Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 20 марта 2020 г.

Урок 2. Методи розв'язування тригонометричних рівнянь з функціями одного аргументу

ВИДЕО УРОК

Розглянемо раціональні  тригонометричні рівняння відносно тригонометричних функцій.
Раціональне рівняння відносно тригонометричних функцій одного й того самого аргументу можна записати у вигляді
де  R1, R2 – цілі раціональні функції відносно  

sin x, cos x, tg x, ctg x.

Якщо функції  tg x  і  ctg x  замінити відповідно на
то після перетворень рівняння зводиться до вигляду
де  R3  і  R4 – цілі раціональні функції відносно  sin x, cos x.
Розглядаючи це рівняння, приходимо до висновку, що дріб може дорівнювати нулю, якщо чисельник

R3(sin x, cos x) = 0, а знаменник 
R4(sin x, cos x) 0.

Відзначимо, що  R4(sin x, cos x)  як многочлен від функцій  sin x  і  cos x – величина обмежена, тому що

| sin x | ≤ 1  і  | cos x | ≤ 1,

через це при всіх значеннях  х
Що ж до тих коренів рівняння

R3(sin x, cos x) = 0,

при яких

R4(sin x, cos x) = 0,

то для рівняння
вони є сторонніми через те, що ліва частина рівняння
при цьому набуває вигляду
і не має числового смислу.
Таким чином, у загальному випадку раціональні тригонометричні рівняння відносно функцій одного аргументу зводяться до рівняння вигляду

R(sin x, cos x) = 0,

де  R – многочлен відносно 

sin x  і  cos x.

Розглянемо деякі методи розв'язання рівняння

R(sin x, cos x) = 0.

1. Один з методів полягає в застосуванні так званої універсальної тригонометричної підстановки, тобто формул, які виражають

sin x, cos x, tg x, ctg x
через  tg x/2.

При застосуванні цього методу рівняння
можна не зводити до вигляду
Функція  tg x/2  не має смислу при

х = π(2n + 1)
де  n = 0; ±1; ±2; …

тому при розв'язанні рівняння цим методом додатково слід перевірити, чи нема серед значень

х = π(2n + 1)

коренів даного рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin x – 2cos x = 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Замінивши за допомогою формул:
одержимо
Після перетворення одержимо рівняння

tg x/2 = 2.

з якого знаходимо

x = 2 arctg 2 + 2πn,
де  n = 0; ±1; ±2; …

Допустимими значеннями невідомого в даному рівнянні були всі дійсні значення  х. При переході до функції  tg x/2  з розгляду випали значення

х = π(2n + 1),

які слід перевірити за умовою.
Підставляючи

х = π(2n + 1)

в дане рівняння, переконуємось, що ці значення є розв’язками рівняння.

ВІДПОВІДЬ:

x = 2 arctg 2 + 2πn;
х = π(2n + 1),
де  n = 0; ±1; ±2;

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

1 – sin x = cos x (sin x + cos x).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виразивши  sin x  і  cos x  через  tg x/2, одержимо рівняння
яке після перетворень має вигляд:
і, отже,

х = 2πn  або
х = π/2 + 2πn 
(n = 0; ±1; ±2; …).

Перевіримо, чи будуть коренями даного рівняння значення

х = π(2n + 1).

Підставляючи це значення в дане рівняння, знаходимо

1 – sin [π(2n + 1)] = cos [π(2n + 1)]{(sin [π(2n + 1)] + cos [π(2n + 1)])}

або  

1 – 0 = –1(0 – 1),  1 = 1,

тобто значення

х = π(2n + 1)

також є коренями рівняння.
Таким чином коренями даного рівняня будуть значення, визначені за формулами:

х = 2πn 
х = π/2 + 2πn,
 х = π(2n + 1),
де  n = 0; ±1; ±2; …

зазначимо, що перша і третя формули можуть бути замінені на одну формулу 

х = πn. 

ВІДПОВІДЬ:

х = πnх = π/2 + 2πn,
де  n = 0; ±1; ±2; …

2. Універсальна підстановка часто приводить до рівняння високого степеня відносно  tg x/2  і тому незручна. Іноді простіше при розв'язані рівняння користуватись замінами:
Нагадаємо, що

sin (–x) = – sin x,
cos (–x) = cos x,
sin (πx) = sin x,
cos (2πx) = cos x.

