Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

четверг, 9 апреля 2020 г.

Урок 5. Неопределённый интеграл

ВИДЕО УРОК
Нахождение производных и нахождение неопределённых интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия. Как, например, сложение и вычитание или умножение и деление.
В чём сложность изучения неопределённых интегралов ? Если в производных имеют место строго  5  правил дифференцирования, таблица производных и довольно чёткий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приёмов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно, то интеграл нельзя решить.
В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах. Посмотрим на таблицу интегралов.

 Свойства неопределённого интеграла.
Таблица интегралов.
Метод интегрирования частями.
Как и в производных, видно несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций.
Любой табличный интеграл (и вообще любой неопределённый интеграл) имеет вид:

∫ f(x)dx = F(x)  + C,
где  C = const

Обозначения и термины.

∫ – значок интеграла.
f(x) – подынтегральная функция.
dx – значок дифференциала.
f(x)dx – подынтегральное выражение.
F(x) – первообразная функция.
F(x) + С – множество первообразных функций.

Самое важное, что в любом неопределённом интеграле к ответу приплюсовывается константа  С.

Решить неопределённый интеграл
– это значит превратить его в определённую функцию 

F(x) + С,

пользуясь некоторыми правилами, приёмами и таблицей.

Например, табличный интеграл
превратился в функцию

–cos x  + C

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае
совсем не обязательно понимать, почему интеграл
превращается именно в

–cos x  + C.

Пока  можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее:

(F(x) + С)' = F' (x) + 0 = f(x).

Другими словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.

ПРИМЕР:

Возьмём табличный интеграл:
Убедимся в справедливости данной формулы. Для этого возьмём производную от правой части.

(–cos x + C)' = –(cos x)' + (C)' = –(– sin x) + 0 = sin x.

Получилась исходная подынтегральная функция.

Теперь стало понятнее, почему к функции  F(x)  всегда приписывается константа  С. При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.

Решить неопределённый интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию.

ПРИМЕР:

При решении интеграла 

∫ sin x dx = –cos x + C.

Получается бесконечно много решений, например

–cos x + 5,
–cos x – 4/7,
–cos x + sin 2,
–cos x + е3.

Поэтому записывают коротко:

∫ sin x dx = –cos x + C.
где  С – const.

Таким образом, любой неопределённый интеграл можно легко проверить в отличии от производных.

ПРИМЕР:

Найти неопределённый интеграл.
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Найти неопределённый интеграл:
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:
Найти неопределённый интеграл:
РЕШЕНИЕ:
Анализируя интеграл, видно, что имеется произведение двух функций и возведения в степень целого выражения. Так как нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного надо попытаться преобразовать подынтегральную функцию в сумму.
ПРИМЕР:
Найти неопределённый интеграл.
РЕШЕНИЕ:
Используем формулу сокращённого умножения.
ПРИМЕР:
Найти неопределённый интеграл:
РЕШЕНИЕ:
В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда в подынтегральном выражении дробь, то сначала необходимо попытаться избавиться от этой дроби или упростить её. Сначала делим числитель на знаменатель.
ПРИМЕР:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий