Урок 2. Методи розв'язування тригонометричних рівнянь з функціями одного аргументу

ВИДЕО УРОК

Розглянемо раціональні  тригонометричні рівняння відносно тригонометричних функцій.

Раціональне рівняння відносно тригонометричних функцій одного й того самого аргументу можна записати у вигляді

де  R₁, R₂ – цілі раціональні функції відносно  

sin x, cos x, tg x, ctg x.

Якщо функції  tg x  і  ctg x  замінити відповідно на

то після перетворень рівняння зводиться до вигляду

де  R₃  і  R₄ – цілі раціональні функції відносно  sin x, cos x.

Розглядаючи це рівняння, приходимо до висновку, що дріб може дорівнювати нулю, якщо чисельник

R₃(sin x, cos x) = 0, а знаменник 

R₄(sin x, cos x) ≠ 0.

Відзначимо, що  R₄(sin x, cos x)  як многочлен від функцій  sin x  і  cos x – величина обмежена, тому що

| sin x | ≤ 1  і  | cos x | ≤ 1,

через це при всіх значеннях  х

Що ж до тих коренів рівняння

R₃(sin x, cos x) = 0,

при яких

R₄(sin x, cos x) = 0,

то для рівняння

вони є сторонніми через те, що ліва частина рівняння

при цьому набуває вигляду

і не має числового смислу.

Таким чином, у загальному випадку раціональні тригонометричні рівняння відносно функцій одного аргументу зводяться до рівняння вигляду

R(sin x, cos x) = 0,

де  R – многочлен відносно 

sin x  і  cos x.

Розглянемо деякі методи розв'язання рівняння

R(sin x, cos x) = 0.

1. Один з методів полягає в застосуванні так званої універсальної тригонометричної підстановки, тобто формул, які виражають

sin x, cos x, tg x, ctg x

через  tg ^x/₂.

При застосуванні цього методу рівняння

можна не зводити до вигляду

Функція  tg ^x/₂  не має смислу при

х = π(2n + 1)

де  n = 0; ±1; ±2; …

тому при розв'язанні рівняння цим методом додатково слід перевірити, чи нема серед значень

х = π(2n + 1)

коренів даного рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin x – 2cos x = 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Замінивши за допомогою формул:

одержимо

Після перетворення одержимо рівняння

tg ^x/₂ = 2.

з якого знаходимо

x = 2 arctg 2 + 2πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

Допустимими значеннями невідомого в даному рівнянні були всі дійсні значення  х. При переході до функції  tg ^x/₂  з розгляду випали значення

х = π(2n + 1),

які слід перевірити за умовою.

Підставляючи

х = π(2n + 1)

в дане рівняння, переконуємось, що ці значення є розв’язками рівняння.

ВІДПОВІДЬ:

x = 2 arctg 2 + 2πn;

х = π(2n + 1),

де  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

1 – sin x = cos x (sin x + cos x).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виразивши  sin x  і  cos x  через  tg ^x/₂, одержимо рівняння

яке після перетворень має вигляд:

і, отже,

х = 2πn  або

х = ^π/₂ + 2πn 

(n = 0; ±1; ±2; …).

Перевіримо, чи будуть коренями даного рівняння значення

х = π(2n + 1).

Підставляючи це значення в дане рівняння, знаходимо

1 – sin [π(2n + 1)] = cos [π(2n + 1)]∙{(sin [π(2n + 1)] + cos [π(2n + 1)])}

або  

1 – 0 = –1(0 – 1),  1 = 1,

тобто значення

х = π(2n + 1)

також є коренями рівняння.

Таким чином коренями даного рівняня будуть значення, визначені за формулами:

х = 2πn 

х = ^π/₂ + 2πn,

 х = π(2n + 1),

де  n = 0; ±1; ±2; …

зазначимо, що перша і третя формули можуть бути замінені на одну формулу 

х = πn. 

ВІДПОВІДЬ:

х = πn,  х = ^π/₂ + 2πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

2. Універсальна підстановка часто приводить до рівняння високого степеня відносно  tg ^x/₂  і тому незручна. Іноді простіше при розв'язані рівняння користуватись замінами:

Нагадаємо, що

sin (–x) = – sin x,

cos (–x) = cos x,

sin (π – x) = sin x,

cos (2π – x) = cos x.

Тому, якщо в рівнянні ліва частина не змінюється при заміні  х  на  –х,  або на  π – х, то це означає, що вона поводить себе як  cos x  і в цьому випадку доцільно замінити  sin x  на

Навпаки, якщо при заміні  х  на  –х  ліва частина рівняння змінює тільки знак або якщо при заміні  х  на  π – х  вона не змінюється, то доцільно в рівнянні залишити функцію  sin x, тобто  cos x  замінити на

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

3 sin³ x + 3 sin x cos² x + 2 cos² x = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ліва частина цього рівняння не є функцією ні парною, ні непарною. Тому перевіряємо поведінку лівої частини рівняння при заміні  х  на  π – x. Переконуємося, що при такій заміні вона не змінюється. В цьому випадку доцільно замінити  cos² х  на  1 – sin²х. Після заміни одержуємо:

3 sin³ x + 3 sin x (1 – sin²х) + 2 (1 – sin²х) = 0

aбо

2 sin² x – 3 sin x – 2 = 0.

