Урок 2. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями одного аргумента

ВИДЕО УРОК

Будем рассматривать рациональные  тригонометрические уравнения относительно тригонометрических функций.

Рациональное уравнение относительно тригонометрических функций одного и того же аргумента можно записать в виде

где  R₁, R₂ – целые рациональные функции относительно  

sin x, cos x, tg x, ctg x.

Если функции  tg x  и  ctg x  заменить соответственно на

то после преобразований уравнение сводится к виду

где  R₃  и  R₄ – целые рациональные функции относительно  sin x, cos x.

Рассматривая это уравнение, приходим к выводу, что дробь может равняться нулю, если числитель

R₃(sin x, cos x) = 0, а знаменатель 

R₄(sin x, cos x) ≠ 0.

Отметим, что  R₄(sin x, cos x)  как многочлен от функций  sin x  и  cos x – величина ограничена, так как

| sin x | ≤ 1  и  | cos x | ≤ 1,

поэтому при всех значениях  х

Что касается тех корней уравнения

R₃(sin x, cos x) = 0,

при которых

R₄(sin x, cos x) = 0,

то для уравнения

они являются посторонними из-за того, что левая часть уравнения

при  этом приобретает вид

и не имеет числового смысла.

Таким образом, в общем случае рациональные тригонометрические уравнения относительно функций одного аргумента сводятся к уравнению вида

R(sin x, cos x) = 0,

где  R – многочлен относительно 

sin x  и  cos x.

Рассмотрим некоторые методы решения уравнения

R(sin x, cos x) = 0.

1. Один из методов заключается в применении так называемой универсальной тригонометрической подстановки, то есть формул, выражающих

sin x, cos x, tg x, ctg x

через  tg ^x/₂.

При применении этого метода уравнения

можно не сводить к виду

Функция  tg ^x/₂  не имеет смысла при

х = π(2n + 1)

где  n = 0; ±1; ±2; …

поэтому при решении уравнения этим методом дополнительно следует проверить, нет ли среди значений

х = π(2n + 1)

корней данного уравнения.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin x – 2cos x = 2.

РЕШЕНИЕ:

Заменив с помощью формул:

получим

После преобразования получим уравнение

tg ^x/₂ = 2.

с которого находим

x = 2 arctg 2 + 2πn,

где  n = 0; ±1; ±2; …

Допустимыми значениями неизвестного в данном уравнении были все действительные значения х. При переходе к функции  tg ^x/₂  по рассмотрению выпали значение

х = π(2n + 1),

подлежащих проверке по условию.

Подставляя

х = π(2n + 1)

в данное уравнение, убеждаемся, что эти значения являются решениями уравнения.

ОТВЕТ:

x = 2 arctg 2 + 2πn;

х = π(2n + 1),

где  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

1 – sin x = cos x (sin x + cos x).

РЕШЕНИЕ:

Выразив  sin x  и  cos x  через  tg ^x/₂, получим уравнение

которое после преобразований имеет вид:

и, поэтому,

х = 2πn  или

х = ^π/₂ + 2πn 

(n = 0; ±1; ±2; …).

Проверим, будут корнями данного уравнения значения

х = π(2n + 1).

Подставляя это значение в данное уравнение, находим

1 – sin [π(2n + 1)] = cos [π(2n + 1)]∙{(sin [π(2n + 1)] + cos [π(2n + 1)])}

или

1 – 0 = –1(0 – 1),  1 = 1,

то есть значение

х = π(2n + 1)

также являются корнями уравнения.

Таким образом корнями данного уравнения будут значения, определенные по формулам:

х = 2πn 

х = ^π/₂ + 2πn,

х = π(2n + 1),

где  n = 0; ±1; ±2; …

отметим, что первая и третья формулы могут быть заменены на одну формулу 

х = πn. 

ОТВЕТ:

х = πn,  х = ^π/₂ + 2πn,

где  n = 0; ±1; ±2; …

2. Универсальная подстановка часто приводит к уравнению высокой степени относительно  tg ^x/₂  и поэтому неудобна. Иногда проще при решении уравнения пользоваться заменами:

Напомним, что

sin (–x) = – sin x,

cos (–x) = cos x,

sin (π – x) = sin x,

cos (2π – x) = cos x.

Поэтому, если в уравнении левая часть не меняется при замене  х  на –х, или на  π – х, то это означает, что она ведет себя как  cos x  и в этом случае целесообразно заменить 

sin x  на

Напротив, если при замене  х  на  –х  левая часть уравнения меняет только знак или если при замене  х  на  π – х  она не меняется, то целесообразно в уравнении оставить функцию  sin x, то есть  cos x  заменить на

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

3 sin³ x + 3 sin x cos² x + 2 cos² x = 0.

