Урок 15. Подібність прямокутних трикутників

 ВІДЕОУРОК

Дві фігури подібні, якщо кожній точці однієї фігури можна зіставити точку іншої фігури так, що для будь-яких двох точок А і В однієї фігури і точок  А₁  і  В₁  іншої фігури, що їм подібні, виконується умова

де  k – те саме позитивне число всім точок.

Число  k – коефіцієнт подібності фігур.

Ознаки подібності прямокутних трикутників.

Два прямокутні трикутники подібні між собою, якщо:

– гострий кут одного трикутника дорівнює гострому куту іншого трикутника;

– катети одного трикутника пропорційні катетам іншого трикутника;

– гіпотенуза та катет одного трикутника пропорційні гіпотенузі та катету іншого трикутника.

Відношення периметрів подібних прямокутних трикутників дорівнює відношенню подібних сторін (коефіцієнту подібності):

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношенню відповідних сторін (квадрату коефіцієнта подібності).

ПРИКЛАД:

∆ АВС, ∠ С = 90°,

СМ – висота,

∆ АМС ∼ ∆ СМВ.

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить трикутник на два подібні трикутники, кожен з яких подібний до цього трикутника.

При проведенні всіх трьох середніх ліній утворюється  4  рівні трикутники, подібні до вихідного з коефіцієнтом  ¹/_2.

ЗАДАЧА:

Паралельні прямі  ВС  і  DЕ  перетинають сторони кута  А, зображеного на рисунку.

АВ = 6 см,

АС = 4 см,

СE = 2 см.

Знайдіть довжину відрізка  АD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∆ ABC ~ ∆ ADE, тоді

ВІДПОВІДЬ:  9 см

ЗАДАЧА:

За даними, наведеними на рисунку, знайдіть висоту дерева.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ЗАДАЧА:

Середина бічної сторони рівнобедреного трикутника віддалена від його основи на  9 см. Знайдіть відстань від точки перетину медіан трикутника до його основи.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Трикутники  АМD  і  АКL – подібні.

MD = 6 (см).

ЗАДАЧА:

Відрізки  АС  та  СD, зображені на малюнку,

паралельні,

∠ АВС = 90°,  АВ = 24 см,

ВО = 10 см, СО = 5 см.

Знайдіть довжину відрізка  АD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

СD ∥ АВ, ∠ АВС = 90°,

АВ = 24 см,

ВО = 10 см, СО = 5 см.

Оскільки 

СD ∥ АВ  і  AВ ⊥ ВС, то

DС ⊥ ВС, тобто

∠ ВСD = 90°.

З  ∆ AВО (∠ В = 90°):

∠ АОВ = ∠ DОС як вертикальні.
∆ DСО ~ ∆ AВО,

Отже,

AD = AO + OD =

= 26 + 13 = 39 см.

ВІДПОВІДЬ:  39 см

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  відрізок  ВК – висота, відрізок  АМ – бісектриса,

ВК = 26 см,

АВ : АС = 6 : 7.

З точки  М  опущено перпендикуляр  МD  на сторону  АС. Знайдіть відрізок  МD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

За властивістю бісектриси трикутника маємо:

ВМ  : МС = АВ : АС = 6 : 7.

Нехай  ВМ = 6х, тоді 

МС = 7х,

ВС = 6х + 7х = 13х.

За умовою, ВК ⊥ АС  і  

МD ⊥ АС.

Тому  ВК ∥ МD і  

∆ СВК ~ ∆ СМD.

Звідси:

ВК : МD = ВС : МС,

26 : МD = 13х : 7х.

ВІДПОВІДЬ:  14 см

ЗАДАЧА:

Коло, центр якого належить гіпотенузі прямокутного трикутника, дотикається до більшого катета і проходить через вершину протилежного гострого кута. знайдіть радіус кола, якщо катети дорівнюють  5 см  і  12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай трикутник  АСВ (∠ С = 90°) – заданий прямокутний трикутник,

АС = 5 см, ВС = 12 см,

О – центр кола,

ОD ⊥ ВС, D – точка дотику кола з центром  О  до катета  ВС, ОD = ОА – радіус кола.

З прямокутного трикутника  АСВ  маємо:

тому  ОD ∥ АС  і трикутники  АСВ  і  ОDВ  подібні.

Нехай

ОD = ОА = х.

Тоді  ОВ = 13 – х.

Отримаємо:

ОВ : ОD = АВ : АС,

(13 – х) : х = 13 : 5,

(13 – х) ∙ 5 = 13x,

65 – 5х = 13х, 18х = 65,

х = 65 : 18, х = 3¹¹/₁₈,

Отже, радіус кола дорівнює  3¹¹/₁₈ см.

ВІДПОВІДЬ:  3¹¹/₁₈ см

ЗАДАЧА:

Катет прямокутного трикутника дорівнює  8 см, а гіпотенуза – 16 см. Знайдіть проекцію даного катета на гіпотенузу.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

∆ АВС ~ ∆ ВDС, тому

ЗАДАЧА:

Бічна сторона рівнобедреного трикутника точкою дотику вписаного кола ділиться у відношенні  8 : 9, рахуючи від вершини кута при основі трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює  16 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВС – рівнобедрений трикутник  (АВ = ВС)  з центром вписаного кола  О,

К – точка дотику кола до сторони ВС,

ОК = 16 см,

СК : КВ = 8 : 9.

Нехай  СК = 8х, тоді

ВК = 9х,

ВС = 8х + 9х = 17х (см).

Проведемо висоту  ВD  трикутника. Трикутник  ОКВ  прямокутний  (∠ К = 90°), тому

За властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола,

СD = СК = 8х.