Розв'язуючи це квадратне рівняння відносно  sin x, знайдемо:

sin x = 2,  sin x = –¹/₂.

Перше з рівнянь розв'язків не має, а з другого одержуємо шукану відповідь:

x = (–1)^{n+1 π}/₆  + πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

4 sin⁴ x – 2 sin² x cos x + 4 cos 2x

= 2 cos³ x – sin² 2х + 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

При заміні  х  на  –х  обидві частини рівняння не змінюються. Тому доцільно виконати заміну

Враховуючи, що

sin 2x = 2 sin x cos x,

cos 2x = cos² x – sin² 2х,

sin² х = 1 – cos² x,

одержуємо

4(1 – cos² x)² – 2(1 – cos² x) cos x + 4(2 cos² x – 1)

= 2 cos x³ – 4 (1 – cos² x) cos² x + 2,

4 cos² x – 2 cos x – 2 = 0,

2(2 cos² x – cos x – 1) = 0,

Звідси

2 cos² x – cos x – 1 = 0

Розв'язуючи останнє рівняння відносно  cos x, знаходимо

cos x = 1,

cos x = – ¹/₂.

З цих рівнянь одержуємо:

x = 2πn,  х = ± ^2π/₃  + 2πn.

ВІДПОВІДЬ:

x = 2πn,  х = ± ^2π/₃  + 2πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

3. Рівняння можна розв’язувати зведенням до однорідного тригонометричного рівняння відносно

sin x  і  cos x.

Однорідним рівнянням відносно  sin x  і  cos x  називають рівняння, кожний член якого має той самий степінь відносно  sin x  і  cos x.

ПРИКЛАД:

Однорідне рівняння другого степеня відносно  sin x  і  cos x  має вигляд

а sin² x + b sin x cos x + с cos² x = 0.

Таке рівняння легко зводиться до рівняння з однією невідомою функцією діленням обох частин рівняння на  cos² x  або  sin² x. Після ділення на  cos² x  одержуємо квадратне відносно  tg х  рівняння

а tg² x + b tg x + с = 0.

При діленні на  cos² x  (або  sin² x)  необхідно показати, що  

cos² x ≠ 0. 

Дійсно, підставивши  cos x = 0  у вихідне рівняння, одержимо  

а sin² x = 0, 

а це при  а ≠ 0  неможливо, оскільки якщо  

cos x = 0, то  sin x ± 1.

Аналогічно однорідне відносно  sin x  і  cos x  рівняння  n-го степеня

a_n sinⁿx + a_n-1sin^n-1x cos x + …+ a₁sin x cos^n-1x + a₀cos ⁿx = 0

діленням на  cosⁿ x  або  sinⁿ x  можна звести до алгебраїчного рівняння  n-го степеня відносно  tg х  або  ctg х.

Рівняння завжди можна звести до однорідного рівняння відносно  sin x  і  cos x. Для цього досить члени парного степеня перенести в одну, а непарного степеня відносно  sin x  і  cos x – в  іншу частину і піднести обидві частини рівняння до квадрата. Далі, користуючись тим, що при будь-якому  k (sin² x + cos² x)^k  = 1, показник  k  підбирається так, щоб рівняння стало однорідним.

ПРИКЛАД:

Зведемо рівняння

2 sin² x + cos x – 3 sin x + 1 = 0.

до однорідного.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перепишемо це рівняння у вигляді

2 sin² x + 1 = 3 sin x – cos x.

обидві його частини піднесемо до квадрата, після чого одержимо

4 sin⁴ x + 4 sin² x + 1 = 9 sin² x – 6 sin x cos x + cos² x.

Підібравши показник  k  відповідним чином, дане рівняння можна записати так:

4 sin⁴ x + 4 sin² x(sin² x + cos² x) + 1(sin² x + cos² x)

= (9 sin² x – 6 sin x cos x + cos² x)(sin² x + cos² x).

Звідси після очевидних перетворень одержуємо рівняння четвертого степеня

3 sin³ x cos x – 2 sin² x cos² x + 3 sin x cos³ x = 0,

однорідне відносно  sin x  і  cos x.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sec x = 4 sin x + 6 cos x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Помноживши обидві частини рівняння на  cos x ≠ 0, одержимо

1 = 4 sin x cos x +  6 cos² x

і замінимо

1 = sin² x + cos² x,

тоді маємо

sin² x – 4 sin x cos x – 5 cos² x = 0.

Останнє рівняння поділимо на  cos² x, після чого одержуємо:

tg² х – 4 tg х – 5 = 0,

звідси знаходимо

tg х = 5,  tg х = –1.