РЕШЕНИЕ:

Левая часть этого уравнения не является функцией ни чётной, ни нечетной. Поэтому проверяем поведение левой части уравнения при замене  х  на  π – x. Убеждаемся, что при такой замене она не меняется. В этом случае целесообразно заменить  

cos² х  на  1 – sin²х. 

После замены получаем:

3 sin³ x + 3 sin x (1 – sin²х) + 2 (1 – sin²х) = 0

или

2 sin² x – 3 sin x – 2 = 0.

Решая это квадратное уравнение относительно  sin x, найдём:

sin x = 2,  sin x = –¹/₂.

Первое из уравнений решений не имеет, а из другого получаем искомый ответ:

x = (–1)^{n+1 π}/₆  + πn,

где  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

4 sin⁴ x – 2 sin² x cos x + 4 cos 2x

= 2 cos³ x – sin² 2х + 2.

РЕШЕНИЕ:

При замене  х  на  –х  обе части уравнения не изменяются. Поэтому целесообразно выполнить замену

Учитывая, что

sin 2x = 2 sin x cos x,

cos 2x = cos² x – sin² 2х,

sin² х = 1 – cos² x,

получаем

4(1 – cos² x)² – 2(1 – cos² x) cos x + 4(2 cos² x – 1)

= 2 cos x³ – 4 (1 – cos² x) cos² x + 2,

4 cos² x – 2 cos x – 2 = 0,

2(2 cos² x – cos x – 1) = 0,

2 cos² x – cos x – 1 = 0

откуда, решая последнее уравнение относительно  cos x, находим

cos x = 1,

cos x = – ¹/₂.

Из этих уравнений получаем:

x = 2πn,  х = ± ^2π/₃  + 2πn.

ОТВЕТ:

x = 2πn,  х = ± ^2π/₃  + 2πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

3. Уравнение можно решать сведением до однородного тригонометрического уравнения относительно

sin x  и  cos x.

Однородным уравнением относительно  sin x  и  cos x  называют уравнение, каждый член которого имеет ту же степень относительно  sin x  и  cos x.

ПРИМЕР:

Однородное уравнение второй степени относительно  sin x  и  cos x  имеет вид

а sin² x + b sin x cos x + с cos² x = 0.

Однородное уравнение второй степени относительно sin x и cos x имеет вид

а sin 2x + b sin x cos x + с cos 2x = 0.

Такое уравнение легко сводится к уравнению с одной неизвестной функцией делением обеих частей уравнения на  cos² x  или  sin² x. После деления на  cos² x  получаем квадратное относительно  tg х  уравнение

а tg² x + b tg x + с = 0.

При дилении на  cos² x  (или  sin² x)  необходимо показать, что  cos² x ≠ 0. Действительно, подставив  cos x = 0  в исходное уравнение, получим  а sin² x = 0, а это при  а ≠ 0  невозможно, поскольку если  cos x = 0, то  sin x = 1.

Аналогично однородное относительно  sin x  и  cos x  уравнение  n-й степени

a_n sinⁿx + a_n-1sin^n-1x cos x + …+ a₁sin x cos^n-1x + a₀cosⁿx = 0

делением на  cosⁿ x  или  sinⁿ x  можно свести до алгебраического уравнения  n-й степени относительно  tg х  или  ctg х.

Уравнения всегда можно свести до однородного уравнения относительно  sin x  и  cos x. Для этого достаточно члены четной степени перенести в одну, а нечетной степени относительно  sin x  и  cos x – в другую часть и возвести обе части уравнения в квадрат. Далее, пользуясь тем, что при любом  k

(sin² x + cos² x)^k  = 1, 

показатель  k  подбирается так, чтобы уравнение стало однородным.

ПРИМЕР:

Сведем уравнение

2 sin² x + cos x – 3 sin x + 1 = 0.

до однородного.

РЕШЕНИЕ:

Перепишем это уравнение в виде

2 sin² x + 1 = 3 sin x – cos x.

обе его части возведем в квадрат, после чего получим

4 sin⁴ x + 4 sin² x + 1 = 9 sin² x – 6 sin x cos x + cos² x.

Подобрав показатель  k  соответствующим образом, данное уравнение можно записать так:

4 sin⁴ x + 4 sin² x(sin² x + cos² x) + 1(sin² x + cos² x)

= (9 sin² x – 6 sin x cos x + cos² x)(sin² x + cos² x).

Отсюда после очевидных преобразований получаем уравнение четвертой степени

3 sin³ x cos x – 2 sin² x cos² x + 3 sin x cos³ x = 0,

однородное относительно  sin x  и  cos x.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sec x = 4 sin x + 6 cos x.

РЕШЕНИЕ:

Умножив обе части уравнения на  cos x ≠ 0, получим

1 = 4 sin x cos x +  6 cos² x

и заменим

1 = sin² x + cos² x,

тогда имеем

sin² x – 4 sin x cos x – 5 cos² x = 0.

