пятница, 3 апреля 2020 г.

Урок 5. Системы тригонометрических уравнений

ВИДЕО УРОК


Системы тригонометрических уравнений с двумя и тремя неизвестными встречаются в элементарном курсе тригонометрии в основном при решении треугольников. Решение и исследование систем тригонометрических уравнений в общем случае составляет довольно сложную задачу.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Сделаем замену:

sin x = u, соs y = v.

Тогда получим следующую систему:
Из первого уравнения этой системы находим

v = 1,5 – u.

Подставив выражение

1,5 – u  вместо  v  во второе уравнение системы, получим:

u2 + (1,5 – u)2 = 1,25,

2u2 – 3u + 1 = 0,

u1 = 1,  u2 = 0,5.

Если

u1 = 1, то 

v1 = 1,5 – u1 = 1,5 – 1 = 0,5.

Если

u2 = 0,5, то 

v2 = 1,5 – u2 = 1,5 – 0,5 = 1.

Итак, мы получили две пары решений:
Так как

u = sin x, v = соs y,

то остаётся решить две системы уравнений:
Из уравнения

sin x = 1

находим:

x1 = π/2 + 2πkk Z.

Из уравнения

соs y = 0,5

находим:

у1 = ±π/3 + 2πnn Z.

Значит решения системы
имеют вид:
Из уравнения

sin x = 0,5

находим:

x2 = (–1)k π/6 + πkk Z.

Из уравнения

соs y = 1

находим:

у2 = 2πnn Z.

Значит решения системы
имеют вид:
ОТВЕТ:

x1 = π/2 + 2πkk Z,

у1 = ±π/3 + 2πnn Z,

x2 = (–1)k π/6 + πkk Z,

у2 = 2πnn Z.

При решении систем тригонометрических уравнений следует использовать различные обозначения для параметра (n, k, m, …) в записи решений первого и второго уравнений системы. Другими словами, если в первом уравнении системы при записи решения в качестве параметра использована буква  k, то для второго уравнения эту букву уже использовать нельзя. В рассмотренном примере для этой цели использовалась буква  n.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Превратив по формуле
левую часть первого уравнения в произведение, получим:
или после подстановки из второго уравнения
Рассмотрим возможные случаи.

1. Если 

а = 0  і  b = πk (k = 0; ±1; ±2; …),

то решением заданной системы будет любая пара чисел, определяется по системе
где  α – любое действительное число, а  k = 0; ±1; ±2;

2. Если  а = 0  и  b πk, то из уравнения
находим
или




решения данной системы сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений
откуда находим:
3. Если  а и  b = πk, то система не имеет решений (при k = 0; ±1; ±2; …).

4. Если  а и  b πk (k = 0; ±1; ±2; …), то определив (ху)  с самого простого тригонометрического уравнения
сведем эту систему к системе линейных алгебраических уравнений:
Если
то система имеет решения
Если
то система решений не имеет.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Добавляя и вычитая почленно уравнения данной системы с помощью формул:





получим
:
Решив по формуле

x = ± arccos m + 2πn,
где  n = 0; ±1; ±2; …

каждое из найденных простейших тригонометрических уравнений, приходим к системе линейных алгебраических уравнений:





Если


| a + b | ≤ 1  и  | a – b | ≤ 1,

то

x = ± 1/2 [arccos (a + b) + arccos (a – b)] + π(n + k),
у = ± 1/2 [arccos (a – b) – arccos (a + b)] + π(nk),
где  n = 0; ±1; ±2; … ; k = 02; ±1; ±; … .

Если

| a + b˃ 1,

или

| a – b˃ 1,

то система решений не имеет.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:





Если


| a + b | ≤ 1  и  | a – b | ≤ 1,

то

x = ± 1/2 [arccos (a + b) + arccos (a – b)] + π(n + k),
у = ± 1/2 [arccos (a – b) – arccos (a + b)] + π(nk),
где  n = 0; ±1; ±2; … ; k = 0; ±1; ±2; … .

