Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрическим уравнением называется равенство, содержащее неизвестную величину только под знаком тригонометрических функций и справедливое лишь при некоторых определённых значениях неизвестной.

Эти значения называются корнями (решениями) уравнения.

ПРИМЕР:

sin x + cos x = 1,

tg x = cos ^х/₂ + 1  т. д.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения:

sin x = a,  cos x = a,

tg x = a,  ctg x = a,

где  a – данное число.

Решение уравнения  sin x = a.

Если  |a| ≤ 1, то решение этого уравнения определяется формулой:

x = (–1)ⁿ arcsin a + πn,

где  n = 0; ±1; ±2; … .

В частности,

при  a = 0   x = πn;

при  a = +1   x = + ^π/₂ + 2πn;

при  a = –1   x = – ^π/₂ + 2πn.

Поскольку

–1  ≤ sin x ≤ 1

для любого  х, то если  а ˃ 1  или  а < –1, уравнение 

sin x = а 

не имеет корней.

Для того, чтобы развязать уравнение  sin x = а, достаточно найти на единичном кругу или графике соответствующей функции такие точки, ординаты которых равняются  а. Если прямая  y = а  пересекает единичный круг (график) в точках  М_α  и  М_β, то углы  α  и  β  являются корнями уравнения 

sin x = а.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

sin x = ¹/₂.

РЕШЕНИЕ:

Используем формулу корней уравнения:

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z.

x = (–1)^k arcsin ¹/₂ + πk,  k ∈ Z.

x = (–1)^{k π}/₆ + πk,  k ∈ Z.

ОТВЕТ:

(–1)^{k π}/₆ + πk,  k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

sin x = –¹/₂.

РЕШЕНИЕ:

Используем формулу корней уравнения:

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z.

x = (–1)^k arcsin (–¹/₂) + πk,  k ∈ Z.

x = (–1)^k (–^π/₆) + πk,  k ∈ Z,

x = (–1)^{k+1 π}/₆ + πk,  k ∈ Z.

ОТВЕТ:

x = (–1)^{k+1 π}/₆ + πk,  k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

sin x = 0.

РЕШЕНИЕ:

Используем формулу корней уравнения:

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z.

x = (–1)^k arcsin 0 + πk,  k ∈ Z.

Так как

sin 0 = 0  и  0  [–^π/₂; –^π/₂], то 

arcsin 0 = 0, поэтому

x = πk,  k ∈ Z,

ОТВЕТ:  x = πk,  k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Используем формулу корней уравнения:

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z.

Так как

x = (–1)^{k π}/₄ + πk,  k ∈ Z,

ОТВЕТ:

(–1)^{k π}/₄ + πk,  k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

sin x = 0,932.

РЕШЕНИЕ:

По формуле:

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z

x = (–1)^k arcsin (0,932) + πk,  k ∈ Z,

где  arcsin (0,932) ≈ 1,2.

Приближенное значение арксинуса найдено по таблицам.

Следовательно:

x = ± х₀ + πk,  k ∈ Z,

где  х₀ ≈ 1,2.

ОТВЕТ:  ≈ 1,2

ПРИМЕР:

Найти наименьшее значение решения уравнения:

√͞͞͞͞͞2  – 2sin ^πх/₉ = 0,

которому удовлетворяет следующее условие

0 < х < 10.

РЕШЕНИЕ:

Запишем уравнение в виде:

тогда

^πх/₉ = (–1)^{k π}/₄ + πk,  k ∈ Z;

х = (–1)^{k 9}/₄ + 9k,  k ∈ Z.

Если  k < 0, то  x < 0;

если  k = 0, то  х = (–1)° ⁹/₄ + 9 ∙ 0 = 2,25,

если, k = 1, то  х = (–1)^{1 9}/₄ + 9 ∙ 1 =

–2,25 + 9 = 6,75.

Так как

0 < x < 10,

то наименьшее решение из этого промежутка равно  2,25.

ОТВЕТ:  2,25

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Функция синус нечётная. Поэтому

По формуле:

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z,

^х/₂ – ^π/₁₀ = (–1)^k (–^π/₄) + πk,  k ∈ Z,

х = ^π/₅ + (–1)^{k+1 π}/₂ + 2πk,  k ∈ Z.

ОТВЕТ:

^π/₅ + (–1)^{k+1 π}/₂ + 2πk,  k ∈ Z

Решение уравнения  cos x = а.

Если  |а| ≤ 1, то решение этого уравнения определяется формулой:

x = ± arccos а + 2πn,

где  n = 0; ±1; ±2; … .

