Урок 4. Графічні методи розв'язання тригонометричних рівнянь

ВИДЕО УРОК

Рівняння, з якими доводиться стикатися при рішенні практичних завдань, значно відрізняються від рівнянь раніше за тих, що розглядаються. Для таких рівнянь іноді взагалі не можна вказати ніякого способу, який дозволяв би знайти корені абсолютно точно. У такому разі доводиться обмежуватися знаходженням лише наближених значень коренів. Сучасна математика має в розпорядженні ефективні способи наближеного рішення рівнянь. Зупинимося на одному з доступних способів – графічному способі.

Графічні методи розв’язання рівнянь, відомі з курсу алгебри, можуть бути застосовані до розв’язання тригонометричних рівнянь. Ці методи в елементарній математиці, зокрема для мішаних тригонометричних рівнянь, єдині.

Щоб графічно розв’язати рівняння

f(x) = g(x),

слід побудувати графіки функцій  

y = f(x)  і  y = g(x)  

і знайти абсциси точок перетину побудованих графіків.

ПРИКЛАД:

Розв’язати графічно рівняння:

–0,5x² – х + 2,625 = соs πx.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку треба визначитися з методом рішення рівняння. Очевидно, ніякі перетворення рівняння не дають можливості перейти до яких-небудь простіших рівнянь. В даному випадку можна спробувати вирішити рівняння графічним методом. Тут видно, що функції, що відповідають частинам рівняння, досить прості в плані побудови їх графіків. Тому побудуємо в одній системі координат графіки функцій:

у = –0,5x² – х + 2,625,

у = соs πx.

Графік квадратичної функції

у = –0,5x² – х + 2,625

це парабола. Вичислимо координати її вершини:

Гілки параболи спрямовані вниз, оскільки коефіцієнт при  х² негативний. Візьмемо ще декілька контрольних точок, симетричних відносно абсциси вершини:

Графік функції  у = соs πx  виходить через геометричні перетворення графіку функції  у = соs x. Треба лише стиснути косинусоїду уздовж осі абсцис з коефіцієнтом  π.

Виразно видно дві точки перетину графіків функцій

у = –0,5x² – х + 2,625,

у = соs πx.

Нам відома поведінка побудованих функцій. Це дозволяє стверджувати, що за межами видимої області точок перетину графіків немає. Значить, можна стверджувати, що вирішуване рівняння має два корені.

Визначимо абсциси точок перетину. По кресленню можна судити про їх наближені значення:

х₁ = –3,5,

х₂ = 1,5.

Це є наближені значення коренів вирішуваного рівняння.

Можливо, знайдені значення є точними значеннями коренів. Перевіримо це припущення, для чого виконаємо перевірку підстановкою:

Спочатку в рівняння

–0,5x² – х + 2,625 = соs πx

замість  х  підставимо

х₁ = –3,5.

(–0,5)(–3,5)² – (–3,5) + 2,625 = соs π ∙ (–3,5),

(–0,5) ∙ 12,25 + 3,5 + 2,625 = соs π ∙ (–⁷/₂),

–6,125 + 3,5 + 2,625 = соs ^7π/₂,

Знайдемо значення  соs ^7π/₂, застосовуючи наступну формулу приведення:

Ліва частина рівняння теж дорівнює нулю,

0 = 0,

значить

х₁ = –3,5 – корінь цього рівняння.

Потім в рівняння

–0,5x² – х + 2,625 = соs πx

замість  х  підставимо

х₂ = 1,5.

(–0,5)(1,5)² – 1,5 + 2,625 = соs π ∙ (1,5),

(–0,5) ∙ 2,25 – 1,5 + 2,625 = соs π ∙ (³/₂),

–1,125 – 1,5 + 2,625 = соs ^3π/₂,

Знайдемо значення  соs ^3π/₂, застосовуючи наступну формулу приведення:

Ліва частина рівняння теж дорівнює нулю,

0 = 0,

значить

х₂ = 1,5 – теж корінь цього рівняння.

Перевірка показала, що  –3,5  і  1,5 – це корені рівняння:

–0,5x² – х + 2,625 = соs πx.

Таким чином, графічний метод дозволив нам визначить точні корені рівняння.

ВІДПОВІДЬ:  –3,5, 1,5

ПРИКЛАД:

Розв’язати графічно рівняння:

sin x = 1 – x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На одному і тому ж малюнку накреслимо два графіки:

графік функції  у = sin x  

і графік функції  у = 1 – x.

Ці графіки перетинаються в одній точці. Абсциса цієї точки і дає нам єдиний корінь рівняння:

х ≈ 0,5.

Для уточнення отриманого результату корисно використати тригонометричні таблиці або комп'ютерні програми.

При  х = 0,5

sin x ≈ 0,4794,

1 – x = 0,5.

Отже,

sin x < 1 – x.

Але тоді, як легко зрозуміти з малюнка, корінь рівняння

sin x = 1 – x

буде більше, ніж  0,5.

Перевіримо значення  х = 0,6. Маємо (при  х = 0,6)

sin x ≈ 0,5446,

1 – x = 0,4.

Отже,

sin x ˃ 1 – x.

Але тоді, як легко зрозуміти з того ж малюнка, шуканий корінь  х₀  має бути менший, ніж  0,6. Тепер ми знаємо, що  х₀  знаходиться в інтервалі

[0,5; 0,6].

Тому з точністю до  0,1

х₀ ≈ 0,5  (з недоліком),

х₀ ≈ 0,6  (з лишком).

За допомогою таблиць можна знайти наближене значення  х₀  і з точністю до  0,01. Розділимо інтервал

[0,5; 0,6]  

навпіл. У середній точці  (х = 0,55)  цього інтервалу

sin x ≈ 0,5227,

1 – x = 0,45.

