Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 4 апреля 2020 г.

Урок 5. Системи тригонометричних рівнянь

ВИДЕО УРОК

Системи тригонометричних рівнянь з двома і трьома невідомими зустрічаються в елементарному курсі тригонометрії в основному при розв'язанні трикутників. Розв'язання і дослідження систем тригонометричних рівнянь у загальному випадку становить досить складну задачу.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Зробимо заміну:

sin x = u, соs y = v.

Тоді отримаємо наступну систему:
З першого рівняння цієї системи знаходимо

v = 1,5 – u.

Підставивши вираження

1,5 – u  замість  в друге рівняння системи, отримаємо:

u2 + (1,5 – u)2 = 1,25,

2u2 – 3u + 1 = 0,

u1 = 1,  u2 = 0,5.

Якщо

u1 = 1, то 

v1 = 1,5 – u1 = 1,5 – 1 = 0,5.

Якщо

u2 = 0,5, то 

v1 = 1,5 – u2

1,5 – 0,5 = 1.

Отже, ми отримали дві пари рішень:
Так як

u = sin x, v = соs y,

те залишається вирішити дві системи рівнянь:
З рівняння

sin x = 1

знаходимо:

x1 = π/2 + 2πkk Z.

З рівняння

соs y = 0,5

знаходимо:

у1 = ±π/3 + 2πnn Z.

Означає рішення системи
мають вигляд:
З рівняння

sin x = 0,5

знаходимо:

x2 = (–1)k π/6 + πkk Z.

З рівняння

соs y = 1

знаходимо:

у2 = 2πnn Z.

Означає рішення системи
мають вигляд:
ВІДПОВІДЬ:

x1 = π/2 + 2πkk Z,

у1 = ±π/3 + 2πnn Z,

x2 = (–1)k π/6 + πkk Z,

у2 = 2πnn Z.

При рішенні систем тригонометричних рівнянь слід використати різні позначення для параметра (n, k, m) в записі рішень першого і другого рівнянь системи. Іншими словами, якщо в першому рівнянні системи при записі рішення в якості параметра використана буква  k, то для другого рівняння цю букву вже використати не можна – в розглянутому прикладі для цієї мети використовувалася буква  n.

ПРИКЛАД:

Розв'язати систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворивши за формулою
ліву частину першого рівняння в добуток, одержимо:
Або після підстановки з другого рівняння
Розглянемо можливі випадки.

1. Якщо 

а = 0  і  b = πk (k = 0; ±1; ±2; …),

то розв'язком заданої системи буде будь-яка пара чисел, що визначається за системою
де  α – будь яке дійсне число, а  k = 0; ±1; ±2;

2. Якщо  а = 0  і  b πk, то з рівняння
знаходимо
або
розв'язання даної системи зводиться до розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
звідки знаходимо:
3. Якщо  а і  b = πk, то система не має розв'язків (при k = 0; ±1; ±2; …).

4. Якщо  а і  b πk (k = 0; ±1; ±2; …), то визначивши  (ху)  з найпростішого тригонометричного рівняння
зведемо дану систему до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
Якщо
то система має розв'язок
Якщо
то система розв'язків не має.

ПРИКЛАД:

Розв'язати систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Додаючи і віднімаючи почленно рівняння даної системи за допомогою формул:
одержуємо:
Розв'язавши за формулою

x = ± arccos m + 2πn,
де  n = 0; ±1; ±2; …

кожне із знайдених найпростіших тригонометричних рівнянь, приходимо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
Якщо

| a + b | ≤ 1  і  | a b | ≤ 1,

то

x = ± 1/2 [arccos (a + b) + arccos (ab)] + π(n + k),
у = ± 1/2 [arccos (a b) – arccos (a + b)] + π(nk),
де  n = 0; ±1; ±2; … ; k = 0; ±1; ±2; … .

Якщо

| a + b | ˃ 1,

або

| a b | ˃ 1,

то система розв'язків не має.