В частности,

при  а = 0   x = ^π/₂ (2n + 1);

при  а = +1   x = 2πn;

при  а = –1   x = π(2n + 1).

Поскольку

–1  ≤ cos x ≤ 1

для любого  х, то если  а ˃ 1  или  а < –1, уравнение 

cos x = а 

не имеет корней.

Для того, чтобы решить уравнение  cos x = а, достаточно найти на единичном кругу или графике соответствующей функции такие точки, абсциссы (ординаты) которых равняются  а. Если прямая  х = а  пересекает единичный круг (график) в точках  М_α  и  М_β, то углы  α  и  β  являются корнями уравнения 

cos x = а.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

cos x = 0,

РЕШЕНИЕ:

По формуле:

x = ± arccos а + 2πn

x = ± arccos 0 + 2πn, k ∈ Z,

или

x = ± ^π/₂ + 2πk, k ∈ Z,

запишем ответ в виде:

x = ^π/₂ (4k ± 1),  k ∈ Z.

{(4k ± 1),  k ∈ Z} – это множество нечётных чисел, то есть множество:

{(2n + 1),  n ∈ Z}.

Поэтому ответ можно записать так:

x = ^π/₂ (2n + 1),  n ∈ Z.

ОТВЕТ:

^π/₂ (2n + 1),  n ∈ Z

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

2 cos x = 1,

РЕШЕНИЕ:

Запишем уравнение в следующем виде:

cos x = ¹/₂.

x = ±arccos ¹/₂ + 2πk,  k ∈ Z;

x = ± ^π/₃ + 2πk,  k ∈ Z.

ОТВЕТ:  ± ^π/₃ + 2πk,  k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

cos x = –0,2756.

РЕШЕНИЕ:

По формуле:

x = ± arccos а + 2πn

x = ± arccos (–0,2756) + 2πn.

Значение  arccos (–0,2756)  находим с помощью калькулятора. Оно приближённо равно  1,8500.

Поэтому:

x = ± х₀ + 2πn  (n ∈ Z),

где  х₀ ≈ 1,8500.

ОТВЕТ:  ≈ 1,8500

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

РЕШЕНИЕ:

По формуле:

x = ± arccos а + 2πn

то есть

 2x –  ^π/₄ = ± ⁵/₆ π + 2πn, n ∈ Z,

откуда

х = ^π/₈ ± ^5π/₁₂ + πn, n ∈ Z.

ОТВЕТ:

^π/₈ ± ^5π/₁₂ + πn, n ∈ Z

Решение уравнения  tg x = а.

Для любого действительного числа  а  на промежутку  (–^π/₂; ^π/₂)  существует только один угол  α  такой, что  tg α = а. Это угол 

α = arctg а + πk, k ∈ Z.

Учитывая периодичность функции  у = tg x, получим формулу корней уравнения  tg x = а:

x = arctg а + πk, k ∈ Z.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

tg x = √͞͞͞͞͞3.

РЕШЕНИЕ:

По формуле

x = arctg а + πk, k ∈ Z

находим решение:

x = arctg √͞͞͞͞͞3 + πk, k ∈ Z,

так как  arctg √͞͞͞͞͞3 = ^π/₃,

приходим к окончательному ответу:

x = ^π/₃ + πk, k ∈ Z.

ОТВЕТ: 

^π/₃ + πk, k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

tg x = 5,177.

РЕШЕНИЕ:

По формуле

x = arctg а + πk, k ∈ Z

находим решение:

x = arctg 5,177 + πk, k ∈ Z,

с помощью калькулятора находим что

arctg 5,177 ≈ 1,3800.

ОТВЕТ:  ≈ 1,3800

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

tg(5x + ^π/₄) = √͞͞͞͞͞3.

РЕШЕНИЕ:

5x + ^π/₄ = arctg √͞͞͞͞͞3 + πk,  k ∈ Z,

5x + ^π/₄ = ^π/₃ + πk,  k ∈ Z,

5x = ^π/₁₂ + πk,  k ∈ Z,

x = ^π/₆₀ + ^πk/₅,  k ∈ Z.

ОТВЕТ:  ^π/₆₀ + ^πk/₅,  k ∈ Z

Решение уравнения  ctg x = а.

Для любого действительного числа  а  на промежутку  (0; π)  существует только один угол  α  такой, что  сtg α = а. Это угол 

α = arcсtg а + πk, k ∈ Z.

Учитывая периодичность функции  у = сtg x, получим формулу корней уравнения  сtg x = а:

x = arcctg а + πk, k ∈ Z.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

сtg x = √͞͞͞͞͞3.