Тому, якщо в рівнянні ліва частина не змінюється при заміні  х  на  –хабо на  π – х, то це означає, що вона поводить себе як  cos x  і в цьому випадку доцільно замінити  sin x  на
Навпаки, якщо при заміні  х  на  –х  ліва частина рівняння змінює тільки знак або якщо при заміні  х  на  π – х  вона не змінюється, то доцільно в рівнянні залишити функцію  sin x, тобто  cos x  замінити на
ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

3 sin3 x + 3 sin x cos2 x + 2 cos2 x = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ліва частина цього рівняння не є функцією ні парною, ні непарною. Тому перевіряємо поведінку лівої частини рівняння при заміні  х  на  πx. Переконуємося, що при такій заміні вона не змінюється. В цьому випадку доцільно замінити  cos2 х  на  1 – sin2х. Після заміни одержуємо:

3 sin3 x + 3 sin x (1 – sin2х) + 2 (1 – sin2х) = 0

aбо

2 sin2 x – 3 sin x – 2 = 0.

Розв'язуючи це квадратне рівняння відносно  sin x, знайдемо:

sin x = 2sin x = –1/2.

Перше з рівнянь розв'язків не має, а з другого одержуємо шукану відповідь:

x = (–1)n+1 π/+ πn,
де  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

4 sin4 x – 2 sin2 x cos x + 4 cos 2x
= 2 cos3 x – sin2 2х + 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

При заміні  х  на  –х  обидві частини рівняння не змінюються. Тому доцільно виконати заміну
Враховуючи, що

sin 2x = 2 sin x cos x,
cos 2x = cos2 x – sin2 2х,
sin2 х = 1cos2 x,

одержуємо

4(1cos2 x)2 – 2(1cos2 x) cos x + 4(2 cos2 x – 1)
= 2 cos x3 – 4 (1cos2 x) cos2 x + 2,
4 cos2 x – 2 cos x – 2 = 0,
2(2 cos2 x – cos x – 1) = 0,

Звідси

2 cos2 x – cos x – 1 = 0

Розв'язуючи останнє рівняння відносно  cos x, знаходимо

cos x = 1,
cos x = – 1/2.

З цих рівнянь одержуємо:

x = 2πnх = ± 2π/+ 2πn.

ВІДПОВІДЬ:

x = 2πnх = ± 2π/+ 2πn,
де  n = 0; ±1; ±2; …

3. Рівняння можна розв’язувати зведенням до однорідного тригонометричного рівняння відносно

sin x  і  cos x.

Однорідним рівнянням відносно  sin x  і  cos x  називають рівняння, кожний член якого має той самий степінь відносно  sin x  і  cos x.

ПРИКЛАД:

Однорідне рівняння другого степеня відносно  sin x  і  cos x  має вигляд

а sin2 x + b sin x cos x + с cos2 x = 0.

Таке рівняння легко зводиться до рівняння з однією невідомою функцією діленням обох частин рівняння на  cos2 x  або  sin2 x. Після ділення на  cos2 x  одержуємо квадратне відносно  tg х  рівняння

а tg2 x + b tg x + с = 0.

При діленні на  cos2 x  (або  sin2 x)  необхідно показати, що  

cos2 x ≠ 0

Дійсно, підставивши  cos x = 0  у вихідне рівняння, одержимо  

а sin2 x = 0

а це при  а ≠ 0  неможливо, оскільки якщо  

cos x = 0, то  sin x ± 1.

Аналогічно однорідне відносно  sin x  і  cos x  рівняння  n-го степеня

an sinnx + an-1sinn-1x cos x + …+ a1sin x cosn-1x + a0cos nx = 0

діленням на  cosn x  або  sinn x  можна звести до алгебраїчного рівняння  n-го степеня відносно  tg х  або  ctg х.
Рівняння завжди можна звести до однорідного рівняння відносно  sin x  і  cos x. Для цього досить члени парного степеня перенести в одну, а непарного степеня відносно  sin x  і  cos x – в  іншу частину і піднести обидві частини рівняння до квадрата. Далі, користуючись тим, що при будь-якому  k (sin2 x + cos2 x)k  = 1, показник  k  підбирається так, щоб рівняння стало однорідним.

ПРИКЛАД:

Зведемо рівняння

2 sin2 x + cos x – 3 sin x + 1 = 0.

до однорідного.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перепишемо це рівняння у вигляді

2 sin2 x + 1 = 3 sin x cos x.

обидві його частини піднесемо до квадрата, після чого одержимо

4 sin4 x + 4 sin2 x + 1 = 9 sin2 x – 6 sin x cos x + cos2 x.

Підібравши показник  k  відповідним чином, дане рівняння можна записати так:

4 sin4 x + 4 sin2 x(sin2 x + cos2 x) + 1(sin2 x + cos2 x)
= (9 sin2 x – 6 sin x cos x + cos2 x)(sin2 x + cos2 x).

Звідси після очевидних перетворень одержуємо рівняння четвертого степеня

3 sin3 x cos x – 2 sin2 x cos2 x + 3 sin x cos3 x = 0,

однорідне відносно  sin x  і  cos x.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sec x = 4 sin x + 6 cos x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Помноживши обидві частини рівняння на  cos x 0, одержимо

1 = 4 sin x cos x +  6 cos2 x

і замінимо

1 = sin2 x + cos2 x,

тоді маємо

sin2 x – 4 sin x cos x – 5 cos2 x = 0.

