Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

пятница, 10 апреля 2020 г.

Урок 5. Невизначений інтеграл

ВИДЕО УРОК

Знаходження похідних і знаходження невизначених інтегралів (диференціювання і інтеграція) – це два взаємно зворотних дії. Як, наприклад, складання і віднімання або множення і ділення.
У чому складність вивчення невизначених інтегралів ? Якщо в похідних мають місце строго  5  правил диференціювання, таблиця похідних і досить чіткий алгоритм дій, то в інтегралах все інакше. Існують десятки способів і прийомів інтеграції. І, якщо спосіб інтеграції спочатку підібраний невірно, то інтеграл не можна вирішити.
В першу чергу слід добре розібратися в простих інтегралах. Подивимося на таблицю інтегралів.

 Властивості невизначеного інтеграла.
Таблиця інтегралів.
Метод інтеграції частинами.
Як і в похідних, видно декілька правил інтеграції і таблиця інтегралів від деяких елементарних функцій.
Будь-який табличний інтеграл (і взагалі будь-який невизначений інтеграл) має вигляд:

 ∫ f(x)dx = F(x)  + C,
де  C = const

 Позначення і терміни.

 ∫ – значок інтеграла.
f(x) – підінтегральна функція.
dx – значок диференціала.
f(x)dx – підінтегральний вираз.
F(x) – первісна функція.
F(x) + С – безліч первісних функцій.

 Найважливіше, що у будь-якому невизначеному інтегралі до відповіді приплюсовується константа  С.
Вирішити невизначений інтеграл
– це означає перетворити його на певну функцію 

 F(x) + С,

користуючись деякими правилами, прийомами і таблицею.
Наприклад, табличний інтеграл
перетворився на функцію

 –cos x  + C

Як і у випадку з похідними, для того, щоб навчитися знаходити інтеграли, не обов'язково бути в курсі, що таке інтеграл, первісна функція з теоретичної точки зору. Досить просто здійснювати перетворення за деякими формальними правилами. Так, у випадку
зовсім не обов'язково розуміти, чому інтеграл
перетворюється саме на

 –cos x  + C.

 Поки  можна прийняти цю і інші формули як даність. Усі користуються електрикою, але мало хто замислюється, як там по дротах бігають електрони.

 Оскільки диференціювання і інтеграція – протилежні операції, то для будь-якої первісної, яка знайдена правильно, справедливо наступне:

 (F(x) + С)' = F' (x) + 0 = f(x).

 Іншими словами, якщо продиференціювати правильну відповідь, то обов'язково повинна вийти початкова підінтегральна функція.

 ПРИКЛАД:

 Візьмемо табличний інтеграл:
Переконаємося в справедливості цієї формули. Для цього візьмемо похідну від правої частини.

 (–cos x + C)' = –(cos x)' + (C)' = –(– sin x) + 0 = sin x.

 Вийшла початкова підінтегральна функція.

 Тепер стало зрозуміліше, чому до функції  F(x)  завжди приписується константа  С. При диференціюванні константа завжди перетворюється на нуль.

 Вирішити невизначений інтеграл - це означає знайти безліч усіх первісних, а не якусь одну функцію.

 ПРИКЛАД:

 При рішенні інтеграла

 ∫ sin x dx = –cos x + C.

 Виходить нескінченно багато рішень, наприклад

 –cos x + 5,
–cos x – 4/7,
–cos x + sin 2,
–cos x + е3.
Тому записують коротко:

 ∫ sin x dx = –cos x + C.
де  С – const.

 Таким чином, будь-який невизначений інтеграл можна легко перевірити у відмінності від похідних.

 ПРИКЛАД:

 Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:

Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:
Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Аналізуючи інтеграл, видно, що є твір двох функцій і піднесення до степеня цілого вираження. Оскільки немає хороших і зручних формул для інтеграції твору і частки потрібно спробувати перетворити підінтегральну функцію в суму.
ПРИКЛАД:
Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використовуємо формулу скороченого множення.

ПРИКЛАД:
Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ: 

У цьому прикладі підінтегральна функція є дробом. Коли в підінтегральному виразі дріб, то спочатку необхідно спробувати позбавитися від цього дробу або спростити її. Спочатку ділимо чисельник на знаменник.
ПРИКЛАД:
Знайти невизначений інтеграл:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий