Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 14 апреля 2020 г.

Урок 6. Тригонометрические неравенства

ВИДЕО УРОК


Неравенство, к которому неизвестное входит только под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

В тригонометрических неравенствах аргументы тригонометрических функций рассматриваются не как углы или дуги, а как действительные числа. Подобные задачи бывают двух типов:

а)  решить тригонометрическое неравенство,

б)  доказать тригонометрическое неравенство.

Решение тригонометрических неравенств.

Основная часть тригонометрических неравенств решается сведением их к решению простейших 

(sin x > а, sin x < а, cos x > а, cos x < а, tg x >и так далее).

Это может быть метод разложения на множители, замена переменного (u = sin x, t = cos x  и так далее), где сначала решается обычное неравенство, а затем неравенство вида 

t1 sin x t2,

или другие способы.

Пусть  f(x) – одна из основных тригонометрических функций. Для решения неравенства  f(x) > a  достаточно найти его решение на одном периоде, то есть на любом отрезке, длина которого равна периоду функции  f(x). Тогда решением исходного неравенства будут все найденные  х, а так же те значения, которые отличаются от найденных на любое целое число периодов функции.

Самые простые тригонометрические неравенства.

К ним принадлежат неравенства вида

sin x m,
cos x m,
tg x m,
ctg x m.

1. Неравенство  sin x ˃ m.
Если  m < –1, то решением неравенства служит любое действительное число.
Если  –1 < m < +1, то решениями неравенства являются

2πk + arcsin m < x < π (2k + 1) – arcsin m,
где  k = 0; ±1; ±2; …

На рисунку
штриховкой обозначены значения  х, что удовлетворяют неравенство

sin x ˃ m  при  –1 ≤ m < +1.

Если  m ≥ –1, то неравенство решений не имеет.

2. Нерівність  sin x < m.
Если  m ≤ –1, то неравенство решений не имеет.
Если  –1 < m < +1, то решениями неравенства являются
π (2k + 1) – arcsin m < x < arcsin m + 2π (k + 1),
где  k = 0; ±1; ±2; …
на рисунку
значения  х, удовлетворяющие неравенству

sin x < m,

не заштрихованы.
Если  m ˃ +1, то неравенство справедливо при всех действительных значениях  х.

3. Неравенство  cos x ˃ m.
Если  m < –1, то решением неравенства служит любое действительное число.
Если  –1 ≤ m < +1, то решения неравенства лежат в промежутках

–arccos m + 2πk < x < 2πk + arccos m,
где  k = 0; ±1; ±2; …

Если  m ≤ –1, то неравенство решений не имеет.

4. Неравенство  cos x < m.
Если  m –1, то неравенство решений не имеет.
Если  –1 < m +1, то решениями неравенства являются значения  х  из промежутков

arccos m + 2πk < x < 2π (k + 1) – arcsin m,
где  k = 0; ±1; ±2; …

Если  m ˃ +1, то решением неравенства служит любое действительное число.

5. Неравенство  tg x ˃ m  имеет решением значения  х  из промежутков

arctg m + πk < x < π/2 (2k + 1),
где  k = 0; ±1; ±2; …

6. Неравенство  tg x < m  имеет решением значения  х  из промежутков

π/2 (2k – 1) < x < arctg m + πk,
где  k = 0; ±1; ±2; …

7. Неравенство  сtg x ˃ m  имеет решением значения  х  из промежутков

πk < x < arcсtg m + πk < x < π (k + 1),
где  k = 0; ±1; ±2; …

8. Неравенство  сtg x < m  имеет решением значения  х  из промежутков

arcсtg m + πk < x < π (k + 1),
где  k = 0; ±1; ±2; …

Решение тригонометрических неравенств.

Будем рассматривать неравенства вида

f (sin x, cos x, tg x, ctg x) m.

Если функция

f (sin x, cos x, tg x, ctg x)

периодична, то достаточно найти решения на отрезке числовой оси, равном по длине наименьшему периоду функции  f, а затем, пользуясь периодичностью функции, записать решения неравенства на всей числовой оси.
Рассмотрим несколько простых тригонометрических неравенств.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

cos2 x – 3 cos x < 0.

РЕШЕНИЕ:

Разложим левую часть неравенства на множители

cos x (cos x – 3) < 0.

Учитывая, что

cos x – 3 < 0

при всех значениях  х, получим

 cos x > 0, откуда
π/2 + 2πk < x < π/2 + 2πk,
где  k = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство эквивалентно неравенствам

–1 < tg х/2 < 1

или

π/4 + πk < х/2 < π/4 + πk,

Откуда

π/2 + 2πk < x < π/2 + 2πk,
где  k = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Избавляясь от знака абсолютной величины, имеем

sin x ˃ + 1/2  или
sin x < – 1/2.

Из первого полученного неравенства находим

π/6 + 2πk < x < π(2k + 1) – π/6,

а из второго

π/6 + π(2k + 1) < x < 2π(k + 1) – π/6.

