Урок 5. Системи тригонометричних рівнянь

ВИДЕО УРОК

Системи тригонометричних рівнянь з двома і трьома невідомими зустрічаються в елементарному курсі тригонометрії в основному при розв'язанні трикутників. Розв'язання і дослідження систем тригонометричних рівнянь у загальному випадку становить досить складну задачу.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Зробимо заміну:

sin x = u, соs y = v.

Тоді отримаємо наступну систему:

З першого рівняння цієї системи знаходимо

v = 1,5 – u.

Підставивши вираження

1,5 – u  замість  v  в друге рівняння системи, отримаємо:

u² + (1,5 – u)² = 1,25,

2u² – 3u + 1 = 0,

u₁ = 1,  u₂ = 0,5.

Якщо

u₁ = 1, то 

v₁ = 1,5 – u₁ = 1,5 – 1 = 0,5.

Якщо

u₂ = 0,5, то 

v₁ = 1,5 – u₂ = 

1,5 – 0,5 = 1.

Отже, ми отримали дві пари рішень:

Так як

u = sin x, v = соs y,

те залишається вирішити дві системи рівнянь:

З рівняння

sin x = 1

знаходимо:

x₁ = ^π/₂ + 2πk,  k ∈ Z.

З рівняння

соs y = 0,5

знаходимо:

у₁ = ±^π/₃ + 2πn,  n ∈ Z.

Означає рішення системи

мають вигляд:

З рівняння

sin x = 0,5

знаходимо:

x₂ = (–1)^k ∙ ^π/₆ + πk,  k ∈ Z.

З рівняння

соs y = 1

знаходимо:

у₂ = 2πn,  n ∈ Z.

Означає рішення системи

мають вигляд:

ВІДПОВІДЬ:

x₁ = ^π/₂ + 2πk,  k ∈ Z,

у₁ = ±^π/₃ + 2πn,  n ∈ Z,

x₂ = (–1)^k ∙ ^π/₆ + πk,  k ∈ Z,

у₂ = 2πn,  n ∈ Z.

При рішенні систем тригонометричних рівнянь слід використати різні позначення для параметра (n, k, m) в записі рішень першого і другого рівнянь системи. Іншими словами, якщо в першому рівнянні системи при записі рішення в якості параметра використана буква  k, то для другого рівняння цю букву вже використати не можна – в розглянутому прикладі для цієї мети використовувалася буква  n.

ПРИКЛАД:

Розв'язати систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворивши за формулою

ліву частину першого рівняння в добуток, одержимо:

Або після підстановки з другого рівняння

Розглянемо можливі випадки.

1. Якщо 

а = 0  і  b = πk (k = 0; ±1; ±2; …),

то розв'язком заданої системи буде будь-яка пара чисел, що визначається за системою

де  α – будь яке дійсне число, а  k = 0; ±1; ±2; …

2. Якщо  а = 0  і  b ≠ πk, то з рівняння

знаходимо

або

розв'язання даної системи зводиться до розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

звідки знаходимо:

3. Якщо  а ≠ 0  і  b = πk, то система не має розв'язків (при k = 0; ±1; ±2; …).

4. Якщо  а ≠ 0  і  b ≠ πk (k = 0; ±1; ±2; …), то визначивши  (х – у)  з найпростішого тригонометричного рівняння

зведемо дану систему до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Якщо

то система має розв'язок

Якщо

то система розв'язків не має.

ПРИКЛАД:

Розв'язати систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Додаючи і віднімаючи почленно рівняння даної системи за допомогою формул:

одержуємо:

Розв'язавши за формулою

x = ± arccos m + 2πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

кожне із знайдених найпростіших тригонометричних рівнянь, приходимо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Якщо

| a + b | ≤ 1  і  | a – b | ≤ 1,

то

x = ± ¹/₂ [arccos (a + b) + arccos (a – b)] + π(n + k),

у = ± ¹/₂ [arccos (a – b) – arccos (a + b)] + π(n – k),

де  n = 0; ±1; ±2; … ; k = 0; ±1; ±2; … .

Якщо

| a + b | ˃ 1,

або

| a – b | ˃ 1,

то система розв'язків не має.

