Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 17 октября 2019 г.

Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними

ВИДЕО УРОК

ПРИКЛАД:

Знайти усі такі пари цілих чисел  х, у, які задовольняють системі нерівностей:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Запишемо цю систему в наступному виді
:
Оскільки

|х2 – 2х| ≥ 0,

|х –1| ≥ 0,

то з нерівностей

у + 1/2 ˃ |х2 – 2х|,

у < 2 – |х –1|.

витікає, що

1/2 < у < 2.

Цілими числами, що задовольняють цій нерівності, є лише  0  і  1, тому система
може мати цілі рішення тільки   

у = 0  і  у = 1.

1)  Якщо  у = 0, то система набере наступного вигляду:
Другому з цих нерівностей задовольняють цілі числа  0, 1  і  2.

Перевірка показує, що першій нерівності задовольняють

лише  0  і  2. Отже, пари чисел

х1 = 0,  у1 = 0

і

х2 = 2,  у2 = 0

утворюють рішення початкової системи нерівностей.

2)  Якщо  у = 1, набере наступного вигляду:
Другій нерівності цієї системи задовольняє ціла однина  х = 1, яке являється також і рішенням першої нерівності.

ВІДПОВІДЬ:

х1 = 0,  у1 = 0,

х2 = 2,  у2 = 0,

х3 = 1,  у3 = 1.

Графічний метод рішення систем нерівностей з двома змінними.

Суть методу рішень системи нерівностей з двома змінними проста. Знаходимо рішення кожної нерівності окремо, зображуємо рішення на одній координатній площині і шукаємо перетин цих рішень.

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно систему нерівностей:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку вирішимо графічно першу нерівність.

у ≥ 0.

Потім друге.

х ≤ 0

Об'єднаємо ці рішення в одній координатній площині.

х ≤ 0
Об'єднаємо ці рішення в одній координатній площині.
Системою нерівностей
задається другий координатний кут.

ПРИКЛАД:

Вирішити графічно систему нерівностей:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку вирішимо графічно першу нерівність.

у ≥ 2х – 3.

Потім друге.

у ≤ 2х + 2.
Об'єднаємо ці рішення в одній координатній площині.
Системою нерівностей
Задається смуга, обмежена прямими

у = 2х – 3,

у = 2х + 2.

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо рішення кожної нерівності окремо.

Для нерівності

ух2 – 6х + 2,

безліч усіх точок розташована вище або "усередині" параболи.

Рішення нерівності

ух + 5

розташовані нижче прямої

у = х + 5.
Зображуватимемо обидва графіки на одній площині і знайдемо перетин областей.

ПРИКЛАД:

Зображуйте на координатній площині безліч рішень системи нерівностей:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Безліч рішень цієї системи є перетин безлічі рішень нерівностей, що входять в неї.

З'ясуємо, що є безліччю точок площини, координати яких є рішеннями даної системи.

Безліч точок, координати яких задовольняють нерівності

ух,

Є об'єднання безлічі точок прямою

у = х

і відкритій напівплощині, розташованій вище за цю пряму.

Безліч точок, координати яких задовольняють нерівності

х2 + у2 ≤ 9,

є круг з центром на початку координат і радіусом  3 (на малюнку ця множина показана вертикальним штрихуванням).
Очевидно, що системі задовольняють координати тих і тільки тих точок, які належать перетину безлічі точок, що задаються кожною з нерівностей системи (на малюнку йому відповідає та область, де штрихування накладаються одна на одну). Значить, даною системою нерівностей задається півколо.

ПРИКЛАД:

Зображуйте на координатній площині безліч рішень системи нерівностей:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо прямі

х + у = 3,

4х – 5у = 20.

Безліч рішень першої нерівності показана горизонтальним штрихуванням, а безліч рішень другої нерівності – вертикальним штрихуванням.

Подвійне штрихування – безліч рішень системи. Система задає плоский кут.

ПРИКЛАД:

Зображуйте на координатній площині безліч рішень системи нерівностей:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо прямі

х + у = 3,

4х – 5у = 20,

5х + у = –5.    

Цією системою задається трикутник.

ПРИКЛАД:

Зображуйте на координатній площині безліч рішень системи нерівностей:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Геометричним зображенням рішень системи нерівностей
являється безліч точок першого координатного кута.

Геометричним зображенням рішень системи нерівностей

х + у < 5  або

у < 5 – х

являється безліч точок, що лежать нижче прямої, що служить графіком функції

у = 5 – х.

Геометричним зображенням рішень нерівності  ху ˃ 4, або нерівності

у ˃ 4/х

оскільки  х ˃ 0, являється безліч точок, що лежать вище за гілку гіперболи, що служить графіком функції

у = 4/х.

У результаті отримуємо безліч точок координатної площини, що лежать в першому координатному кутку нижче прямої, що служить графіком функції

у = 5 – х,

і вище за гіперболу, що служить графіком функції

у = 4/х.

ПРИКЛАД:

Зображувати на координатній площині  Оху  фігуру  Ф, координати точок якої задовольняють системі нерівностей:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо графіки функцій

у = |х|,

у = 3 – |х –1|,
Вирішивши систему рівнянь
знаходимо загальну точку  А(2;2)   цих графіків, що лежить в  I  квадранті.
Аналогічно, вирішивши систему рівнянь
знаходимо загальну точку  В(1;1)  графіків функцій

у = |х|  і

у = 3 – |х –1|,

що лежить в  II  квадранті.

Нерівності

у ˃ |х| 

задовольняють усі точки координатної площини, розташовані вище за графік функції

у = |х|,

а нерівності

у < 3 – |х –1|

усі точки координатної площини, що лежать нижче графіку функції

у = 3 – |х –1|.

Отже, початковій системі задовольняють усі точки, що лежать усередині прямокутника  ОАСВ, отриманого при перетині графіків функцій:

у = |х|,

у = 3 – |х –1|.

Завдання до уроку 14
Інші уроки:

    Комментариев нет:

    Отправить комментарий