Знову отримуємо, що

sin x ˃ 1 – x.

Отже,

х₀ < 0,55.

Перевіримо точку  х = 0,52 (вона близька до середньої точки  х = 0,525  інтервалу  [0,50; 0,55], у яке  поміщений корінь  х₀).

При  х = 0,52

sin x ≈ 0,4969,

1 – x = 0,48.

Знову

sin x ˃ 1 – x,

тому  х₀ < 0,52. Отже

0,50 < х₀ < 0,52.

Тому з точністю до  0,01

х₀ ≈ 0,51.

ВІДПОВІДЬ:  х₀ ≈ 0,51

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

tg x – cos² x + 0,8 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перепишемо його у вигляді

tg x = cos² x – 0,8.

Розв'язками даного рівняння є абсциси точок перетину графіків цих функцій.

Зауважимо, що графіки функцій досить побудувати на проміжку

Оскільки функції  

cos² x – 0,8  і  tg x  

мають період  π. Побудувавши графік, знайдемо:

х₁ ≈ 0,17,

х =  х₁ + kπ.

Це рівняння допускає аналітичне розв'язання, яке порівняно з графічним більш трудомістке.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

2x² = cos x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Будуємо графіки функцій

у₁ = 2х²  і  у₂ = cos x.

Абсциси точок перетину графіків цих функцій будуть розв’язками даного рівняння. Згідно з малюнком знаходимо 

х₁ = –0,635,

х₂ = 0,635.

причому інших дійсних коренів це рівняння мати не може.

ВІДПОВІДЬ: 

х₁ = –0,635,

х₂ = 0,635.

ПРИКЛАД:

Розв’язати графічно рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Будуємо графіки функцій

Абсциса точки перетину графіків цих функцій буде рішеннями цього рівняння. Згідно з малюнком знаходимо  х = 0, причому інших дійсних коренів це рівняння мати не може.

ВІДПОВІДЬ:  х = 0

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

x = cos x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Будуємо графіки функцій

у₁ = х  і  у₂ = cos x.

Знаходимо шуканий корінь

х ≈ 0,74,

який є єдиним.

При графічному розв'язанні тригонометричних рівнянь ми знаходимо тільки дійсні корені. В елементарному курсі тригонометрії це не є обмеженнями, оскільки розглядаються тільки дійсні значення тригонометричних функцій.

ПРИКЛАД:

Розв’язати графічно рівняння:

sin x = x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Рішенням цього рівняння є точка перетину двох функцій

у = sin x,

у = x.

де

у = sin x – синусоїда, а  

у = х – бісектриса  1  і  3  координатних кутів.

На малюнку видно точка перетину двох функцій  х = 0, що є рішенням цього рівняння.

ВІДПОВІДЬ:  х = 0

ПРИКЛАД:

Скільки коренів має рівняння ?

sin x = log x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = sin x – синусоїда,

у = log x – зростаюча логарифмічна функція.

На малюнку отримані три точки перетину двох функцій, які і є рішенням цього рівняння.

ВІДПОВІДЬ:  число коренів  3

ПРИКЛАД:

Розв’язати графічно рівняння:

tg ^x/₂ = 2 – x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіки функцій

у = tg ^x/₂

у = 2 – x

перетинаються в нескінченному числі точок. Значить, це рівняння має нескінченну безліч коренів. Знайдемо, наприклад, найменший позитивний корінь  х₀. Цей корінь є абсцисою точки перетину графіків. Приблизно він дорівнює  1,2.

Щоб знайти цей корінь точніше, скористаємося таблицями тангенсів В. М. Брадиса. Випишемо значення функцій

у = tg ^x/₂

у = 2 – x

у околиці точки  х = 1,2.

Як видно з цієї таблиці, при переході від значення  х = 1,2  до значення  х = 1,3  різниця

tg ^x/₂ – (2 – x)

міняє свій знак на протилежний (з мінуса на плюс). Значить, в нуль ця різниця звертається десь між значеннями  1,2  і  1,3. Отже, з точністю до  0,1 

х₀ ≈ 1,2 (з недоліком) або

х₀ ≈ 1,3  (з лишком).

Використовуючи таблицю тангенсів, можна знайти і наближене значення цього кореня з точністю до  0,01. Для цього розглянемо значення  х = 1,25, що є середнім значенням чисел  1,2  і  1,3.

При  х = 1,25

tg ^x/₂ ≈ 0,7215,

2 – x = 0,7500.

Оскільки

tg ^x/₂ < 2 – х,

те  х₀ ˃ 1,25.

Отже,

1,25 < х₀ < 1,30.

Тепер випробуємо значення  х = 1,28, яке близьке до середнього значення чисел  1,25  и  1,30. При  х = 1,28

tg ^x/₂ ≈ 0,7445,

2 – x = 0,7200.

Тепер уже

tg ^x/₂ ˃ 2 – х,

означає  х₀ < 1,28.

Аналогічно, розглядаючи значення  х = 1,26, ми отримали б

tg ^x/₂ < 2 – х

і тому  х₀ ˃ 1,26.

Значить,

1,26 < х₀ < 1,28.

Тому з точністю до  0,01

х₀ ≈ 1,27.

Якби треба було визначити, яке це наближене значення (з недоліком або з лишком), то нам довелося б порівняти значення

tg ^x/₂  и  2 – х  в точці  х = 1,27.

Завдання до уроку 4.

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки

• Урок 1. Найпростіші тригонометричні рівняння
• Урок 2. Методи розв'язування тригонометричних рівнянь з функціями одного аргументу
• Урок 3. Тригонометричні рівняння з функціями різних аргументів
• Урок 5. Системи тригонометричних рівнянь
• Урок 6. Тригонометричні нерівності
• Урок 7. Графічне рішення тригонометричних нерівностей