Решение наипростейших
показательных неравенств вида:
ах > b (або ах < b, де а > 0 и а ≠ 1)
основывается на свойствах
функции
у = ах,
которая растёт
при а > 1
и убывает при 0
< а < 1.
ПРИМЕР:
Чтобы найти решение неравенства
ах > b, при b > 0,
достаточно определить
b в виде b = ас.
получаем неравенство:
ах > ас.
При а > 1 функция ах растёт, поэтому, большему значению функции соответствует
большее значение аргумента, поэтому из неравенства ах > ас получим
х ˃ с (знак этого неравенства
совпадает со знаком неравенства ах > ас).
При 0
< а < 1 функция
ах уменьшается, поэтому, большему значению функции
соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства ах > ас получим
х < с (знак этого неравенства
противоположный знаку неравенства ах > ас).
ПРИМЕР:
Решите неравенство:
5х > 25.
Достаточно выразить это неравенство в виде
5х > 52,
Учитывая, что 5 >
1 (функция 5х
– возрастающая), поэтому, при переходе к аргументам
знак неравенства не меняется, и можно записать решение:
х > 2.
Обратите внимание, что решение заданного неравенства можно
записать в виде х > 2 или в виде промежутка (2; ∞).
ПРИМЕР:
Решите неравенство:
Учитывая, что 1/4 < 1 (функция
– убывающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства надо сменить на противоположный, и записать решение:
х < 2.
Учитывая, что при любых
положительных значениях а значения ах всегда больше нуля, получим, что
при b ≤ 0 неравенство
ах < b решений не имеет,
а неравенство ах
˃ b выполняется при всех действительных значениях х.
ПРИМЕР:
Неравенство
7х < –7
не имеет решений, а решением неравенства
7х > –7
будут все действительные числа.
ПРИМЕР:
Решите неравенство:
Так как функция
y = (0,6)t
будет убывающей, то
х2 –
7х + 6 ≤ 0.
откуда
1 ≤ х ≤
6
ОТВЕТ:
[1; 6]
ПРИМЕР:
Решите неравенство:
Заменадаст неравенство
которое равносильно неравенству
Поскольку t ˃ 0, получим
t2 – 8t – 9 ≤
0.
Откуда –1 ≤ t
≤ 9.
учитывая, что t > 0, имеем
0
< t ≤ 9.
Выполняя обратную замену, получим
Функция y = 3t – возрастающая, поэтому,
√͞͞͞͞͞х ≤ 2.
Учитывая ОДЗ, получим:
0 ≤ х ≤
4.
ОТВЕТ: [0; 4]
Другие уроки:
Комментариев нет:
Отправить комментарий