Урок 4. Графический метод решения тригонометрических уравнений

ВИДЕО УРОК

Уравнения, с которыми приходится сталкиваться при решении практических задач, значительно отличаются от уравнений ранее рассматриваемых. Для таких уравнений иногда вообще нельзя указать никакого способа, который позволял бы найти корни абсолютно точно. В таком случае приходится ограничиваться нахождением лишь приближённых значений корней. Современная математика располагает эффективными способами приближённого решения уравнений. Остановимся на одном из доступных способов – графическом способе.

Графические методы решения уравнений, известные из курса алгебры, могут быть применены к решению тригонометрических уравнений. Эти методы в элементарной математике, в частности для смешанных тригонометрических уравнений, едины.

Чтобы  графически решить уравнение

f(x) = g(x),

необходимо построить графики функций 

y = f(x)  и  y = g(x) 

и найти абсциссы точек пересечения построенных графиков.

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

–0,5x² – х + 2,625 = соs πx.

РЕШЕНИЕ:

Сначала нужно определиться с методом решения уравнения. Очевидно, никакие преобразования уравнения не дают возможности перейти к каким-либо более простым уравнениям. В данном случае можно попробовать решить уравнение графическим методом. Здесь видно, что функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения их графиков. Поэтому построим в одной системе координат графики функций:

у = –0,5x² – х + 2,625,

у = соs πx.

График квадратичной функции

у = –0,5x² – х + 2,625

это парабола. Вычислим координаты её вершины:

Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при  х² –отрицательный. Возьмём ещё несколько контрольных точек, симметричных относительно абсциссы вершины:

График функции  у = соs πx  получается через геометрические преобразования графика функции  у = соs x. Нужно лишь сжать косинусоиду вдоль оси абсцисс с коэффициентом  π.

Отчётливо видны две точки пересечения графиков функций

у = –0,5x² – х + 2,625,

у = соs πx.

Нам известно поведение построенных функций. Это позволяет утверждать, что за пределами видимой области точек пересечения графиков нет. Значит, можно утверждать, что решаемое уравнение имеет два корня.

Определим абсциссы точек пересечения. По чертежу можно судить об их приближённых значениях:

х₁ = –3,5,

х₂ = 1,5.

Это есть приближённые значения корней решаемого уравнения.

Возможно, найденные значения являются точными значениями корней. Проверим это предположение, для чего выполним проверку подстановкой:

Сначала в уравнение

–0,5x² – х + 2,625 = соs πx

вместо  х  подставим

х₁ = –3,5.

(–0,5)(–3,5)² – (–3,5) + 2,625 = соs π ∙ (–3,5),

(–0,5) ∙ 12,25 + 3,5 + 2,625 = соs π ∙ (–⁷/₂),

–6,125 + 3,5 + 2,625 = соs ^7π/₂,

Найдём значение  соs ^7π/₂, применяя следующую формулу приведения:

Левая часть уравнения тоже равна нулю,

0 = 0,

значит

х₁ = –3,5 – корень данного уравнения.

Затем в уравнение

–0,5x² – х + 2,625 = соs πx

вместо  х  подставим

х₂ = 1,5.

(–0,5)(1,5)² – 1,5 + 2,625 = соs π ∙ (1,5),

(–0,5) ∙ 2,25 – 1,5 + 2,625 = соs π ∙ (³/₂),

–1,125 – 1,5 + 2,625 = соs ^3π/₂,

Найдём значение  соs ^3π/₂, применяя следующую формулу приведения:

Левая часть уравнения тоже равна нулю,

0 = 0,

значит

х₂ = 1,5 – тоже корень данного уравнения.

Проверка показала, что  –3,5  и  1,5 – это корни уравнения:

–0,5x² – х + 2,625 = соs πx.

Таким образом, графический метод позволил нам определит точные корни уравнения.

ОТВЕТ:  –3,5, 1,5

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

sin x = 1 – x.

РЕШЕНИЕ:

На одном и том же рисунке начертим два графика:

график функции  у = sin x  

и график функции  у = 1 – x.

Эти графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и даёт нам единственный корень уравнения:

х ≈ 0,5.

Для уточнения полученного результата полезно использовать тригонометрические таблицы или компьютерные программы.

При  х = 0,5

sin x ≈ 0,4794,

1 – x = 0,5.

Следовательно,

sin x < 1 – x.

Но тогда, как легко понять из рисунка, корень уравнения

sin x = 1 – x

будет больше, чем  0,5.

Проверим значение  х = 0,6. Имеем (при  х = 0,6)

sin x ≈ 0,5446,

1 – x = 0,4.

Следовательно,

sin x ˃ 1 – x.

Но тогда, как легко понять из того же рисунка, искомый корень  х₀  должен быть меньше, чем  0,6. Теперь мы знаем, что  х₀  находится в интервале

[0,5; 0,6].

Поэтому с точностью до  0,1

х₀ ≈ 0,5  (с недостатком),

х₀ ≈ 0,6  (с избытком).

С помощью таблиц можно найти приближённое значение  х₀  и с точностью до  0,01. Разделим интервал

[0,5; 0,6]  

пополам. В средней точке  (х = 0,55)  этого интервала

sin x ≈ 0,5227,

1 – x = 0,45.

Опять получаем, что

sin x ˃ 1 – x.

Следовательно,

х₀ < 0,55.

