Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 4 марта 2020 г.

Урок 5. Вектори в просторі

ВІДЕО УРОК

Система координат в просторі.

Виберемо початок координат. Проведемо три взаємно перпендикулярні осі

Х, Y  і  Z.

Задамо зручний масштаб.
Вийшла система координат в тривимірному просторі. Тепер кожна його точка характеризується трьома числами – координатами по  Х, Y  і  Z.

ПРИКЛАД:

Запис

М(–1; 3; 2) 

означає що координата точки  М  по  Х (абсциса) рівна  –1, координата по  Y (ордината) дорівнює  3, а координата по  Z (апліката) рівна  2.

Вектори в просторі визначаються так само як і на площині. Це спрямовані відрізки, що мають початок і кінець. Тільки у просторі вектор задається трьома координатами  x, y  і  z:
Визначення координат вектору.

Як знайти координати вектору ? Як і на площині – з координати кінця віднімаємо координату початку.
У разі просторового завдання вектор  АВ  заданий координатами точок  

А(XA; YA; ZA)  і
B(XB; YB; ZB) 

можна знайти скориставшись наступною формулою:

ПРИКЛАД:

Дано точки

F(–2; –1; 0)  і 

E(0; –1; –2).

Знайти вектори
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:

Дано точки

A1(10; 5; –4),

A2(–8; 6; 3),

A3(1; 1; –1),

A4(0; 0; 1).

Знайти вектори
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:

Нехай точка  М – середина відрізку  АВ. Її координати знаходяться по формулі:
Довжина (модуль) вектору в просторі. Довжина вектору
у просторі – ця відстань, між точками  А  і  В. Якщо вектор заданий своїми координатами:
те його довжина знаходиться по формулі:
де
– модуль вектора,

а1, a2 a3 – його координати.

Одиничним називається вектор
Нульовим називається вектор
у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.

Довжина вектору, заданого координатами, дорівнює кореню квадратному з суми квадратів його координат.

ПРИКЛАД:

Дано точки

А(2; 3; –1),

В(–5; 3; 0).

Знайти довжину (модуль) відрізка  АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За відповідною формулою, знаходимо:
ВІДПОВІДЬ:
ПРИКЛАД:

Дано точки

А(0; 2; 5),

В(–4; 7; 15).

Знайти довжину вектора
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо вектор
Обчислимо довжину вектора.
ВІДПОВІДЬ:
ПРИКЛАД:

Знайти довжину вектору:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використовуючи формулу, отримуємо:
ВІДПОВІДЬ:  √͞͞͞͞͞17

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати і довжину векторів
якщо  

А(2; –3; –1), 
В(–4; –8; 5), 
С(3; 1; –2)

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ:
Рівність векторів у просторі.

Якщо
то
Якщо
то

ПРИКЛАД:

Визначити, які з нижчеперелічених векторів рівні
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
так як їх координати рівні,
так як їх координати не рівні,
так як їх координати не рівні.

Протилежні вектори у просторі. 

Якщо маємо:
і
то
Якщо маємо:
і
то
Колінеарність векторів у просторі. 

Якщо є векторі:
і вони колінеарні, то
Якщо:
то
– колінеарні вектори.

ПРИКЛАД:

Які з векторів
колінеарні ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як вектора не містять компоненти рівні нулю, то скористаємося наступною умовою коллинеарности, яке в разі просторової задачі для векторів
набуде вигляду:
Значить:
Вектора
колінеарні так як
Вектора
не колінеарні так як
Вектора
не колінеарні так як
ПРИКЛАД:

Знайдіть значення  m  і  n, при яких вектори
колінеарні.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси:
Маємо два рівняння:
ВІДПОВІДЬ:

m = 1,  n = –10.

Компланарность векторів.

Крім поняття коллинеарности векторів, вводиться поняття компланарности векторів.

Три вектора називають компланарними, якщо зображують їх спрямовані відрізки лежать в паралельних площинах або в одній площині.

ПРИКЛАД:

На малюнку
вектори
компланарні, так як точки  О, А, В  і  С  лежать в одній площині.
Вектори
не компланарні, так як точки  А, В, D  і  О  не лежать в одній площині.

Розкладання вектору по ортам координатних осей.

Система ортів (чи базисна система векторів) – це система одиничних векторів осей координат.

Орт координатної осі  0x  позначається через
осі  0y – через
осі  0z – через
Нехай в просторі введена прямокутна система координат з одиничними векторами
координатних осей  Ох, Оу, Оz. Тоді вектор
єдиним образом представляється у вигляді
Числа

ax, ay, az 

називаються координатами вектора
щодо векторів
які називаються базисними векторами або, коротше, базисом.
Для векторур
озташованого в просторі, розкладання по ортам координатних осей має вигляд:
ПРИКЛАД:

Знаючи розкладання
по базисній системі векторів:
записати координати цього вектору в просторі.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Коефіцієнти при ортах і є координатами вектору, тому з того, що
отримуємо, що
ВІДПОВІДЬ:
ПРИКЛАД:

Вектор
заданий своїми координатами:
Записати розкладання цього вектору ортам осей координат.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати вектору – це коефіцієнти при ортах координатних осей в розкладанні вектору по базисній системі, тому шукане розкладання:
ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 5

Комментариев нет:

Отправить комментарий