Урок 5. Системы тригонометрических уравнений

ВИДЕО УРОК

Системы тригонометрических уравнений с двумя и тремя неизвестными встречаются в элементарном курсе тригонометрии в основном при решении треугольников. Решение и исследование систем тригонометрических уравнений в общем случае составляет довольно сложную задачу.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Сделаем замену:

sin x = u, соs y = v.

Тогда получим следующую систему:

Из первого уравнения этой системы находим

v = 1,5 – u.

Подставив выражение

1,5 – u  вместо  v  во второе уравнение системы, получим:

u² + (1,5 – u)² = 1,25,

2u² – 3u + 1 = 0,

u₁ = 1,  u₂ = 0,5.

Если

u₁ = 1, то 

v₁ = 1,5 – u₁ = 1,5 – 1 = 0,5.

Если

u₂ = 0,5, то 

v₂ = 1,5 – u₂ = 1,5 – 0,5 = 1.

Итак, мы получили две пары решений:

Так как

u = sin x, v = соs y,

то остаётся решить две системы уравнений:

Из уравнения

sin x = 1

находим:

x₁ = ^π/₂ + 2πk,  k ∈ Z.

Из уравнения

соs y = 0,5

находим:

у₁ = ±^π/₃ + 2πn,  n ∈ Z.

Значит решения системы

имеют вид:

Из уравнения

sin x = 0,5

находим:

x₂ = (–1)^k ∙ ^π/₆ + πk,  k ∈ Z.

Из уравнения

соs y = 1

находим:

у₂ = 2πn,  n ∈ Z.

Значит решения системы

имеют вид:

ОТВЕТ:

x₁ = ^π/₂ + 2πk,  k ∈ Z,

у₁ = ±^π/₃ + 2πn,  n ∈ Z,

x₂ = (–1)^k ∙ ^π/₆ + πk,  k ∈ Z,

у₂ = 2πn,  n ∈ Z.

При решении систем тригонометрических уравнений следует использовать различные обозначения для параметра (n, k, m, …) в записи решений первого и второго уравнений системы. Другими словами, если в первом уравнении системы при записи решения в качестве параметра использована буква  k, то для второго уравнения эту букву уже использовать нельзя. В рассмотренном примере для этой цели использовалась буква  n.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Превратив по формуле

левую часть первого уравнения в произведение, получим:

или после подстановки из второго уравнения

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если 

а = 0  і  b = πk (k = 0; ±1; ±2; …),

то решением заданной системы будет любая пара чисел, определяется по системе

где  α – любое действительное число, а  k = 0; ±1; ±2; …

2. Если  а = 0  и  b ≠ πk, то из уравнения

находим

или

решения данной системы сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений

откуда находим:

3. Если  а ≠ 0  и  b = πk, то система не имеет решений (при k = 0; ±1; ±2; …).

4. Если  а ≠ 0  и  b ≠ πk (k = 0; ±1; ±2; …), то определив (х – у)  с самого простого тригонометрического уравнения

сведем эту систему к системе линейных алгебраических уравнений:

Если

то система имеет решения

Если

то система решений не имеет.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Добавляя и вычитая почленно уравнения данной системы с помощью формул:

получим:

Решив по формуле

x = ± arccos m + 2πn,

где  n = 0; ±1; ±2; …

каждое из найденных простейших тригонометрических уравнений, приходим к системе линейных алгебраических уравнений:

Если

| a + b | ≤ 1  и  | a – b | ≤ 1,

то

x = ± ¹/₂ [arccos (a + b) + arccos (a – b)] + π(n + k),

у = ± ¹/₂ [arccos (a – b) – arccos (a + b)] + π(n – k),

где  n = 0; ±1; ±2; … ; k = 02; ±1; ±; … .

Если

| a + b | ˃ 1,

или

| a – b | ˃ 1,

то система решений не имеет.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

Если

| a + b | ≤ 1  и  | a – b | ≤ 1,

то

x = ± ¹/₂ [arccos (a + b) + arccos (a – b)] + π(n + k),

у = ± ¹/₂ [arccos (a – b) – arccos (a + b)] + π(n – k),

где  n = 0; ±1; ±2; … ; k = 0; ±1; ±2; … .

Если

| a + b | ˃ 1,

или

| a – b | ˃ 1,

то система решений не имеет.