Проверим точку  х = 0,52 (она близка к средней точке  х = 0,525  интервала  [0,50; 0,55], в котором  заключён корень  х₀).

При  х = 0,52

sin x ≈ 0,4969,

1 – x = 0,48.

Снова

sin x ˃ 1 – x,

поэтому  х₀ < 0,52. Итак

0,50 < х₀ < 0,52.

Поэтому с точностью до  0,01

х₀ ≈ 0,51.

ОТВЕТ:  х₀ ≈ 0,51

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

tg x – cos² x + 0,8 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Перепишем его в виде

tg x = cos² x – 0,8.

Решениями данного уравнения является абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

Заметим, что графики функций достаточно построить на промежутке

поскольку функции

cos² x – 0,8  і  tg x 

имеют период π. Построив график, найдем:

х₁ ≈ 0,17,

х =  х₁ + kπ.

Это уравнение допускает аналитическое решение, которое по сравнению с графическим более трудоемко.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

2x² = cos x.

РЕШЕНИЕ:

Строим графики функций

у₁ = 2х² 

у₂ = cos x.

Абсциссы точек пересечения графиков этих функций будут решениями данного уравнения. Согласно рисунку находим  

х₁ = –0,635,

х₂ = 0,635.

причем других действительных корней данное уравнение иметь не может.

ОТВЕТ: 

х₁ = –0,635,

х₂ = 0,635.

ПРИМЕР:

Решить уравнение:

РЕШЕНИЕ:

Строим графики функций

Абсцисса точки пересечения графиков этих функций будет решениями данного уравнения. Согласно рисунку находим  х = 0, причем других действительных корней данное уравнение иметь не может.

ОТВЕТ:  х = 0

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

x = cos x.

РЕШЕНИЕ:

Строим графики функций

у₁ = х  и  

у₂ = cos x.

Находим искомый корень

х ≈ 0,739,

который будет единственным.

ОТВЕТ:  х ≈ 0,739

При графическом решении тригонометрических уравнений мы находим только действительные корни. В элементарном курсе тригонометрии это не ограничениями, поскольку рассматриваются только действительные значения тригонометрических функций.

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

sin x = x.

РЕШЕНИЕ:

Решением данного уравнения является точка пересечения двух функций

у = sin x,

у = x.

где

у = sin x – синусоида, а  

у = х – биссектриса  1  и  3  координатных углов.

На рисунке видна точка пересечения двух функций  х = 0, что является решением данного уравнения.

ОТВЕТ:  х = 0

ПРИМЕР:

Сколько корней имеет уравнение ?

sin x = log x.

РЕШЕНИЕ:

у = sin x – синусоида,

у = log x – возрастающая логарифмическая функция.

На рисунке получены три точки пересечения двух функций, которые и являются решением данного уравнения.

ОТВЕТ:  число корней  3

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

tg ^x/₂ = 2 – x.

РЕШЕНИЕ:

Графики функций

у = tg ^x/₂

у = 2 – x

пересекаются в бесконечном числе точек. Значит, данное уравнение имеет бесконечное множество корней. Найдём, например, наименьший положительный корень  х₀. Этот корень является абсциссой точки пересечения графиков. Примерно он равен  1,2.

Чтобы найти этот корень точнее, воспользуемся таблицами тангенсов В. М. Брадиса. Выпишем значения функций

у = tg ^x/₂

у = 2 – x

в окрестности точки  х = 1,2

Как видно из этой таблицы, при переходе от значения  х = 1,2  к значению  х = 1,3  разность

tg ^x/₂ – (2 – x)

меняет свой знак на противоположный (с минуса на плюс). Значит, в нуль эта разность обращается где-то между значениями  1,2  и  1,3. Следовательно, с точностью до  0,1 

х₀ ≈ 1,2 (с недостатком) или 

х₀ ≈ 1,3  (с избытком).

Используя таблицу тангенсов, можно найти и приближённое значение этого корня с точностью до  0,01. Для этого рассмотрим значение  х = 1,25, являющееся средним значением чисел  1,2  и  1,3. При  х = 1,25

tg ^x/₂ ≈ 0,7215,

2 – x = 0,7500.

Поскольку

tg ^x/₂ < 2 – х,

то  х₀ ˃ 1,25.

Итак,

1,25 < х₀ < 1,30.

Теперь испытаем значение  х = 1,28, которое близко к среднему значению чисел  1,25  и  1,30. При  х = 1,28

tg ^x/₂ ≈ 0,7445,

2 – x = 0,7200.

Теперь уже

tg ^x/₂ ˃ 2 – х,

значит  х₀ < 1,28.

Аналогично, рассматривая значение  х = 1,26, мы получили бы

tg ^x/₂ < 2 – х

и поэтому  х₀ ˃ 1,26.

Значит,

1,26 < х₀ < 1,28.

Поэтому с точностью до  0,01

х₀ ≈ 1,27.

Если бы нужно было определить, какое это приближённое значение (с недостатком или с избытком), то нам пришлось бы сравнить значения

tg ^x/₂  и  2 – х  в точке  х = 1,27.

Задания к уроку 4

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения
• Урок 2. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями одного аргумента
• Урок 3. Тригонометрические уравнений с функциями разных аргументов
• Урок 5. Системы тригонометрических уравнений
• Урок 6. Тригонометрические неравенства
• Урок 7. Графическое решение тригонометрических неравенств