Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 5. Вектори в просторі

ВІДЕО УРОК

Система координат в просторі.

Виберемо початок координат. Проведемо три взаємно перпендикулярні осі

Х, Y і Z.

Задамо зручний масштаб.

Вийшла система координат в тривимірному просторі. Тепер кожна його точка характеризується трьома числами – координатами по Х, Y і Z.

ПРИКЛАД:

Запис

М(–1; 3; 2)

означає що координата точки М по Х (абсциса) рівна –1, координата по Y (ордината) дорівнює 3, а координата по Z (апліката) рівна 2.

Вектори в просторі визначаються так само як і на площині. Це спрямовані відрізки, що мають початок і кінець. Тільки у просторі вектор задається трьома координатами x, y і z:

Визначення координат вектору.

Як знайти координати вектору ? Як і на площині – з координати кінця віднімаємо координату початку.

У разі просторового завдання вектор АВ заданий координатами точок

А(X_A; Y_A; Z_A) і

B(X_B; Y_B; Z_B)

можна знайти скориставшись наступною формулою:

ПРИКЛАД:

Дано точки

F(–2; –1; 0) і

E(0; –1; –2).

Знайти вектори
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:

Дано точки

A₁(10; 5; –4),

A₂(–8; 6; 3),

A₃(1; 1; –1),

A₄(0; 0; 1).

Знайти вектори
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:

Нехай точка М – середина відрізку АВ. Її координати знаходяться по формулі:

Довжина (модуль) вектору в просторі. Довжина вектору

у просторі – ця відстань, між точками А і В. Якщо вектор заданий своїми координатами:

те його довжина знаходиться по формулі:

де

– модуль вектора,

а₁, a₂ a₃ – його координати.

Одиничним називається вектор

Нульовим називається вектор

у якого початок і кінець збігаються. Нульовий вектор не має визначеного напрямку, а його модуль дорівнює нулю.

Довжина вектору, заданого координатами, дорівнює кореню квадратному з суми квадратів його координат.

ПРИКЛАД:

Дано точки

А(2; 3; –1),

В(–5; 3; 0).

Знайти довжину (модуль) відрізка АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За відповідною формулою, знаходимо:

ВІДПОВІДЬ:
ПРИКЛАД:

Дано точки

А(0; 2; 5),

В(–4; 7; 15).

Знайти довжину вектора
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо вектор
Обчислимо довжину вектора.
ВІДПОВІДЬ:
ПРИКЛАД:

Знайти довжину вектору:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використовуючи формулу, отримуємо:

ВІДПОВІДЬ: √͞͞͞͞͞17

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати і довжину векторів

якщо

А(2; –3; –1),
В(–4; –8; 5),
С(3; 1; –2)

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:

Рівність векторів у просторі.

Якщо

то

Якщо

то

ПРИКЛАД:

Визначити, які з нижчеперелічених векторів рівні
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
так як їх координати рівні,
так як їх координати не рівні,
так як їх координати не рівні.

Протилежні вектори у просторі.

Якщо маємо:

то

Якщо маємо:

то

Колінеарність векторів у просторі.

Якщо є векторі:

і вони колінеарні, то

Якщо:

то

– колінеарні вектори.

ПРИКЛАД:

Які з векторів
колінеарні ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як вектора не містять компоненти рівні нулю, то скористаємося наступною умовою коллинеарности, яке в разі просторової задачі для векторів
набуде вигляду:

Значить:
Вектора
колінеарні так як
Вектора
не колінеарні так як
Вектора
не колінеарні так як
ПРИКЛАД:

Знайдіть значення m і n, при яких вектори

колінеарні.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У колінеарних векторів координати пропорційні, звідси:

Маємо два рівняння:

ВІДПОВІДЬ:

m = 1, n = –10.

Компланарность векторів.

Крім поняття коллинеарности векторів, вводиться поняття компланарности векторів.

Три вектора називають компланарними, якщо зображують їх спрямовані відрізки лежать в паралельних площинах або в одній площині.

ПРИКЛАД:

На малюнку
вектори
компланарні, так як точки О, А, В і С лежать в одній площині.
Вектори
не компланарні, так як точки А, В, D і О не лежать в одній площині.

Розкладання вектору по ортам координатних осей.

Система ортів (чи базисна система векторів) – це система одиничних векторів осей координат.

Орт координатної осі 0x позначається через