РЕШЕНИЕ:

По формуле

x = arcсtg а + πk, k ∈ Z

находим решение:

x = arcсtg √͞͞͞͞͞3  + πk, k ∈ Z,

x =  ^π/₆ + πk, k ∈ Z.

ОТВЕТ:

^π/₆ + πk, k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

сtg x = 1.

РЕШЕНИЕ:

По формуле

x = arcctg а + πk, k ∈ Z

находим решение:

x = arсctg 1 + πk, k ∈ Z,

x =  ^π/₄ + πk, k ∈ Z.

ОТВЕТ:

^π/₄ + πk, k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

сtg x = –√͞͞͞͞͞3.

РЕШЕНИЕ:

Это уравнение равносильно уравнению:

которое решаем с помощью формулы

x = arctg а + πk, k ∈ Z

находим решение:

x = – ^π/₆ + πk, k ∈ Z.

ОТВЕТ:

– ^π/₆ + πk, k ∈ Z

Уравнения

sin (ax + b) = m,

cos (ax + b) = m,

tg (ax + b) = m,

ctg (ax + b) = m

приводятся к простейшим заменой

ax + b = t.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

cos 4x = –¹/₂,

РЕШЕНИЕ:

Пусть  4x = t, тогда

cos t = –¹/₂;

t = ±arccos (–¹/₂) + 2πk,  k ∈ Z;

t = ± ^2π/₃ + 2πk,  k ∈ Z.

Возвращаемся к замене:

4x = ± ^2π/₃ + 2πk,  k ∈ Z;

x = ± ^π/₆ + ^πk/₂,  k ∈ Z.

ОТВЕТ:  ± ^π/₆ + ^πk/₂,  k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

sin(π∙ 4^х) = 0.

РЕШЕНИЕ:

Используем формулу для случая 

sin t = 0, t = πn.

Поэтому,

π ∙ 4^x = πn; 4^x = n, n ∈ N,

так как показательная функция принимает лишь положительные значения.

Отсюда

x = log₄n.

ОТВЕТ:  log₄n

Уравнения, которые сводятся до квадратных.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

4 соs^{2 х}/₂ – 8 соs ^х/₂ + 3 = 0,

РЕШЕНИЕ:

Введём новую замену:

соs ^х/₂ = t,

откуда получим уравнение:

4t² – 8t + 3 = 0;

t₁ = 0,5,  t₂ = 1,5.

Возвращаемся до замены и решаем полученное уравнение:

1)  соs ^х/₂ = 0,5,

 ^х/₂ = ±arccos ¹/₂ + 2πk,  k ∈ Z,

^х/₂ = ± ^π/₃ + 2πk,  k ∈ Z,

x = ± ^2π/₃ + 4πk,  k ∈ Z.

2)  соs ^х/₂ = 1,5,

x ∈ ∅

ОТВЕТ:  ± ^2π/₃ + 4πk,  k ∈ Z

О решении тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений, как и при решении алгебраических уравнений, прежде всего следует определить область допустимых значений неизвестного. Для тригонометрических уравнений такой областью могут быть только действительные числа. Функции  sin x  и  cos x  определены при всех действительных значениях  х, а функция  tg x  определена при

x ≠ ^π/₂ (2n + 1),

где  n = 0; ±1; ±2; … ,

и функция  сtg x  определена при

x ≠ πn

где  n = 0; ±1; ±2; …

Кроме того, при определении области допустимых значений неизвестного следует учитывать, что дробное выражение существует, если знаменатель его отличен от нуля.

При преобразованиях уравнений область допустимых значений их неизвестного может изменяться. Если она расширяется, то можно получить лишние (посторонние) решения, которые из множества найденных могут быть исключены проверкой полученных решений по условию уравнения. Если же область допустимых значений неизвестного при преобразованиях уравнения сужается, то корни можно потерять, поэтому необходимо исследовать, нет ли среди тех значений, на которые сузилась область допустимых значений, решений данного уравнения. Иногда это делается непосредственно проверкой по исходному уравнению.

ПРИМЕР:

Решите уравнение:

соs(π – х) + 2 соs(^π/₃ + х) = √͞͞͞͞͞3,

РЕШЕНИЕ:

Используем формулы приведения и формулу:

cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β,

получим:

ОТВЕТ: 

– ^π/₂ + 2πn,  n ∈ Z

Задания к уроку 1

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 2. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями одного аргумента
• Урок 3. Тригонометрические уравнений с функциями разных аргументов
• Урок 4. Графический метод решения тригонометрических уравнений
• Урок 5. Системы тригонометрических уравнений
• Урок 6. Тригонометрические неравенства
• Урок 7. Графическое решение тригонометрических неравенств