Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 18 ноября 2017 г.

Урок 2. Показательные уравнения

Что такое показательное уравнение ?

Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней.

ПРИМЕР:

5х+2 = 125,
3х × 2х = 8х+3,
32х + 4 × 3х – 5 = 0.

Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) – только числа. В показателях степеней (вверху) – самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:

2х = 3 + х,

Это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде. Хотя даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно.

Решение простейших показательных уравнений.

ПРИМЕР;

3х = 32.

Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что

х = 2.

Никакое другое значение  х  не подходит. Что мы сделали ? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки)

Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней.
Однако запомните: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве, безо всяких соседей и коэффициентов.

ПРИМЕР:

2х + 2х+1 = 23,
2 × 2х = 24.

Двойки убирать нельзя!

Для решения более сложных уравнений надо приводить его к виду, когда слева и справа стоит одно и то же число – основание, т. е. берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам виду.

Решение простых показательных уравнений.

При решении показательных уравнений, главные правила – действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится. К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку.
Нам требуются одинаковые числа – основания ? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.

ПРИМЕР:

22х – 8х+1 = 0.

Первый взгляд на основания. Они разные. Два и восемь. Самое время вспомнить, что

8 = 23.

Двойка и восьмёрка – родственники по степени. Вполне можно записать:

8х+1 = (23)х+1.

Если вспомнить формулу из действий со степенями:

(аn)m = anm,

то получается:

8х+1 = (23)х+1 = 23(х+1).

Исходный пример стал выглядеть так:

22х – 23(х+1) = 0.

Перенесём  23(х+1)  вправо, получаем:

22х = 23(х+1).

Убираем основания:

2х = 3(х +1),
х = –3.

В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) – очень популярный приём в показательных уравнениях. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для показательных уравнений. Дело в том, что возвести любое число в любую степень – не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести  3  в пятую степень сможет каждый (243  получается, если таблицу умножения знаете). Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом  243, или скажем, 343. Здесь никакой калькулятор не поможет.
Степени некоторых чисел желательно знать наизусть:

2 = 21,  
4 = 22
8 = 23,  
16 = 24 = 42,  
27 = 33,  
32 = 25
64 = 26 = 43 = 82
81 = 34,  
100 = 102
125 = 53,  
128 = 27
216 = 63,  
243 = 35
256 = 28 = 44
343 = 73
512 = 29 = 83
625 = 54
729 = 36 = 93
1024 = 210 = 45.

При решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки.

ПРИМЕР:

32х+4 = 11×9х = 210.

Первый взгляд – на основания! Основания у степеней разные. Тройка и девятка. А надо, чтобы были одинаковые. Делаем следующее:

9х = (32)х = 32х.

По тем же правилам действий со степенями:

32х+4 = 32х×34,

поэтому:

32х×34 – 11×32х = 210.

Мы привели пример к одинаковым основаниям.
Что в этом показательном уравнении можно сделать ?
Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:

Не знаешь, что нужно – делай, что можно!

В левой части прямо просится вынесение за скобки множителя  32х.

32х (34 – 11) = 210.

Подсчитаем выражение в скобках:

34 – 11 = 81 – 11 = 70.

Тогда:

70×32х = 210.

Для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, без всяких коэффициентов, поэтому делим обе части уравнения на  70:

32х = 3,
32х = 31,
2х = 1,
х = 0,5.

Случается, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация – никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа.

Замена переменной в решении показательных уравнений.

ПРИМЕР:

4х – 3×2х + 2 = 0.

Сначала переходим к одному основанию. К двойке.

4х = (22)х = 22х.

Получим уравнение:

22х – 3×2х + 2 = 0.

Предыдущие приёмы не сработают. Поэтому есть ещё один универсальный способ. Называется он замена переменной. Суть способа проста. Вместо одного сложного значка (в нашем случае – 2х) пишем другой (например t).
Пусть:

2х = t,

Тогда

22х = 2х2 = (2х)2 = t2.

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

t2 – 3×t  + 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение, получаем:

t1 = 2,
t2 = 1.
t1 = 2 = 2х,
2х = 2,
х1 = 1.

t2 = 1 = 2х,
2х = 10,
х2 = 0.

Практические советы:

– Первым делом смотрите на основания степеней. Пробуйте, нельзя ли их сделать одинаковыми. Надо это делать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени.
– Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используйте действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах – считаем.
– Если предыдущий совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратном.
– Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать в ”лицо”.

Формулы, которые помогут вам решить показательные уравнения.

Задания к уроку 2

Комментариев нет:

Отправить комментарий