ПРИКЛАД:

Розв'язати систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо врахувати, що при

x + y + z = π    
tg x tg y tg z = tg x + tg y + tg z,

то система зводиться до вигляду
:
Тоді   

tg z = ab  

і два перші рівняння вихідної системи набувають вигляду
:
Скориставшись формулою Вієта, знаходимо

tg x  і   tg y  як корені  t1  і  t2  

квадратного рівняння
:
а потім з найпростіших тригонометричних рівнянь

tg x = t1
tg y = t2;  
tg z = ab.
визначимо  x, y, z.

ПРИКЛАД:

Розв’язати  систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З першого рівняння знаходимо:

у = х – 5π/3.

Тоді
Друге рівняння системи набере вигляду:

sin х = sin х + √͞͞͞͞͞3 соs х.

Звідки

соs х = 0,

x = π/2 + πn,  n Z.

Далі знаходимо:

у = х5π/3 = π/2 + πn – 5π/3 = πn – 7π/6, n Z.

ВІДПОВІДЬ:

 x = π/2 + πn,

у = πn – 7π/6, n Z.

ПРИКЛАД:

Розв’язати  систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Склавши  1  і  2  рівняння системи, дістанемо:

sin х соs у + соs х sin y = 0,5 + (–0,5),

Перетворимо ліву частину рівняння за допомогою наступної формули
sin х соs у + соs х sin y =

0,5[sin(х + у) + sin(ху)] + 0,5[sin(у + х) + sin(ух)] =

0,5[sin(х + у) + sin(ху) + sin(у + х) – sin(ху)] =

0,5[2 sin(х + у)] = sin(х + у).

Отримаємо наступне рівняння:

sin(х + у) = 0.

Зробивши віднімання з першого рівняння другого, дістанемо:

sin х соs у – соs х sin y = 0,5 – (–0,5),

Перетворимо ліву частину рівняння за допомогою наступної формули
sin х соs у – соs х sin y =

0,5[sin(х + у) + sin(ху)] – 0,5[sin(у + х) + sin(ух)] =

0,5[sin(х + у) + sin(ху) – sin(у + х) + sin(ху)] =

0,5[2 sin(х _ у)] = sin(ху).

Отримаємо наступне рівняння:

sin(ху) = 1.

Таким чином, дістанемо систему, рівносильну початковій:
ВІДПОВІДЬ:

π/4 + πn/2 + kπ,  n, k Z,

π/4 + πn/2kπ,  n, k Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати  систему рівнянь:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область допустимих значень:

sin х ≠ 0, соs х 0.

Помножимо перше рівняння на  sin х ≠ 0, а друге – на  соs х 0. Отримали:
Враховуючи, що
отримуємо:

sinх – 1 = sinх – (sinх + соsх) =

sin2 х sin2 х соs2 х = –соs 2х.

і

соs2 х – 1 = соs2 х – (sin2 х + соs2 х) =

соs2 х соs2 х sin2 х = – sin2 х.

Тоді система матиме наступний вигляд:
додаємо рівняння системи

соs х соs y + sin х sin y = –sin2 х + (–соs2 х),

Скористаємося наступною формулою, для лівої частини рівняння
В результаті виходить наступне рівняння:

соs (х y) = –1,

звідси

у – х = π + 2πk, k Z,

у = х + π + 2πk, k Z,

Підставляючи ці значення  у  у останню отриману систему, отримаємо:
З урахуванням ОДЗ і користуючись наступною формулою:
отримуємо наступне рівняння:

соs 2х = 0,

2х = π/2 + πn,

х = π/4 + πn/2,  n Z.

Тоді

у = π/4 + πn/2 + π + 2πk =

5π/4 + πn/2 + 2πk  n, k Z.

ВІДПОВІДЬ:

х = π/4 + πn/2,

у = 5π/4 + πn/2 + 2πk  n, k Z.

Комментариев нет:

Отправить комментарий