З подібності прямокутних трикутників  ВОК  і  ВСD  (за спільним гострим кутом) одержимо:

256 + 81х² = 1156,

81х² = 900, х² = ⁹⁰⁰/₈₁,

х = ¹⁰/₃.

DС = 8х = ¹⁰/₃ ∙ 8 = ⁸⁰/₃ (см).

ВС = 17х = 17 ∙ ¹⁰/₃ = ¹⁷⁰/₃ (см).

Р = 2 ∙ (⁸⁰/₃  + ¹⁷⁰/₃) = ⁵⁰⁰/₃ (см).

S_∆ABC = ¹/₂ р ∙ r = ¹/₂ ∙ ⁵⁰⁰/₃ ∙16 =

= ⁴⁰⁰⁰/₃ = 1333¹/₃ (см²).

ВІДПОВІДЬ:  1333¹/₃ см²

ЗАДАЧА:

Центр кола, вписаного у рівнобедрений трикутник, ділить його висоту, проведену до основи, на відрізки, довжини яких дорівнюють  10 см  і  26 см. Знайдіть площу даного трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВС – заданий рівнобедрений трикутник  (АВ = ВС),

О – центр вписаного кола,

ВD – висота трикутника,

ОD = 10 см, ОВ = 26 см,

К – точка дотику кола до бічної сторони  АВ,

ОК = ОD = 10 см.

З прямокутного трикутника  ВКО (∠ К = 90°)  маємо:

ВD = ВО + ОD = 

= 26 + 10 = 36 (см).

З подібних прямокутних трикутників

АВD  і  ОВК  маємо:

АD : ВD = КО : КВ,

АD : 36 = 10 : 24

Знаходимо площу трикутника  АВС.

S_ABC = ¹/₂ AC ∙ BD =

= AD ∙ BD =

= 15 ∙ 36 = 540 (см²).

ЗАДАЧА:

На медіані  ВD  рівнобедреного трикутника  АВС (АС = ВС)  взято точку  К  таку, що  КD = 2ВК. Пряма  АК  перетинає сторону  ВС  у точці  М. Знайдіть площу трикутника  АМС, якщо площа трикутника АВС дорівнює  20.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

ВD – медіана трикутника  АВС, проведена до його основи, отже,  ВD  є висотою та бісектрисою. Проведемо пряму  ВF  паралельну  АС  до перетину її з продовженням  АМ  у точці  F. Нехай

АD = DС = х, АС = 2х.

Трикутник  АКD  подібний до трикутника  FКВ  по двох кутах

(∠ КAD = ∠ КFB, ∠ AKD = ∠ FKB),

отже

звідси

BF = ¹/₂ AD = ¹/₂ x.

Трикутник  АMC  подібний до трикутника  FMB

(∠ AMC = ∠ FMB, ∠ MAC = ∠ MFB),

тому

Трикутники  АВС  і  АМС  мають однакову висоту, проведену з вершини  А. Отже, їх площі відносяться також, як сторони до яких ця висота проведена.

звідси отримаємо, що

S_AМC = ⁴/₅ S_AВС = ⁴/₅∙ 20 = 16.

ЗАДАЧА:

Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони, а основи дорівнюють  28 см  і  100 см. Знайдіть довжини відрізків, на які висота трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить діагональ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD (АВ ∥ СD) – рівнобічна трапеція,

ВЕ  і  СК – висоти,

АС ⊥ СD,

ВС = 28 см,

АD = 100 см,

О – точка перетину прямих  АС  і  ВЕ. Проведемо медіану  СМ  трикутника  АСD (∠ С = 90°). За властивістю медіани, проведеної з вершини прямого кута прямокутного трикутника,

СМ = АМ = МD = 50 (см).

MK = MD – KD =

= 50 – 36 = 14 (см).

З трикутника  МКС (∠ К = 90°)  маємо:

З трикутника  АКС (∠ К = 90°)  маємо:

∆ AOE ~ ∆ СOB,
(∠ OAE = ∠ OCB, ∠ OBC = ∠ OEA), тому

звідки

Нехай  АО = 9х (см), тоді  

ОС = 7х (см).

АО + ОС = АС,

9х + 7х = 80, х = 5 (см).

АО = 45 см, ОС = 35 см.

ВІДПОВІДЬ:  45 см, 35 см

ЗАДАЧА:

Два рівні рівнобедрені прямокутні трикутники з катетами  а  розташовані так, що катет  ВС  ∆ АВС  паралельний до гіпотенузи  А₁В₁  ∆ А₁В₁C₁. Вершини  В  і  С  відповідно лежать на катетах  А₁C₁  і  В₁C₁. Визначити площу трапеції  BCMN.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

З  ∆ АВN  випливає, що  MN = AM = a – MC.

∆ А₁C₁B₁ ~ ∆ BCC₁, тому

тобто

Звідки

MC = a(√͞͞͞͞͞2– 1);

MN = a(2 – √͞͞͞͞͞2 );

Отже,

Завдання до уроку 15

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Одиниці вимірювання площі
• Урок 2. Площа прямокутника
• Урок 3. Площа квадрата
• Урок 4. Площа трикутника
• Урок 5. Площа прямокутного трикутника
• Урок 6. Площа рівнобедреного трикутника
• Урок 7. Площа паралелограма
• Урок 8. Площа ромба
• Урок 9. Площа трапеції
• Урок 10. Площа рівнобічної трапеції
• Урок 11. Площа прямокутної трапеції
• Урок 12. Площа круга і його частин
• Урок 13. Подібність трикутника
• Урок 14. Подібність рівнобедрених трикутників
• Урок 16. Площа багатокутника