Последнее уравнение разделим на  cos² x, после чего получим:

tg² х – 4 tg х – 5 = 0,

отсюда находим

tg х = 5,  tg х = –1.

Итак,

х = arctg 5 + πn.

х = –^π/₄  +πn,

где  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin³ x – cos³ x + 1 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Перенеся члены нечетной степени относительно  sin x  и  cos x  в одну часть, получим

cos³ x – sin³ x = 1.

Возведём обе части в квадрат и умножим  1  на

(sin² x + cos² x)³.

Уравнение примет вид

(cos³ x  – sin³ x)² = (sin² x + cos² x)³,

или

cos⁶ x  – 2 cos³ x sin³ x + sin⁶ x –

sin⁶ x – 3 cos² x sin⁴ x – 3 cos⁴ x sin² x – cos⁶ x = 0,

3 sin⁴ x cos² x + 2 sin³ x cos³ x + 3 sin² x cos⁴ x = 0,

или

3 sin² x cos² x + 2 sin³ x cos³ x = 0,

Раскладывая на множители, получаем:

sin² x cos² x (3 + 2 sin x cos x) = 0.

поскольку

3 + 2 sin x cos x ≠ 0,

то окончательно имеем

sin² x = 0  и  cos² x = 0  и,

следовательно

х = πn,

х = ^π/₂ (2n + 1).

Проверив найденные значения по условию уравнения, в ответе получим:

х = 2πk,

х = ^π/₂ (4k – 1).

где  k = 0; ±1; ±2; …

4. Рассмотрим уравнение вида

а sin x + b cos x = с.

Коэффициенты  а, b  и  с – произвольные действительные числа.

Будем решать это уравнение введением вспомогательного угла. Для этого разделим обе части уравнения на

получим

Коэффициенты при  sin x  и  cos x  будем рассматривать как значение косинуса и синуса вспомогательного аргумента φ, то есть считать

потому что

Без ограничения общности можем полагать, что  b ≥ 0, тогда  

sin φ ≥ 0  

угол можно взять в промежутке

0 < φ < π.

Определив по таблицам значение φ, данное уравнение запишем в виде

или

Если

то есть

а² + b² ≥ с²,

то решениями уравнения значения

где  n = 0; ±1; ±2; … если

то есть

а² + b² < с²,

то уравнение не имеет решений.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

√͞͞͞͞͞3 sin x + cos x = 1.

РЕШЕНИЕ:

Поделив обе части уравнения на  2, получим:

Заменим

Тогда исходное уравнение примет видо

ткуда следует

х + 30° = (–1)ⁿ ∙ 30° + 180°n,

n = 0; ±1; ±2; …

или при

n = 2k

n = 2k + 1

х = 180° ∙ 2k

х = –60° + 180°(2k + 1).

ОТВЕТ:

x = 360° k

x = 120°(3k + 1)

k = 0; ±1; ±2; …

5. Рассмотрим уравнение

sinⁿ x + cosⁿ x = 1,

где – n  натуральное число.

Если  n = 1, то уравнение приводится к виду, рассмотренному в пункте  4.

При   n = 2  имеем тождество

sin² х + cos² х = 1,

где  х – любое действительное число.

При  n ˃ 3, если

| sin x | ≠ 1,

| cos x | ≠ 1,

имеем

sinⁿ x < sin² х

cosⁿ x < cos² х

потому что показательная функция с основанием, меньше единицы, убывает. Добавляя почленно полученные неравенства, найдем, что

sinⁿ x + cosⁿ x < 1,  n ≥ 3

при всех  х, для которых

| sin x | ≠ 1,

| cos x | ≠ 1.

Таким образом, если  n – нечётное число, то возможны случаи

из которых соответственно получаем решения данного уравнения

x = 2πk

x = ^π/₂ (2k + 1)

k = 0; ±1; ±2; …

если  n – чётное число, то возможны случаи

из которых получаем решения данного уравнения

x = ^π/₂ k

k = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin³ x + cos³ x = 1.

РЕШЕНИЕ:

Из изложенного выше следует, что уравнение может иметь решение в следующих двух случаях:

Откуда находим решения:

x = 2πk

x = ^π/₂ (4k + 1)

ОТВЕТ:

x = 2πk

x = ^π/₂ (4k + 1)

k = 0; ±1; ±2; …

При  n ≥ 3  корни уравнения

sinⁿ x + cosⁿ x = 1

зависят не от численного значения величины  n, а только от того, чётное  n  или нет.

Задания к уроку 2

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения
• Урок 3. Тригонометрические уравнений с функциями разных аргументов
• Урок 4. Графический метод решения тригонометрических уравнений
• Урок 5. Системы тригонометрических уравнений
• Урок 6. Тригонометрические неравенства
• Урок 7. Графическое решение тригонометрических неравенств