Щоб
знайти суму двох неколінеарних векторів
– відкласти
від довільної точки О вектори
– використати ці вектори як сторони паралелограма;
– побудувати
вектор
– діагональ паралелограма,
що сполучає вершини О і С:
шуканий вектор – сума
векторів
Для будь-якого вектору
вірна рівність
Закони
складання векторів.
Переместітельний закон або коммутативность складання.
Для будь-яких векторів
Сполучний закон або асоціативність додавання.
Для будь-яких векторів
Ця рівність справедлива для будь-яких векторів
Правило
багатокутника.
З асоціативного і переместітельного законів
випливає, що, складаючи будь-яке число векторів, можна як завгодно переставляти
і групувати складові.
Для того, щоб скласти будь-яку кількість векторів,
потрібно послідовно відкладати ці вектори так, щоб кожен наступний вектор
починався від кінця попереднього. Тоді сумою усіх цих векторів буде вектор,
який починається від початку першого вектору і сполучає його з кінцем
останнього. Порядок складання значення не має.
ПРИКЛАД:
Щоб скласти кілька векторів, наприклад векторизручно побудувати
векторну ламану.Ця ламана складається з
спрямованих відрізківВекторз'єднує
початок ламаної ABCD і її кінець, і є сумоюЯкщо ламана вийшла
замкнутої, то сума векторів дорівнює нуль-вектору,тобтоДля
будь-якого векторавиконується рівністьПРИКЛАД:
На малюнку
зображена сума
Можна складати в іншому
порядку:
Результат
при цьому буде той же.
Знаходження
суми векторів за допомогою координат.
При додаванні векторів
їх відповідні координати складаються. А саме, якщотобтоПРИКЛАД:
Знайти суму векторів:РОЗВ'ЯЗАННЯ:Розкладання вектора на
складові.При вивченні та
використанні векторів часто доводиться говорити про так званому розкладанні
вектора на складові.
Складовими
даного вектора називають такі вектори, сума яких дорівнює цьому вектору.
Даний вектор
<<складається>> зі складових як сума доданків і розкладається на
них як на складові, тому говорять про розкладанні на складові.
Нехай
в площині α дано дві прямі а і b, що перетинаються в точці О. Візьмемо який-небудь векторі відкладемо його від точки О.Якщо точка V не лежить ні на прямий а, ні на прямий b, то
проведемо через точку V пряміі побудуємо паралелограм OAVB. Його діагоналлю буде відрізок OV, а його боку ОА і ОВ лежать відповідно на прямих а і b. За правилом паралелограма для додавання векторів отримаємоВекториє складовими векторапо прямім
а і b,Якщо V ∈ a, тоа складова по b нульова:Аналогічно в разі, колиМи виконали розкладання
вектора по двом пересічним прямим.Можна розкласти вектор
за двома не колінеарними векторами.
Візьмемо
два не колінеарних вектораВідкладемо їх від точки О.Нехай– вектор паралельний площині ОВС. Відкладемо його від точки О.Через точку А проведемо прямі, паралельні
векторамТодіВекториколінеарні.
Значить,і томуТаке уявлення векторачерез векториназивають розкладання
вектора на не колінеарні вектора.Різниця векторів.
Введемо операцію
різниці двох векторів. Ця операція вводиться так само як і для чисел.
Різницею
двох векторівявляється
третій векторякий в
сумі з вектором, що віднімаєтьсядає векторРізницею векторівє вектортобто вектор, що
з’єднує кінці векторіві напрямлений від
від’ємника до зменшуваного.ПРИКЛАД:Побудуємо
різницю двох векторів
Відкладемо
від якої-небудь точки О дані векториРозглянемо
векторМи
бачимо, що(правило трикутника).
Векторбуде
різницею векторівтобтоЯкщо
векторпозначити
черезРівністьможна назвати правилом
знаходження різниці двох векторів.Протилежні вектори –
вектори, що мають однакові довжини і протилежно спрямовані.
На
малюнкузображені два
протилежних один одному вектору.Записують їх так:
Вірно і зворотне
твердження: якщо сума двох векторів дорівнює нуль-вектору, то вони протилежні.
Причому, якщо скласти
протилежні вектори (за правилом трикутника), то в сумі вийде нуль-вектор, тобто
ЯкщоНуль-вектор вважається
протилежним самому собі.
Різниця векторів на
площині.
Координати різниці двох
векторів дорівнюють різниці відповідних координат вектора – зменшуваного і
вектора – від’ємника.Теорема про різницю
векторів.
Рівністьсправедливо для
будь-яких векторівПравила віднімання
векторів.ПЕРШИЙ СПОСІБ
Для того, щоб відняти з
одного вектору інший, потрібно до першого вектору додати вектор, протилежний до
другого.
ПРИКЛАД:ДРУГИЙ СПОСІБДля того, щоб відняти з
одного вектору інший, потрібно з довільної точки площини відкласти обидва
вектори, потім побудувати вектор, який починається на кінці другого вектору
(від'ємника), а закінчується на кінці першого вектору (зменшуваного).
ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:
Нехай
дані вектори
Побудувати векторРОЗВ'ЯЗАННЯ:
Побудуємо довільну точку О і відкладемо від неї векториЗ'єднавши
точку В з точкою
А, отримаємо векторЗа
правилом трикутника для побудови суми двох векторів бачимо, щотобтотодіВІДПОВІДЬ:ПРИКЛАД:
Комментариев нет:
Отправить комментарий