ВИДЕО УРОК
Рассмотрим примеры графического решения простейших тригонометрических неравенств, то есть неравенств вида:
f(x) ˃ a,
f(x) < a
где f(x) –
одна из тригонометрических функций.
Графическая
интерпретация решений неравенств вида
sin
х ˃ а,
sin
х < а,
cos х ˃ а,
cos х < а,
tg х ˃ а,
tg х < а,
ctg х ˃ а,
ctg х < а,
Решить графически неравенство:
sin
х ˃ 0.
РЕШЕНИЕ:
Построим график функции
у = sin х
и выберем на оси х значения
аргумента х, которым соответствуют точки графика, лежащие выше
оси х. Одним
из промежутков, содержащих такие точки оси
х,
является интервал
(0; π), (смотрите рисунок),
у = sin х
каждый из них получается из (0; π) сдвигом по оси х на
2πk,
где k ∈ Z.
Таким образом, решением заданного неравенства служит
объединение интервалов вида
(0 + 2πk; π + 2πk), то есть
(2πk; π + 2πk), k ∈ Z.
Это можно записать так:
2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z.
ОТВЕТ:
2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z
ПРИМЕР:
Решить графически неравенство:
соs
х < 1/2.
РЕШЕНИЕ:
Построим график функции
у = соs х
и проведём прямую
у = 1/2.
Нас интересуют те значения аргумента х,
которым соответствуют точки графика, лежащие ниже прямой
у = 1/2.
Одним из нужных нам промежутков является интервал
у = соs х,
запишем ответ.
ОТВЕТ:
π/3 + 2πk < x < 5π/3 + 2πk, k ∈ Z
ПРИМЕР:
Решить графически неравенство:
tg х ≥ –1.
РЕШЕНИЕ:
Построим график функции
у = tg х
и проведём прямую
у = –1.
Нас интересуют те значения х,
которым соответствуют точки графика, лежащие не ниже прямой
[–π/4; π/2),
А всего таких промежутков будет бесконечно много, причём
в силу периодичности функции
у = tg х
каждый получается из
[–π/4; π/2)
сдвигом по оси х на πk, где k ∈ Z.
Это позволяет записать решение следующим образом.
ОТВЕТ:
–π/4 + πk ≤ x < π/2 + πk, k ∈ Z
ПРИМЕР:
Решить графически неравенство:
cos х – 3х + 1 ≥ 0.
РЕШЕНИЕ:
При решении неравенства графическим способом необходимо
как можно более точно построить графики функций.
Преобразуем данное неравенство к виду:
cos х ≥ 3х – 1.
Построим в одной системе координат графики функций
у = cos х,
у = 3х – 1
ниже точек графика
у = cos х.
А при х ≈ 0,6 значения функций совпадают. Поэтому
cos х ≥ 3х – 1
при х ≤ 0,6.
ОТВЕТ:
х ∈ (–∞; 0,6].
ПРИМЕР:
Решить графически неравенство:
sin х < 2х – 1.
РЕШЕНИЕ:
Построим в одной системе координат графики функций
у = sin х,
А(х ≈ 0,9; у ≈ 0,8).
На
промежутке (0,9; +∞) точки графика
у = 2х – 1
выше точек
графика
у = sin х.
Значит
sin х < 2х – 1
при х ˃ 0,9.
ПРИМЕР:
Решить графически неравенство:
соs х – х2
– 2х – 1 ≥ 0.
РЕШЕНИЕ:
Преобразуем данное неравенство к виду:
соs х ≥ х2
+ 2х + 1.
Построим в одной системе координат графики функций
у = соs х,
А(0; 1) и В(х
≈ –1,4; у ≈ 0,2).
На
промежутке [–1,4; 0] точки графика функции
у = х2
+ 2х + 1
ниже точек
графика
у = соs х.
значит,
соs х ≥ х2
+ 2х + 1
при –1,4 ≤ х ≤ 0.
ОТВЕТ:
х ∈ [–1,4; 0]
ПРИМЕР:
Решить графически неравенство:
sin х ≤ 1/3.
РЕШЕНИЕ:
Построим в одной системе координат графики функций
у = sin х,
А(–3,481; 0,333)
и В(3,4; 0,333).
На
промежутке [–3,481; 3,4] точки графика функции
у = sin х
ниже точек
графика
у = 1/3.
значит,
sin х ≤ 1/3
при –3,481 ≤ х ≤ 3,4,
или
–π – arcsin 1/3 ≤ х ≤ arcsin 1/3.
ПРИМЕР:
у = ctg x
Таким образом, одним из промежутков решения заданного
неравенства будет
2π/3 ≤ х < π.
Добавляем периодичность котангенса и записываем множество
решений неравенства.
x ∈ [2π/3 + πk; π + πk) k ∈ Z.
ПРИМЕР:
Построим в одной системе координат графики функций
Если неравенство нестрогое, то точки пересечения включаем в решение и получаем промежуток.Найдем абсциссы точек х1 и х2 (х1 < х2) – пересечения графиков отмеченных функций:Запишем ответ, учитывая период функции у = sin х.
Следовательно, решением неравенства является множество
значений
x ∈
(–5π/3 + 2πk; π/4 + 2πk) k ∈ Z.
ПРИМЕР:
Посколькуто решение неравенства существует.
Построим в декартовой системе координат графики функцийи выделим промежутки, на которых график функции у = соs х расположен выше прямойНайдем абсциссы точек х1 и х2 (х1 < х2) – пересечения графиков отмеченных функций, через арккосинус:Добавляем период косинуса 2π и записываем множество решений неравенства:
x ∈
(–π/6 +
2πk; π/6 + 2πk) k ∈ Z.
ПРИМЕР:
Решить графически неравенство:
tg x < √͞͞͞͞͞3.
РЕШЕНИЕ:
Построим в декартовой системе координат график функций
у =
tg x,
у = √͞͞͞͞͞3
и выделим промежутки, на которых график функции у
= tg х расположен ниже графика прямой
Найдем через арктангенс абсциссу точки х0 –
пересечению графиков отмеченных функций, которая является концом одного из
промежутков, на котором выполняется заданное неравенство
х0 = arctg √͞͞͞͞͞3
= π/3.
и на котором функция у = tg x не определена (разрыв II рода).
Таким образом, одним из промежутков решения заданного
неравенства есть
–π/2 < х < π/3.
Учитывая, что период тангенса ровный π записываем общее решение неравенства:
- Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения
- Урок 2. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями одного аргумента
- Урок 3. Тригонометрические уравнений с функциями разных аргументов
- Урок 4. Графический метод решения тригонометрических уравнений
- Урок 5. Системы тригонометрических уравнений
- Урок 6. Тригонометрические неравенства
Комментариев нет:
Отправить комментарий