Если

| a + b˃ 1,

или

| a – b˃ 1,

то система решений не имеет.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Если учесть, что при

x + y + z = π    
tg x tg y tg z = tg x + tg y + tg z,

то система сводится к виду:
Тогда   

tg z = ab  

и два первых уравнения исходной системы приобретают вид:
Воспользовавшись формулой Виета, находим

tg и   tg y  как корни  t1  и  t2  
квадратного уравнения:
а потом с простейших тригонометрических уравнений

tg x = t1
tg y = t2
tg z = a – b.

найдём  x, y, z.

ПРИМЕР:

Решить  систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Из первого уравнения находим:

у = х – 5π/3.

Тогда
Второе уравнение системы приобретает следующий вид:

sin х = sin х + √͞͞͞͞͞3 соs х.

Откуда

соs х = 0,

x = π/2 + πnn Z.

Дальше находим:

у = х5π/3 = π/2 + πn – 5π/3 = πn – 7π/6, n Z.

ОТВЕТ:

 x = π/2 + πn,

у = πn – 7π/6, n Z.

ПРИМЕР:

Решить  систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Сложив  1  и  2  уравнение системы, получим:

sin х соs у + соs х sin y =

= 0,5 + (–0,5),

Преобразуем левую часть уравнения с помощью следующей формулы:

sin х соs у + соs х sin y =

0,5[sin(х + у) + sin(ху)] + 0,5[sin(у + х) + sin(ух)] =

0,5[sin(х + у) + sin(ху) + sin(у + х) – sin(ху)] =

0,5[2 sin(х + у)] = sin(х + у).

Получим следующее уравнение:

sin(х + у) = 0.

Вычтем из первого уравнения второе, получим:

sin х соs усоs х sin y =

= 0,5 – (–0,5),

Преобразуем левую часть уравнения с помощью следующей формулы:

sin х соs у – соs х sin y =

0,5[sin(х + у) + sin(ху)] – 0,5[sin(у + х) + sin(ух)] =

0,5[sin(х + у) + sin(ху) – sin(у + х) + sin(ху)] =

0,5[2 sin(х у)] = sin(ху).

Получим следующее уравнение:

sin(ху) = 1.

Таким образом, получим систему, равносильную начальной:
ОТВЕТ:

π/4 + πn/2 + kπn, k Z,

π/4 + πn/2kπn, k Z

ПРИМЕР:

Решить  систему уравнений:
РЕШЕНИЕ:

Область допустимых значений:

sin х 0, соs х 0.

Умножим первое уравнение на  sin х 0, а второе – на  соs х 0. Получим:
Учитывая, что
получаем:

sinх – 1 = sinх – (sinх + соsх) =

sin2 х sin2 х соs2 х = –соs2 х.

и

соs2 х – 1 = соs2 х – (sinх + соs2 х) =

соs2 х соs2 х sin2 х = – sin2 х.

Тогда система будет иметь следующий вид:
Складываем уравнения системы

соs х соs y + sin х sin y = –sin2 х + (–соs2 х),

Воспользуемся следующей формулой, для левой части уравнения:
В результате получается следующее уравнение:

соs(х y) = –1,

откуда

у – х = π + 2πk, k Z,

у = х + π + 2πk, k Z.

Подставляя значения  у  в последнюю полученную систему, получаем:
С учётом ОДЗ и пользуясь следующей формулой:
получаем следующее уравнение:

соs 2х = 0,

2х = π/2 + πn,

х = π/4 + πn/2,  n Z.

Тогда

у = π/4 + πn/2 + π + 2πk =

5π/4 + πn/2 + 2πk  n, k Z.

ОТВЕТ:

х = π/4 + πn/2,

у = 5π/4 + πn/2 + 2πk  n, k Z.

Комментариев нет:

Отправить комментарий