понедельник, 25 января 2021 г.

Урок 7. Графическое решение тригонометрических неравенств

ВИДЕО УРОК

Рассмотрим примеры графического решения простейших тригонометрических неравенств, то есть неравенств вида:

f(x) ˃ a,

f(x) < a

где  f(x) – одна из тригонометрических функций.

Графическая интерпретация решений неравенств вида

sin х ˃ а,

sin ха.
Графическая интерпретация решений неравенств вида

sin х < а,

sin ха.
Графическая интерпретация решений неравенств вида

cos х ˃ а,

cos ха.
Графическая интерпретация решений неравенств вида

cos х < а,

cos ха.
Графическая интерпретация решений неравенств вида

tg х ˃ а,

tg ха.
Графическая интерпретация решений неравенств вида

tg х < а,

tg ха.
Графическая интерпретация решений неравенств вида

ctg х ˃ а,

ctg ха.
Графическая интерпретация решений неравенств вида

ctg х < а,

ctg ха.
ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

sin х ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Построим график функции

у = sin х

и выберем на оси  х  значения аргумента  х, которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси  х. Одним из промежутков, содержащих такие точки оси  х, является интервал

(0; π), (смотрите рисунок),

а всего таких интервалов будет бесконечно много.
Причём в силу периодичности функции

у = sin х

каждый из них получается из  (0; π)  сдвигом по оси  х  на

2πk, где  k Z.

Таким образом, решением заданного неравенства служит объединение интервалов вида

(0 + 2πk; π + 2πk), то есть

(2πk; π + 2πk), k Z.

Это можно записать так:

2πk < x < π + 2πk, k Z.

ОТВЕТ:

2πk < x < π + 2πk, k Z

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

соs х < 1/2.

РЕШЕНИЕ:

Построим график функции

у = соs х

и проведём прямую

у = 1/2.

Нас интересуют те значения аргумента  х, которым соответствуют точки графика, лежащие ниже прямой

у = 1/2.

Одним из нужных нам промежутков является интервал

(π/3; 5π/3).
Воспользовавшись периодичностью функции

у = соs х,

запишем ответ.

ОТВЕТ:

π/3 + 2πk < x < 5π/3 + 2πk, k Z

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

tg х ≥ –1.

РЕШЕНИЕ:

Построим график функции

у = tg х

и проведём прямую

у = –1.

Нас интересуют те значения  х, которым соответствуют точки графика, лежащие не ниже прямой

у = –1.
Одним из нужных нам промежутков является интервал

[–π/4; π/2),

А всего таких промежутков будет бесконечно много, причём в силу периодичности функции

у = tg х

каждый получается из

[–π/4; π/2)

сдвигом по оси  х  на  πk, где  k Z. Это позволяет записать решение следующим образом.

ОТВЕТ:

π/4 + πk x < π/2 + πk, k Z

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

cos х – 3х + 1 ≥ 0.

РЕШЕНИЕ:

При решении неравенства графическим способом необходимо как можно более точно построить графики функций.

Преобразуем данное неравенство к виду:

cos х ≥ 3х – 1.

Построим в одной системе координат графики функций

у = cos х,

у = 3х – 1.
Графики функций пересекаются в точке  А  с координатами  х 0,6  и  у 0,8. На промежутке  (–; 0,6)  точки графика

у = 3х – 1

ниже точек графика

у = cos х.

А при  х 0,6  значения функций совпадают. Поэтому

 cos х ≥ 3х – 1

при  х ≤ 0,6.

ОТВЕТ:

х (–; 0,6].

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

sin х < 2х – 1.

РЕШЕНИЕ:

Построим в одной системе координат графики функций

у = sin х,

у = 2х – 1.
Графики функций пересекаются в точке 

А(х 0,9; у 0,8).

На промежутке  (0,9; +)  точки графика 

у = 2х – 1 

выше точек графика  

у = sin х.

Значит

sin х < 2х – 1

при  х ˃ 0,9.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

соs хх2 – 2х – 1 ≥ 0.