Останнє рівняння поділимо на  cos2 x, після чого одержуємо:

tg2 х – 4 tg х – 5 = 0,

звідси знаходимо

tg х = 5,  tg х = –1.

Отже,

х = arctg 5 + πn.
х = π/+πn,
де  n = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin3 x cos3 x + 1 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перенісши члени непарного степеня відносно  sin x  і  cos x  в одну частину, одержимо

cos3 xsin3 x = 1.

Піднесемо обидві частини до квадрату і помножимо  1  на

(sin2 x + cos2 x)3.

Рівняння набуде вигляду

(cos3 x  – sin3 x)2 = (sin2 x + cos2 x)3,

або

cos6 x  – 2 cos3 x sin3 x + sin6 x =
sin6 x + 3 cos2 x sin4 x + 3 cos4 x sin2 x + cos6 x,
3 sin4 x cos2 x + 2 sin3 x cos3 x + 3 sin2 x cos4 x = 0,

або

3 sin2 x cos2 x + 2 sin3 x cos3 x = 0,

Розкладаючи на множники, одержуємо:

sin2 x cos2 x (3 + 2 sin x cos x) = 0.

оскільки

3 + 2 sin x cos x ≠ 0,

то остаточно маємо

sin2 x = 0  і  cos2 x = 0  і,

отже

х = πn,
х = π/2 (2n + 1).

Перевіривши знайдені значення за умовою рівняння, у відповіді одержимо:

х = 2πk,
х = π/2 (4k 1).
де  k = 0; ±1; ±2; …

4. Розглянемо рівняння вигляду

а sin x + b cos x = с.

Коефіцієнти  а, b  і  с – довільні дійсні числа.
Будемо розв’язувати дане рівняння введенням допоміжного кута. Для цього поділимо обидві частини рівняння на
одержимо
Коефіцієнти при  sin x  і  cos x  будемо розглядати як значення косинуса і синуса допоміжного аргументу  φ, тобто вважатимемо
тому що
Без обмеження загальності вважаємо, що  b ≥ 0, тоді  sin φ ≥ 0  і кут можна взяти в інтервалі

0 < φ < π.

Визначивши за таблицями значення  φ, дане рівняння запишемо у вигляді
або
Якщо
тобто

а2 + b2с2,

то розв'язками рівняння є значення
де  n = 0; ±1; ±2; …

Якщо
тобто

а2 + b2 < с2,

то рівняння не має розв'язків.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

√͞͞͞͞͞3 sin x + cos x = 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Поділивши обидві частини рівняння на  2, одержимо:
Замінимо
Тоді вихідне рівняння набуде вигляду
звідки випливає

х + 30° = (–1)n 30° + 180°n,
n = 0; ±1; ±2;

або при

n = 2k
n = 2k + 1
х = 180° 2k
х = –60° + 180°(2k + 1).

ВІДПОВІДЬ:

x = 36 k
x = 120°(3k + 1)
k = 0; ±1; ±2;

5. Розглянемо рівняння

sinn x + cosn x = 1,

де –  n натуральне число.
Якщо  n = 1, то рівняння зводиться до вигляду, розглянутого в пункту  4.
При   n = 2  маємо тотожність

sinх + cosх = 1,

де  х – будь-яке дійсне число.
При  n ˃ 3, якщо

| sin x | ≠ 1,
| cos x | ≠ 1,

маємо

sinn x < sinх
cosn x < cosх

тому що показникова функція при основі, меншій за одиницю, спадає. Додаючи почленно одержані нерівності, знайдемо, що

sinn x + cosn x < 1,  n ≥ 3

при всіх  х, для яких

| sin x | ≠ 1,
| cos x | ≠ 1.

Таким чином, якщо  n – непарне число, то можливі випадки
або
з яких відповідно одержуємо розв'язки даного рівняння

x = 2πk
x = π/2 (2k + 1)
k = 0; ±1; ±2; …

якщо  n – парне число, то можливі випадки
з яких одержуємо розв'язки даного рівняння

x = π/2 k
k = 0; ±1; ±2; …

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

sin3 x + cos3 x = 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З викладеного вище випливає, що рівняння може мати розв'язок у таких двох випадках:
Звідки знаходимо розв'язки

x = 2πk
x = π/2 (4k + 1)

ВІДПОВІДЬ:

x = 2πk
x = π/2 (4k + 1)
k = 0; ±1; ±2; …

При  n 3  коріння рівняння

sinn x + cosn x = 1

залежать не від чисельного значення величини  n, а тільки від того, парне  n  чи ні.

Завдання до уроку 2.

Комментариев нет:

Отправить комментарий