Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 18 марта 2020 г.

Урок 2. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями одного аргумента

ВИДЕО УРОК


Будем рассматривать рациональные  тригонометрические уравнения относительно тригонометрических функций.
Рациональное уравнение относительно тригонометрических функций одного и того же аргумента можно записать в виде
где  R1, R2 – целые рациональные функции относительно  
sin x, cos x, tg x, ctg x.
Если функции  tg x  и  ctg x  заменить соответственно на
то после преобразований уравнение сводится к виду
где  R3  и  R4 – целые рациональные функции относительно  sin x, cos x.
Рассматривая это уравнение, приходим к выводу, что дробь может равняться нулю, если числитель

R3(sin x, cos x) = 0, а знаменатель 
R4(sin x, cos x) 0.

Отметим, что  R4(sin x, cos x)  как многочлен от функций  sin x  и  cos x – величина ограничена, так как

| sin x | ≤ 1  и  | cos x | ≤ 1,

поэтому при всех значениях  х
Что касается тех корней уравнения

R3(sin x, cos x) = 0,

при которых

R4(sin x, cos x) = 0,

то для уравнения
они являются посторонними из-за того, что левая часть уравнения
при  этом приобретает вид
и не имеет числового смысла.
Таким образом, в общем случае рациональные тригонометрические уравнения относительно функций одного аргумента сводятся к уравнению вида

R(sin x, cos x) = 0,

где  R – многочлен относительно 

sin x  и  cos x.

Рассмотрим некоторые методы решения уравнения

R(sin x, cos x) = 0.

1. Один из методов заключается в применении так называемой универсальной тригонометрической подстановки, то есть формул, выражающих

sin x, cos x, tg x, ctg x
через  tg x/2.

При применении этого метода уравнения
можно не сводить к виду
Функция  tg x/2  не имеет смысла при

х = π(2n + 1)
где  n = 0; ±1; ±2; …

поэтому при решении уравнения этим методом дополнительно следует проверить, нет ли среди значений

х = π(2n + 1)

корней данного уравнения.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin x – 2cos x = 2.

РЕШЕНИЕ:

Заменив с помощью формул:
получим
После преобразования получим уравнение

tg x/2 = 2.

с которого находим

x = 2 arctg 2 + 2πn,
где  n = 0; ±1; ±2; …

Допустимыми значениями неизвестного в данном уравнении были все действительные значения х. При переходе к функции  tg x/2  по рассмотрению выпали значение

х = π(2n + 1),

подлежащих проверке по условию.
Подставляя

х = π(2n + 1)

в данное уравнение, убеждаемся, что эти значения являются решениями уравнения.

ОТВЕТ:

x = 2 arctg 2 + 2πn;
х = π(2n + 1),
где  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

1 – sin x = cos x (sin x + cos x).

РЕШЕНИЕ:

Выразив  sin x  и  cos x  через  tg x/2, получим уравнение
которое после преобразований имеет вид:
и, поэтому,

х = 2πn  или
х = π/2 + 2πn 
(n = 0; ±1; ±2; …).

Проверим, будут корнями данного уравнения значения

х = π(2n + 1).

Подставляя это значение в данное уравнение, находим

1 – sin [π(2n + 1)] = cos [π(2n + 1)]{(sin [π(2n + 1)] + cos [π(2n + 1)])}

или

1 – 0 = –1(0 – 1),  1 = 1,

то есть значение

х = π(2n + 1)

также являются корнями уравнения.
Таким образом корнями данного уравнения будут значения, определенные по формулам:

х = 2πn 
х = π/2 + 2πn,
х = π(2n + 1),
где  n = 0; ±1; ±2; …

отметим, что первая и третья формулы могут быть заменены на одну формулу 

х = πn. 

ОТВЕТ:

х = πn,  х = π/2 + 2πn,
где  n = 0; ±1; ±2; …

2. Универсальная подстановка часто приводит к уравнению высокой степени относительно  tg x/2  и поэтому неудобна. Иногда проще при решении уравнения пользоваться заменами:
Напомним, что

sin (–x) = – sin x,
cos (–x) = cos x,
sin (πx) = sin x,
cos (2πx) = cos x.

Поэтому, если в уравнении левая часть не меняется при замене  х  на –х, или на  π – х, то это означает, что она ведет себя как  cos x  и в этом случае целесообразно заменить 

sin x  на
Напротив, если при замене  х  на  –х  левая часть уравнения меняет только знак или если при замене  х  на  π – х  она не меняется, то целесообразно в уравнении оставить функцию  sin x, то есть  cos x  заменить на
ПРИМЕР:

Решить уравнение:

3 sin3 x + 3 sin x cos2 x + 2 cos2 x = 0.