Отже,

х = arctg 5 + πn.

х = –^π/₄  +πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin³ x – cos³ x + 1 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перенісши члени непарного степеня відносно  sin x  і  cos x  в одну частину, одержимо

cos³ x – sin³ x = 1.

Піднесемо обидві частини до квадрату і помножимо  1  на

(sin² x + cos² x)³.

Рівняння набуде вигляду

(cos³ x  – sin³ x)² = (sin² x + cos² x)³,

або

cos⁶ x  – 2 cos³ x sin³ x + sin⁶ x =

sin⁶ x + 3 cos² x sin⁴ x + 3 cos⁴ x sin² x + cos⁶ x,

3 sin⁴ x cos² x + 2 sin³ x cos³ x + 3 sin² x cos⁴ x = 0,

або

3 sin² x cos² x + 2 sin³ x cos³ x = 0,

Розкладаючи на множники, одержуємо:

sin² x cos² x (3 + 2 sin x cos x) = 0.

оскільки

3 + 2 sin x cos x ≠ 0,

то остаточно маємо

sin² x = 0  і  cos² x = 0  і,

отже

х = πn,

х = ^π/₂ (2n + 1).

Перевіривши знайдені значення за умовою рівняння, у відповіді одержимо:

х = 2πk,

х = ^π/₂ (4k – 1).

де  k = 0; ±1; ±2; …

4. Розглянемо рівняння вигляду

а sin x + b cos x = с.

Коефіцієнти  а, b  і  с – довільні дійсні числа.

Будемо розв’язувати дане рівняння введенням допоміжного кута. Для цього поділимо обидві частини рівняння на

одержимо

Коефіцієнти при  sin x  і  cos x  будемо розглядати як значення косинуса і синуса допоміжного аргументу  φ, тобто вважатимемо

тому що

Без обмеження загальності вважаємо, що  b ≥ 0, тоді  sin φ ≥ 0  і кут можна взяти в інтервалі

0 < φ < π.

Визначивши за таблицями значення  φ, дане рівняння запишемо у вигляді

або

Якщо

тобто

а² + b² ≥ с²,

то розв'язками рівняння є значення

де  n = 0; ±1; ±2; …

Якщо

тобто

а² + b² < с²,

то рівняння не має розв'язків.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

√͞͞͞͞͞3 sin x + cos x = 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Поділивши обидві частини рівняння на  2, одержимо:

Замінимо

Тоді вихідне рівняння набуде вигляду

звідки випливає

х + 30° = (–1)ⁿ ∙ 30° + 180°n,

n = 0; ±1; ±2; …

або при

n = 2k

n = 2k + 1

х = 180° ∙ 2k

х = –60° + 180°(2k + 1).

ВІДПОВІДЬ:

x = 360° k

x = 120°(3k + 1)

k = 0; ±1; ±2; …

5. Розглянемо рівняння

sinⁿ x + cosⁿ x = 1,

де –  n натуральне число.

Якщо  n = 1, то рівняння зводиться до вигляду, розглянутого в пункту  4.

При   n = 2  маємо тотожність

sin² х + cos² х = 1,

де  х – будь-яке дійсне число.

При  n ˃ 3, якщо

| sin x | ≠ 1,

| cos x | ≠ 1,

маємо

sinⁿ x < sin² х

cosⁿ x < cos² х

тому що показникова функція при основі, меншій за одиницю, спадає. Додаючи почленно одержані нерівності, знайдемо, що

sinⁿ x + cosⁿ x < 1,  n ≥ 3

при всіх  х, для яких

| sin x | ≠ 1,

| cos x | ≠ 1.

Таким чином, якщо  n – непарне число, то можливі випадки

або

з яких відповідно одержуємо розв'язки даного рівняння

x = 2πk

x = ^π/₂ (2k + 1)

k = 0; ±1; ±2; …

якщо  n – парне число, то можливі випадки

з яких одержуємо розв'язки даного рівняння

x = ^π/₂ k

k = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin³ x + cos³ x = 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З викладеного вище випливає, що рівняння може мати розв'язок у таких двох випадках:

Звідки знаходимо розв'язки

x = 2πk

x = ^π/₂ (4k + 1)

ВІДПОВІДЬ:

x = 2πk

x = ^π/₂ (4k + 1)

k = 0; ±1; ±2; …

При  n ≥ 3  коріння рівняння

sinⁿ x + cosⁿ x = 1

залежать не від чисельного значення величини  n, а тільки від того, парне  n  чи ні.

Завдання до уроку 2.

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки

• Урок 1. Найпростіші тригонометричні рівняння
• Урок 3. Тригонометричні рівняння з функціями різних аргументів
• Урок 4. Графічні методи розв'язання тригонометричних рівнянь
• Урок 5. Системи тригонометричних рівнянь
• Урок 6. Тригонометричні нерівності
• Урок 7. Графічне рішення тригонометричних нерівностей