Урок 1. Поняття вектора

четверг, 8 августа 2019 г.

Урок 1. Поняття вектора

ВІДЕО УРОК

Вектори – це дуже важливе поняття, яке широко використовується математиками і фізиками.

Перш за все, поняття вектора тісно пов'язане з вивченням векторних величин.

Деякі величини в математиці і фізиці, такі, як відстань, площа, обсяг, температура, робота, маса, характеризуються в процесі їх вимірювання тільки відповідним числом, при цьому така характеристика повна. Такі величини в математиці називаються скалярними. Значення скалярних величин можуть бути однозначно відзначені на координатної прямий або шкалою.

Але є і досить багато інших величин, таких, як переміщення, швидкість, прискорення, сила, напруга і інші величини, для характеристики яких числа (числового значення) мало. Необхідно знати ще й напрямок, в якому здійснюється дію цієї величини. Тому ці величини відносяться до так званим векторним величинам, які характеризуються чисельним значенням і напрямком. В математиці і фізиці такі відрізки прийнято називати спрямованими. Це призвело до появи поняття вектора. Вектори придумали для того, щоб зображати і застосовувати векторні величини.

Відрізок – частина прямої, що складається з двох точок, що належать цієї прямої і усіх точок прямої, що лежать між двома цими точками, які називаються кінцями відрізку.

ПРИКЛАД:

На малюнку зображений відрізок АВ (або ВА).

Вектор – спрямований відрізок, т. е. відрізок, у якого один з кінців вважається початком, а інший – кінцем.

На малюнку вектор зображається як відрізок із стрілкою в тій точці, яка вважається кінцем відрізку.

Початок вектора називають також точкою його додатка. Якщо точка А є початком вектора

то ми будемо говорити, що вектор

прикладений до точки А.

Вектор позначається двома заголовними латинськими буквами, із стрілкою над ними або однією рядковою латинською буквою, так само із стрілкою над нею.

ПРИКЛАД:

На малюнку зображені вектори

Процес зображення векторів часто називають відкладанням вектора від точки.

ПРИКЛАД:

Піднімний кран за деякий проміжок часу змістився вправо на відстань 40 м. Це означає, що всі його точки змістилися вправо на 40 м. На малюнку це показано двома стрілками, що виходять з вершини крана В і з точки крана А, і спільною загальної стрілкою внизу малюнка.
Таким чином, в даному прикладі фігура крана при паралельному перенесенні в напрямку променя АА₁ на відстань АА₁ перейшла в іншу фігуру крана, а точка А перейшла в точку А₁, точка В перейшла в точку В₁ і так далі.

Отже

1) промені АА₁, ВВ₁, СС₁ сонаправленні;

2) відстані АА₁, ВВ₁, СС₁ рівні.

АА₁= ВВ₁ = СС₁.

Нульовий вектор – вектор, у якого початок співпадає з кінцем.

Зображення нульового вектору на малюнку – точка. Нульовий вектор позначається символом

чи повторенням цієї точки двічі.

ПРИКЛАД:

Довжина вектора.

Довжина ненульового вектору (абсолютна величина або модуль вектору) – довжина відрізку, яким зображається цей вектор.

Число, що виражає довжину спрямованого відрізка, називають модулем вектора і позначають тією ж буквою, що і сам вектор, але без стрілки нагорі.

ПРИКЛАД:

Модулем вектора
є число b.

Для модуля векторів використовується той же знак, що і для модуля чисел і пишуть, наприклад,

ПРИКЛАД:

Запис:

читається: модуль (або довжина) вектора
дорівнює 5.

Довжина вектору

позначається

довжина вектору

позначається

Довжину нульового вектору вважають рівною нулю:

ПРИКЛАД:

На малюнку

Колінеарні вектори.

Колінеарні вектори – ненульові вектори, які розташовані або на одній прямій, або на паралельних прямих.

ПРИКЛАД:

Вектори
колінеарні векторі.

Нульовий вектор коллинеарен будь-якому вектору

ПРИКЛАД:

На малюнку
вектори
колінеарні, а на малюнку
вектори
не колінеарні.

ПРИКЛАД:

На малюнку

колінеарні вектори

а також

Не колінеарні

Вектори співнапрямів – колінеарні вектори однакового напряму. Позначаються знаком

<< ↑↑ >>.

Нульовий вектор сонаправлен із з будь-яким вектором.

Протилежно спрямовані вектори – колінеарні вектори, що мають протилежні напрями. Позначаються знаком

<< ↑↓ >>.

ПРИКЛАД:

На малюнку

Сонаправлены вектори

Протилежно спрямовані вектори

Властивості колінеарних ненульових векторів.

Рівні вектори.

Два вектора називаються рівними, якщо вони колінеарні, мають однакову довжину і однаковий напрямок.

Позначаються за допомогою знака рівно.

ПРИКЛАД:

На малюнку зліва зображено нерівні вектори
а праворуч – рівні вектори
Рівність векторів

записується так:

Цей запис означає, що:

1) промінь АВ сонаправлен променю СD;

2) довжини відрізків АВ і СD рівні.

Відкласти від даної точки вектор, рівний даному вектору, значить побудувати спрямований відрізок з початком в цій точці, що зображає даний вектор.

Оскільки через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній, то з визначення рівності векторів випливає наступне твердження.

Хоч би якими були вектор
і точка Р, існує єдиний вектор з початком у точці Р, що дорівнює вектору
Іншими словами, точка прикладання вектора

може бути обрана довільно. Ми не розрізняємо двох рівних векторів, що мають різні точки прикладання і виходять один з іншого паралельним перенесенням. Відповідно до цього вектори, що вивчаються в геометрії, називаються вільними. Робимо висновок, що:

Від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному, і до того ж тільки один.

ПРИКЛАД:

На малюнку
від точки А відкладений вектор
рівний вектору
ПРИКЛАД:

На малюнку

оскільки

Усі нульові вектори вважаються рівними. Вектор

вважається відкладеним від точки А, якщо точка А є початком цього вектору. Від будь-якої точки К можна відкласти вектор, який дорівнюватиме цьому вектору