РЕШЕНИЕ:

Левая часть этого уравнения не является функцией ни чётной, ни нечетной. Поэтому проверяем поведение левой части уравнения при замене  х  на  πx. Убеждаемся, что при такой замене она не меняется. В этом случае целесообразно заменить  

cos2 х  на  1 – sin2х

После замены получаем:

3 sin3 x + 3 sin x (1 – sin2х) + 2 (1 – sin2х) = 0

или

2 sin2 x – 3 sin x – 2 = 0.

Решая это квадратное уравнение относительно  sin x, найдём:

sin x = 2sin x = –1/2.

Первое из уравнений решений не имеет, а из другого получаем искомый ответ:

x = (–1)n+1 π/+ πn,
где  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

4 sin4 x – 2 sin2 x cos x + 4 cos 2x
= 2 cos3 x – sin2 2х + 2.

РЕШЕНИЕ:

При замене  х  на  –х  обе части уравнения не изменяются. Поэтому целесообразно выполнить замену
Учитывая, что

sin 2x = 2 sin x cos x,
cos 2x = cos2 x – sin2 2х,
sin2 х = 1cos2 x,

получаем

4(1cos2 x)2 – 2(1cos2 x) cos x + 4(2 cos2 x – 1)
= 2 cos x3 – 4 (1cos2 x) cos2 x + 2,
4 cos2 x – 2 cos x – 2 = 0,
2(2 cos2 x – cos x – 1) = 0,
2 cos2 x – cos x – 1 = 0

откуда, решая последнее уравнение относительно  cos x, находим

cos x = 1,
cos x = – 1/2.

Из этих уравнений получаем:

x = 2πnх = ± 2π/+ 2πn.

ОТВЕТ:

x = 2πnх = ± 2π/+ 2πn,
де  n = 0; ±1; ±2; …

3. Уравнение можно решать сведением до однородного тригонометрического уравнения относительно

sin x  и  cos x.

Однородным уравнением относительно  sinи  cos x  называют уравнение, каждый член которого имеет ту же степень относительно  sinи  cos x.

ПРИМЕР:

Однородное уравнение второй степени относительно  sin x  и  cos x  имеет вид

а sin2 x + b sin x cos x + с cos2 x = 0.

Однородное уравнение второй степени относительно sin x и cos x имеет вид

а sin 2x + b sin x cos x + с cos 2x = 0.

Такое уравнение легко сводится к уравнению с одной неизвестной функцией делением обеих частей уравнения на  cos2 x  или  sin2 x. После деления на  cos2 x  получаем квадратное относительно  tg х  уравнение

а tg2 x + b tg x + с = 0.

При дилении на  cos2 x  (или  sin2 x)  необходимо показать, что  cos2 x ≠ 0. Действительно, подставив  cos x = 0  в исходное уравнение, получим  а sin2 x = 0, а это при  а ≠ 0  невозможно, поскольку если  cos x = 0, то  sin x = 1.
Аналогично однородное относительно  sin x  и  cos x  уравнение  n-й степени

an sinnx + an-1sinn-1x cos x + …+ a1sin x cosn-1x + a0cosnx = 0

делением на  cosn x  или  sinn x  можно свести до алгебраического уравнения  n-й степени относительно  tg х  или  ctg х.
Уравнения всегда можно свести до однородного уравнения относительно  sin x  и  cos x. Для этого достаточно члены четной степени перенести в одну, а нечетной степени относительно  sin x  и  cos x в другую часть и возвести обе части уравнения в квадрат. Далее, пользуясь тем, что при любом  k

(sin2 x + cos2 x)k  = 1

показатель  k  подбирается так, чтобы уравнение стало однородным.

ПРИМЕР:

Сведем уравнение

2 sin2 x + cos x – 3 sin x + 1 = 0.

до однородного.

РЕШЕНИЕ:

Перепишем это уравнение в виде

2 sin2 x + 1 = 3 sin x – cos x.

обе его части возведем в квадрат, после чего получим

4 sin4 x + 4 sin2 x + 1 = 9 sin2 x – 6 sin x cos x + cos2 x.

Подобрав показатель  k  соответствующим образом, данное уравнение можно записать так:

4 sin4 x + 4 sin2 x(sin2 x + cos2 x) + 1(sin2 x + cos2 x)
= (9 sin2 x – 6 sin x cos x + cos2 x)(sin2 x + cos2 x).

Отсюда после очевидных преобразований получаем уравнение четвертой степени

3 sin3 x cos x – 2 sin2 x cos2 x + 3 sin x cos3 x = 0,

однородное относительно  sin x  и  cos x.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sec x = 4 sin x + 6 cos x.