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Если учесть, что при

x + y + z = π    

tg x tg y tg z = tg x + tg y + tg z,

то система сводится к виду:

Тогда   

tg z = a – b  

и два первых уравнения исходной системы приобретают вид:

Воспользовавшись формулой Виета, находим

tg x  и   tg y  как корни  t₁  и  t₂  

квадратного уравнения:

а потом с простейших тригонометрических уравнений

tg x = t₁; 

tg y = t₂; 

tg z = a – b.

найдём  x, y, z.

ПРИМЕР:

Решить  систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Из первого уравнения находим:

у = х – ^5π/₃.

Тогда

Второе уравнение системы приобретает следующий вид:

sin х = sin х + √͞͞͞͞͞3 соs х.

Откуда

соs х = 0,

x = ^π/₂ + πn,  n ∈ Z.

Дальше находим:

у = х – ^5π/₃ = ^π/₂ + πn – ^5π/₃ = πn – ^7π/₆, n ∈ Z.

ОТВЕТ:

 x = ^π/₂ + πn,

у = πn – ^7π/₆, n ∈ Z.

ПРИМЕР:

Решить  систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Сложив  1  и  2  уравнение системы, получим:

sin х ∙ соs у + соs х ∙ sin y =

= 0,5 + (–0,5),

Преобразуем левую часть уравнения с помощью следующей формулы:

sin х ∙ соs у + соs х ∙ sin y =

0,5[sin(х + у) + sin(х – у)] + 0,5[sin(у + х) + sin(у – х)] =

0,5[sin(х + у) + sin(х – у) + sin(у + х) – sin(х – у)] =

0,5[2 sin(х + у)] = sin(х + у).

Получим следующее уравнение:

sin(х + у) = 0.

Вычтем из первого уравнения второе, получим:

sin х ∙ соs у – соs х ∙ sin y =

= 0,5 – (–0,5),

Преобразуем левую часть уравнения с помощью следующей формулы:

sin х ∙ соs у – соs х ∙ sin y =

0,5[sin(х + у) + sin(х – у)] – 0,5[sin(у + х) + sin(у – х)] =

0,5[sin(х + у) + sin(х – у) – sin(у + х) + sin(х – у)] =

0,5[2 sin(х – у)] = sin(х – у).

Получим следующее уравнение:

sin(х – у) = 1.

Таким образом, получим систему, равносильную начальной:

ОТВЕТ:

^π/₄ + ^πn/₂ + kπ,  n, k ∈ Z,

–^π/₄ + ^πn/₂ – kπ,  n, k ∈ Z

ПРИМЕР:

Решить  систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Область допустимых значений:

sin х ≠ 0, соs х ≠ 0.

Умножим первое уравнение на  sin х ≠ 0, а второе – на  соs х ≠ 0. Получим:

Учитывая, что

получаем:

sin² х – 1 = sin² х – (sin² х + соs² х) =

sin² х – sin² х – соs² х = –соs² х.

и

соs² х – 1 = соs² х – (sin² х + соs² х) =

соs² х – соs² х – sin² х = – sin² х.

Тогда система будет иметь следующий вид:

Складываем уравнения системы

соs х ∙ соs y + sin х ∙ sin y = –sin² х + (–соs² х),

Воспользуемся следующей формулой, для левой части уравнения:

В результате получается следующее уравнение:

соs(х – y) = –1,

откуда

у – х = π + 2πk, k ∈ Z,

у = х + π + 2πk, k ∈ Z.

Подставляя значения  у  в последнюю полученную систему, получаем:

С учётом ОДЗ и пользуясь следующей формулой:

получаем следующее уравнение:

соs 2х = 0,

2х = ^π/₂ + πn,

х = ^π/₄ + ^πn/₂,  n ∈ Z.

Тогда

у = ^π/₄ + ^πn/₂ + π + 2πk =

^5π/₄ + ^πn/₂ + 2πk  n, k ∈ Z.

ОТВЕТ:

х = ^π/₄ + ^πn/₂,

у = ^5π/₄ + ^πn/₂ + 2πk  n, k ∈ Z.

Задания к уроку 5

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения
• Урок 2. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями одного аргумента
• Урок 3. Тригонометрические уравнений с функциями разных аргументов
• Урок 4. Графический метод решения тригонометрических уравнений
• Урок 6. Тригонометрические неравенства
• Урок 7. Графическое решение тригонометрических неравенств