Решения этих двух неравенств можно объединить в окончательный ответ записать в виде

π/6 + π/k < x < 2π(k + 1) – π/6.
где  k = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

sin2 x + 2 sin x соs x – 3 соs2 x < 0.

РЕШЕНИЕ:

Разделив обе части данного неравенства на

соs2 x ≠ 0  (при
соs2 x = 0

неравенство приобретает вид

sin2 x < 0,

что невозможно), получим

tg2 x + 2 tg x – 3 < 0, или
(tg x + 3) (tg x – 1) < 0.

Отсюда находим

–3 < tg x < +1 

и, следовательно,

–arctg 3 + πk < x < π/4 + πk.

ОТВЕТ:

–arctg 3 + πk < x < π/4 + πk.
где  k = 0; ±1; ±2; …

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

sin x + sin 3x < sin 2x + sin 4x.

РЕШЕНИЕ:

Перенесем все члены неравенства, которые содержат неизвестное, в одну часть, тогда получим

sin x + sin 3x – sin 2x – sin 4x < 0.

Функция

f(x) = sin x + sin 3x – sin 2x – sin 4x

имеет наименьший положительный период, который равняется  , поэтому достаточно найти решения этого неравенства, например, на отрезке  [0, 2π], а затем с учетом периода записать всё множество его решений.
Преобразовав с помощью формул
левую часть исходного неравенства в произведение,

sin x + sin 3x – sin 2x – sin 4x =
–(sin 2x – sin x) – (sin 4x – sin 3x).
получим
или
и найдем решение последнего неравенства на отрезке  [0, 2π]. Так как в промежутке  [0, 2π]  множитель
то исходное неравенство сводится к решению неравенства
Для решения последнего неравенства на отрезке  [0, 2π]  нанесем нули левой части этого неравенства, то есть значения аргумента

π/5; π/2; 3π/5; π; 7π/5; 3π/5; 9π/5.
Нетрудно проверить, что одинаковые знаки функции
принимают на промежутках, которые на рисунку
отмечены штриховкой:

0 < x < π/5;
 π/2 < x < 3π/5;
 π < x < 7π/5;
 3π/5 < x < 9π/5.

Тогда множество решений исходного неравенства запишется в виде

2πk < x < π/5 + 2πk;
 2πk +  π/2 < x < 3π/5 + 2πk;
 2πk + π < x < 7π/5 + 2πk;
2πk + 3π/5 < x < 9π/5 + 2πk,
где  k = 0; ±1; ±2; …

Доказательство тригонометрических неравенств.

Методы доказательства тригонометрических неравенств почти ничем не отличаются от доказательства алгебраических неравенств.

ПРИМЕР:

Доказать, что когда  0 < α < π, то

ctg α/2 ≥ 1 + ctg α.

Найдем разность и покажем что она не отрицательна:
Так как по условию  0 < α < π. Поэтому 

ctg α/2 ≥ 1 + ctg α,

причём знак равенства достигается при  α = π/2.

ПРИМЕР:

Доказать, что

| sin α | + | cos α | ≥ 1.

Для доказательства используем очевидное неравенство

2 | sin α | | cos α | ≥ 0,

к обеим частям которого прибавим по  1. Тогда

1 + 2 | sin α || cos α | ≥ 1,

или

sin2 α + 2 | sin α || cos α | + cos2 α ≥ 1,

откуда

(| sin α | + | cos α |)2  ≥ 1.

Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего неравенства и взяв при этом только положительные значения корешей, получим

| sin α | + | cos α | ≥ 1,

что и требовалось доказать.

ПРИМЕР:

Доказать, что

sin2 α + cos2 α + tg2 α + ctg2 α + sec2 α + cosec2 α ≥ 7.

Левую часть неравенства преобразуем так:

sin2 α + cos2 α + tg2 α + ctg2 α + sec2 α + cosec2 α =

1 + tg2 α + ctg2 α + (1 + tg2 α) + (1 + ctg2 α) =
3 + 2(tg2 α + ctg2 α) ≥ 7,

поскольку при любом значении угла  α

tg2 α + ctg2 α ≥ 2,

как сумма двух взаимообратных положительных величин. В частности, равенство будет только при

α = π/4 + πk/2 = 45° + 90°k
где  k = 0; ±1; ±2; … .

так как в этом случае

tg α = ctg α = ±1.

ПРИМЕР:

Доказать, что если 

α + β + γ = π,

то

sin α/2 sin β/2 sin γ/21/8.

Обозначим

sin α/2 sin β/2 sin γ/2 = а

и произведём замену
тогда
и, следовательно,
или
откуда получаем
Выделим в левой части последнего равенства полный квадрат:
Тогда
и так как правая часть неотрицательная, то
откуда
Заменив  а  на его первоначальным значением, получим искомое неравенство

sin α/2 sin β/2 sin γ/2 1/8,

причем знак равенства достигает при

α = β = γ = π/3.

Комментариев нет:

Отправить комментарий