РЕШЕНИЕ:

Умножив обе части уравнения на  cos x 0, получим

1 = 4 sin x cos x +  6 cos2 x

и заменим

1 = sin2 x + cos2 x,

тогда имеем

sin2 x – 4 sin x cos x – 5 cos2 x = 0.

Последнее уравнение разделим на  cos2 x, после чего получим:

tg2 х – 4 tg х – 5 = 0,

отсюда находим

tg х = 5,  tg х = –1.

Итак,

х = arctg 5 + πn.
х = π/+πn,
где  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin3 xcos3 x + 1 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Перенеся члены нечетной степени относительно  sin x  и  cos x  в одну часть, получим

cos3 x – sin3 x = 1.

Возведём обе части в квадрат и умножим  1  на

(sin2 x + cos2 x)3.

Уравнение примет вид

(cos3 x  – sin3 x)2 = (sin2 x + cos2 x)3,

или

cos6 x  – 2 cos3 x sin3 x + sin6 x

sin6 x – 3 cos2 x sin4 x – 3 cos4 x sin2 x – cos6 x = 0,

3 sin4 x cos2 x + 2 sin3 x cos3 x + 3 sin2 x cos4 x = 0,

или

3 sin2 x cos2 x + 2 sin3 x cos3 x = 0,

Раскладывая на множители, получаем:

sin2 x cos2 x (3 + 2 sin x cos x) = 0.

поскольку

3 + 2 sin x cos x ≠ 0,

то окончательно имеем

sin2 x = 0  и  cos2 x = 0  и,

следовательно

х = πn,
х = π/2 (2n + 1).

Проверив найденные значения по условию уравнения, в ответе получим:

х = 2πk,
х = π/2 (4k – 1).
где  k = 0; ±1; ±2; …

4. Рассмотрим уравнение вида

а sin x + b cos x = с.

Коэффициенты  а, b  и  с – произвольные действительные числа.
Будем решать это уравнение введением вспомогательного угла. Для этого разделим обе части уравнения на
получим
Коэффициенты при  sin и  cos x  будем рассматривать как значение косинуса и синуса вспомогательного аргумента φ, то есть считать
потому что
Без ограничения общности можем полагать, что  b ≥ 0, тогда  

sin φ 0  

угол можно взять в промежутке

0 < φ < π.

Определив по таблицам значение φ, данное уравнение запишем в виде
или
Если
то есть

а2 + b2с2,

то решениями уравнения значения
где  n = 0; ±1; ±2; … если
то есть

а2 + b2 < с2,

то уравнение не имеет решений.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

√͞͞͞͞͞3 sin x + cos x = 1.

РЕШЕНИЕ:

Поделив обе части уравнения на  2, получим:
Заменим
Тогда исходное уравнение примет видо
ткуда следует


х + 30° = (–1)n 30° + 180°n,
n = 0; ±1; ±2; …

или при

n = 2k
n = 2k + 1
х = 180° 2k
х = –60° + 180°(2k + 1).

ОТВЕТ:

x = 360° k
x = 120°(3k + 1)
k = 0; ±1; ±2; …

5. Рассмотрим уравнение

sinn x + cosn x = 1,

где – n  натуральное число.
Если  n = 1, то уравнение приводится к виду, рассмотренному в пункте  4.
При   n = 2  имеем тождество

sinх + cosх = 1,

где  х – любое действительное число.
При  n ˃ 3, если

| sin x | ≠ 1,
| cos x | ≠ 1,

имеем

sinn x < sinх
cosn x < cosх

потому что показательная функция с основанием, меньше единицы, убывает. Добавляя почленно полученные неравенства, найдем, что

sinn x + cosn x < 1,  n ≥ 3

при всех  х, для которых

| sin x | ≠ 1,
| cos x | ≠ 1.

Таким образом, если  n – нечётное число, то возможны случаи
из которых соответственно получаем решения данного уравнения

x = 2πk
x = π/2 (2k + 1)
k = 0; ±1; ±2; …

если  n – чётное число, то возможны случаи
из которых получаем решения данного уравнения

x = π/2 k
k = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

sin3 x + cos3 x = 1.

РЕШЕНИЕ:

Из изложенного выше следует, что уравнение может иметь решение в следующих двух случаях:
Откуда находим решения:

x = 2πk
x = π/2 (4k + 1)

ОТВЕТ:

x = 2πk
x = π/2 (4k + 1)
k = 0; ±1; ±2; …

При  n 3  корни уравнения

sinn x + cosn x = 1

зависят не от численного значения величины  n, а только от того, чётное  n  или нет.

Комментариев нет:

Отправить комментарий