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем данное неравенство к виду:

соs хх2 + 2х + 1.

Построим в одной системе координат графики функций

у = соs х,

у = х2 + 2х + 1.
Графики функций пересекаются в точках 

А(0; 1)  и  В(х –1,4; у 0,2).

На промежутке  [–1,4; 0]  точки графика функции

у = х2 + 2х + 1

ниже точек графика

у = соs х.

значит,

соs хх2 + 2х + 1

при  –1,4 ≤ х ≤ 0.

ОТВЕТ:  х [–1,4; 0]

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

sin х 1/3.

РЕШЕНИЕ:

Построим в одной системе координат графики функций

у = sin х,

у = 1/3.
Графики функций пересекаются в точках 

А(–3,481; 0,333)  и  В(3,4; 0,333).

На промежутке  [–3,481; 3,4]  точки графика функции

у = sin х

ниже точек графика

у = 1/3.

значит,

sin х 1/3

при  –3,481 ≤ х ≤ 3,4,

или

πarcsin 1/3хarcsin 1/3.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Построим в декартовой системе координат графики
и выделим интервалы, на которых график функции

у = ctg x

расположен не выше графика прямой
Следующим шагом находим абсциссу точки  х0 – пересечению графиков отмеченных функций. Искомая точка является концом одного из промежутков, на котором выполняется заданное неравенство
Если точно:
Но, учитывая период  π  котангенса  у = ctg x, тогда
Другим концом этого промежутка является точка  π, в которой функция  у = ctg x  имеет вертикальную асимптоту.

Таким образом, одним из промежутков решения заданного неравенства будет

2π/3 х < π.

Добавляем периодичность котангенса и записываем множество решений неравенства.

x [2π/3 + πk; π + πkk Z.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Сначала проверяем правую часть неравенства на вхождение в область допустимых значений синуса. Поскольку условие выполняется
то решение неравенства для синуса существует.

Построим в одной системе координат графики функций

у = sin х
и выделим промежутки, на которых график функции  у = sin х  расположен ниже от графика прямой
Ниже, поскольку заданный знак неравенства строго меньше.
Если неравенство нестрогое, то точки пересечения включаем в решение и получаем промежуток.
Найдем абсциссы точек  х1  и  х2 (х1 <  х2) – пересечения графиков отмеченных функций:
Запишем ответ, учитывая период функции  у = sin х.

Следовательно, решением неравенства является множество значений

x (–5π/3 + 2πk; π/4 + 2πk)  k Z.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:
РЕШЕНИЕ:
Поскольку
то решение неравенства существует.
Построим в декартовой системе координат графики функций
и выделим промежутки, на которых график функции  у = соs х  расположен выше прямой
Найдем абсциссы точек  х1  и  х2 (х1х2) – пересечения графиков отмеченных функций, через арккосинус:
Добавляем период косинуса    и записываем множество решений неравенства:

x (–π/6 + 2πk; π/6 + 2πk)  k Z.

ПРИМЕР:

Решить графически неравенство:

tg x < √͞͞͞͞͞3.

РЕШЕНИЕ:

Построим в декартовой системе координат график функций

у = tg x,

у = √͞͞͞͞͞3

и выделим промежутки, на которых график функции  у = tg х  расположен ниже графика прямой

у = √͞͞͞͞͞3.
Не забывайте, что тангенс имеет разрывы и в точках разрыва (в асимптотах) множество решений обрывается.

Найдем через арктангенс абсциссу точки  х0 – пересечению графиков отмеченных функций, которая является концом одного из промежутков, на котором выполняется заданное неравенство

х0 = arctg √͞͞͞͞͞3 = π/3.

и на котором функция  у = tg x  не определена (разрыв II рода).

Таким образом, одним из промежутков решения заданного неравенства есть

π/2 < х < π/3.

Учитывая, что период тангенса ровный  π  записываем общее решение неравенства:

x (–π/2 + πk; π/3 + πk)  k Z.

Комментариев нет:

Отправить комментарий