ВИДЕО УРОК
ПРИМЕР:
Сделаем замену:
sin x = u, соs
y = v.
v = 1,5 – u.
Подставив выражение
1,5 – u вместо v во второе уравнение системы,
получим:
u2 + (1,5 – u)2 = 1,25,
2u2 – 3u + 1 = 0,
u1 = 1, u2 = 0,5.
Если
u1 = 1, то
v1 = 1,5 – u1 = 1,5 – 1 = 0,5.
Если
u2 = 0,5, то
v2 = 1,5 – u2 = 1,5 – 0,5 = 1.
u = sin x, v = соs y,
sin x = 1
находим:
x1 = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
Из уравнения
соs y = 0,5
находим:
у1 = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.
sin x = 0,5
находим:
x2 = (–1)k ∙ π/6 + πk, k ∈ Z.
Из уравнения
соs y = 1
находим:
у2 = 2πn, n ∈ Z.
x1 = π/2 + 2πk, k ∈ Z,
у1 = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z,
x2 = (–1)k ∙ π/6 + πk, k ∈ Z,
у2 = 2πn, n ∈ Z.
Решить систему уравнений:
Превратив по формулелевую часть первого уравнения в произведение, получим:
или после подстановки из второго уравнения
Рассмотрим возможные случаи.
1. Если
а = 0 і b = πk (k = 0; ±1; ±2; …),
то решением заданной системы будет любая пара чисел, определяется по системе
где α – любое действительное число, а k = 0; ±1; ±2; …
2. Если а = 0 и b ≠ πk, то из уравнения
находим или
ПРИМЕР:
Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:
а потом с простейших тригонометрических уравнений
Из первого уравнения находим:
у = х – 5π/3.
sin х = sin х
+ √͞͞͞͞͞3 соs х.
Откуда
соs х = 0,
x
=
π/2
+ πn, n
∈ Z.
Дальше находим:
у =
х – 5π/3 = π/2 + πn – 5π/3 = πn – 7π/6, n ∈ Z.
ОТВЕТ:
x = π/2 + πn,
у =
πn – 7π/6, n ∈ Z.
ПРИМЕР:
Сложив 1 и 2 уравнение системы, получим:
sin х ∙ соs у + соs х ∙ sin y =
= 0,5 + (–0,5),
Преобразуем левую часть уравнения с помощью следующей формулы:
0,5[sin(х + у) + sin(х – у)]
+ 0,5[sin(у + х) + sin(у – х)]
=
0,5[sin(х + у) + sin(х – у)
+ sin(у + х) – sin(х – у)]
=
0,5[2 sin(х + у)] = sin(х + у).
Получим
следующее уравнение:
sin(х + у) = 0.
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
sin х
∙ соs у – соs х ∙ sin y =
= 0,5 – (–0,5),
Преобразуем левую часть уравнения с помощью следующей формулы:
0,5[sin(х + у) + sin(х – у)]
– 0,5[sin(у + х) + sin(у – х)]
=
0,5[sin(х + у) + sin(х – у)
– sin(у + х) + sin(х – у)]
=
0,5[2 sin(х – у)]
= sin(х – у).
Получим
следующее уравнение:
sin(х – у) = 1.
π/4 + πn/2 + kπ, n, k ∈ Z,
–π/4 + πn/2 – kπ, n, k ∈ Z
ПРИМЕР:
Область допустимых значений:
sin х
≠ 0, соs х ≠ 0.
sin2 х – 1 = sin2 х – (sin2 х + соs2 х) =
sin2 х – sin2
х – соs2
х = –соs2 х.
и
соs2 х – 1 = соs2 х – (sin2 х + соs2 х) =
соs2 х – соs2
х – sin2
х = – sin2 х.
соs х ∙ соs y + sin х
∙
sin y = –sin2 х + (–соs2 х),
соs(х – y) = –1,
откуда
у – х = π + 2πk, k ∈ Z,
у = х + π +
2πk, k ∈ Z.
соs 2х = 0,
2х = π/2 + πn,
х = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
Тогда
у = π/4 + πn/2 + π + 2πk =
5π/4
+ πn/2
+ 2πk n, k
∈ Z.
ОТВЕТ:
х
=
π/4
+ πn/2,
- Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения
- Урок 2. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями одного аргумента
- Урок 3. Тригонометрические уравнений с функциями разных аргументов
- Урок 4. Графический метод решения тригонометрических уравнений
- Урок 6. Тригонометрические неравенства
- Урок 7. Графическое решение тригонометрических неравенств
Комментариев нет:
Отправить комментарий