ПРИКЛАД:

Розв'язати систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо врахувати, що при

x + y + z = π    

tg x tg y tg z = tg x + tg y + tg z,

то система зводиться до вигляду:

Тоді   

tg z = a – b  

і два перші рівняння вихідної системи набувають вигляду:

Скориставшись формулою Вієта, знаходимо

tg x  і   tg y  як корені  t₁  і  t₂  

квадратного рівняння:

а потім з найпростіших тригонометричних рівнянь

tg x = t₁; 

tg y = t₂;  

tg z = a – b.

визначимо  x, y, z.

ПРИКЛАД:

Розв’язати  систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З першого рівняння знаходимо:

у = х – ^5π/₃.

Тоді

Друге рівняння системи набере вигляду:

sin х = sin х + √͞͞͞͞͞3 соs х.

Звідки

соs х = 0,

x = ^π/₂ + πn,  n ∈ Z.

Далі знаходимо:

у = х – ^5π/₃ = ^π/₂ + πn – ^5π/₃ = πn – ^7π/₆, n ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

 x = ^π/₂ + πn,

у = πn – ^7π/₆, n ∈ Z.

ПРИКЛАД:

Розв’язати  систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Склавши  1  і  2  рівняння системи, дістанемо:

sin х ∙ соs у + соs х ∙ sin y = 0,5 + (–0,5),

Перетворимо ліву частину рівняння за допомогою наступної формули

sin х ∙ соs у + соs х ∙ sin y =

0,5[sin(х + у) + sin(х – у)] + 0,5[sin(у + х) + sin(у – х)] =

0,5[sin(х + у) + sin(х – у) + sin(у + х) – sin(х – у)] =

0,5[2 sin(х + у)] = sin(х + у).

Отримаємо наступне рівняння:

sin(х + у) = 0.

Зробивши віднімання з першого рівняння другого, дістанемо:

sin х ∙ соs у – соs х ∙ sin y = 0,5 – (–0,5),

Перетворимо ліву частину рівняння за допомогою наступної формули

sin х ∙ соs у – соs х ∙ sin y =

0,5[sin(х + у) + sin(х – у)] – 0,5[sin(у + х) + sin(у – х)] =

0,5[sin(х + у) + sin(х – у) – sin(у + х) + sin(х – у)] =

0,5[2 sin(х _ у)] = sin(х – у).

Отримаємо наступне рівняння:

sin(х – у) = 1.

Таким чином, дістанемо систему, рівносильну початковій:

ВІДПОВІДЬ:

^π/₄ + ^πn/₂ + kπ,  n, k ∈ Z,

–^π/₄ + ^πn/₂ – kπ,  n, k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати  систему рівнянь:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область допустимих значень:

sin х ≠ 0, соs х ≠ 0.

Помножимо перше рівняння на  sin х ≠ 0, а друге – на  соs х ≠ 0. Отримали:

Враховуючи, що

отримуємо:

sin² х – 1 = sin² х – (sin² х + соs² х) =

sin² х – sin² х – соs² х = –соs ²х.

і

соs² х – 1 = соs² х – (sin² х + соs² х) =

соs² х – соs² х – sin² х = – sin² х.

Тоді система матиме наступний вигляд:

додаємо рівняння системи

соs х ∙ соs y + sin х ∙ sin y = –sin² х + (–соs² х),

Скористаємося наступною формулою, для лівої частини рівняння

В результаті виходить наступне рівняння:

соs (х – y) = –1,

звідси

у – х = π + 2πk, k ∈ Z,

у = х + π + 2πk, k ∈ Z,

Підставляючи ці значення  у  у останню отриману систему, отримаємо:

З урахуванням ОДЗ і користуючись наступною формулою:

отримуємо наступне рівняння:

соs 2х = 0,

2х = ^π/₂ + πn,

х = ^π/₄ + ^πn/₂,  n ∈ Z.

Тоді

у = ^π/₄ + ^πn/₂ + π + 2πk =

^5π/₄ + ^πn/₂ + 2πk  n, k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

х = ^π/₄ + ^πn/₂,

у = ^5π/₄ + ^πn/₂ + 2πk  n, k ∈ Z.

Завдання до уроку 5.

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки

• Урок 1. Найпростіші тригонометричні рівняння
• Урок 2. Методи розв'язування тригонометричних рівнянь з функціями одного аргументу
• Урок 3. Тригонометричні рівняння з функціями різних аргументів
• Урок 4. Графічні методи розв'язання тригонометричних рівнянь
• Урок 6. Тригонометричні нерівності
• Урок 7. Графічне рішення тригонометричних нерівностей