≥ 0,

|х –1| ≥ 0,

то з нерівностей

у + ¹/₂ ˃ |х² – 2х|,

у < 2 – |х –1|.

витікає, що

–¹/₂ < у < 2.

Цілими числами, що задовольняють цій нерівності, є лише  0  і  1, тому система

може мати цілі рішення тільки   

у = 0  і  у = 1.

1)  Якщо  у = 0, то система набере наступного вигляду:

Другому з цих нерівностей задовольняють цілі числа  0, 1  і  2.

Перевірка показує, що першій нерівності задовольняють

лише  0  і  2. Отже, пари чисел

х₁ = 0,  у₁ = 0

і

х₂ = 2,  у₂ = 0

утворюють рішення початкової системи нерівностей.

2)  Якщо  у = 1, набере наступного вигляду:

Другій нерівності цієї системи задовольняє ціла однина  х = 1, яке являється також і рішенням першої нерівності.

ВІДПОВІДЬ:

х₁ = 0,  у₁ = 0,

х₂ = 2,  у₂ = 0,

х₃ = 1,  у₃ = 1.

Графічний метод рішення систем нерівностей з двома змінними.

Суть методу рішень системи нерівностей з двома змінними проста. Знаходимо рішення кожної нерівності окремо, зображуємо рішення на одній координатній площині і шукаємо перетин цих рішень.

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку вирішимо графічно першу нерівність.

у ≥ 0.

Потім друге.

х ≤ 0

Об'єднаємо ці рішення в одній координатній площині.

х ≤ 0

Об'єднаємо ці рішення в одній координатній площині.

Системою нерівностей

задається другий координатний кут.

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку вирішимо графічно першу нерівність.

у ≥ 2х – 3.

Потім друге.

у ≤ 2х + 2.

Об'єднаємо ці рішення в одній координатній площині.

Системою нерівностей

Задається смуга, обмежена прямими

у = 2х – 3,

у = 2х + 2.

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо рішення кожної нерівності окремо.

Для нерівності

у ≥ х² – 6х + 2,

безліч усіх точок розташована вище або "усередині" параболи.

Рішення нерівності

у ≤ х + 5

розташовані нижче прямої

у = х + 5.

Зображуватимемо обидва графіки на одній площині і знайдемо перетин областей.

ПРИКЛАД:

Зображуйте на координатній площині безліч рішень системи нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Безліч рішень цієї системи є перетин безлічі рішень нерівностей, що входять в неї.

З'ясуємо, що є безліччю точок площини, координати яких є рішеннями даної системи.

Безліч точок, координати яких задовольняють нерівності

у ≥ х,

Є об'єднання безлічі точок прямою

у = х

і відкритій напівплощині, розташованій вище за цю пряму.

Безліч точок, координати яких задовольняють нерівності

х² + у² ≤ 9,

є круг з центром на початку координат і радіусом  3 (на малюнку ця множина показана вертикальним штрихуванням).

Очевидно, що системі задовольняють координати тих і тільки тих точок, які належать перетину безлічі точок, що задаються кожною з нерівностей системи (на малюнку йому відповідає та область, де штрихування накладаються одна на одну). Значить, даною системою нерівностей задається півколо.

ПРИКЛАД:

Зображуйте на координатній площині безліч рішень системи нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо прямі

х + у = 3,

4х – 5у = 20.

Безліч рішень першої нерівності показана горизонтальним штрихуванням, а безліч рішень другої нерівності – вертикальним штрихуванням.

Подвійне штрихування – безліч рішень системи. Система задає плоский кут.

ПРИКЛАД:

Зображуйте на координатній площині безліч рішень системи нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо прямі

х + у = 3,

4х – 5у = 20,

5х + у = –5.    

Цією системою задається трикутник.

ПРИКЛАД:

Зображуйте на координатній площині безліч рішень системи нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Геометричним зображенням рішень системи нерівностей

являється безліч точок першого координатного кута.

Геометричним зображенням рішень системи нерівностей

х + у < 5  або

у < 5 – х

являється безліч точок, що лежать нижче прямої, що служить графіком функції

у = 5 – х.

Геометричним зображенням рішень нерівності  ху ˃ 4, або нерівності

у ˃ ⁴/_х

оскільки  х ˃ 0, являється безліч точок, що лежать вище за гілку гіперболи, що служить графіком функції

у = ⁴/_х.

У результаті отримуємо безліч точок координатної площини, що лежать в першому координатному кутку нижче прямої, що служить графіком функції

у = 5 – х,

і вище за гіперболу, що служить графіком функції

у = ⁴/_х.

ПРИКЛАД:

Зображувати на координатній площині  Оху  фігуру  Ф, координати точок якої задовольняють системі нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо графіки функцій

у = |х|,

у = 3 – |х –1|,

Вирішивши систему рівнянь

знаходимо загальну точку  А(2;2)   цих графіків, що лежить в  I  квадранті.
Аналогічно, вирішивши систему рівнянь

знаходимо загальну точку  В(–1;1)  графіків функцій

у = |х|  і

у = 3 – |х –1|,

що лежить в  II  квадранті.

Нерівності

у ˃ |х| 

задовольняють усі точки координатної площини, розташовані вище за графік функції

у = |х|,

а нерівності

у < 3 – |х –1|

усі точки координатної площини, що лежать нижче графіку функції

у = 3 – |х –1|.

Отже, початковій системі задовольняють усі точки, що лежать усередині прямокутника  ОАСВ, отриманого при перетині графіків функцій:

у = |х|,

у = 3 – |х –1|.

Завдання до уроку 14

• Завдання 1 
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Числові нерівності
• Урок 2. Властивості числових нерівностей
• Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей
• Урок 4. Числові проміжки
• Урок 5. Лінійні нерівності
• Урок 6. Системи лінійних нерівностей
• Урок 7. Нелінійні нерівності
• Урок 8. Системи нелінійних нерівностей
• Урок 9. Дробово-раціональні нерівності
• Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків
• Урок 11. Нерівність з модулем
• Урок 12. Ірраціональні нерівності
• Урок 13. Нерівності з двома змінними
• Урок 15. Наближені обчислення
• Урок 16. Абсолютна і відносна погрішність