Логарифмом
числа N по основанию
а (где а
˃ 0, а ≠
1) называется показатель степени, в которую надо
возвести а,
чтобы получить число N.
Обозначение:
loga N = x.
Таким образом, по определению, если
х = loga N, то ах = N,
или
Основание считают положительным и таким, что не равное единицы.
Формулу
ПРИМЕР:
log2 8 = 3, или 23 = 8,
log2 0,25 = –2, или 2-2 = 0,25.
Свойства логарифмов.
– любое положительное
число при любом основании имеет один логарифм;
– при любом (положительном) основании отрицательные числа не имеют логарифмов;
– при любом
основании логарифм единицы равен нулю;
– логарифм самого
основания равен единицы;
– при основании, большем единицы, большему
числу соответствует и больший логарифм, при этом логарифмы чисел, больших единице,
положительные, а логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательные;
– при основании,
меньше единицы, большему числу соответствует меньший логарифм, при этом
логарифмы чисел, меньших единицы, положительные, а логарифмы чисел, больших единицы,
отрицательные;
– если основание
логарифмов больше единицы, то при бесконечном росте числа бесконечно растёт и его
логарифм, а при приближении положительного числа до нуля его логарифм, оставаясь
отрицательным, бесконечно растёт по абсолютной величине;
– если основание логарифма меньше единицы, то
при бесконечном росте числа его логарифм, оставаясь отрицательным, бесконечно уменьшается,
а при приближении положительного числа до нуля его логарифм бесконечно растёт.
Решение примеров с использованием свойств логарифмов.
ПРИМЕР:
Исходя из определения
логарифма, найти какое число имеет логарифм
2 при основании 7.
2 = log7 х, х = 72 = 49.
ПРИМЕР:
Исходя из определения
логарифма, найти логарифм 125 за основанием
5.
х = log5 125,
5х = 125,
х = 3.
ПРИМЕР:
Исходя из определения
логарифма, найти при каком основании логарифм числа 16 равен 4.
4 = logх 16,
х4 = 16,
х = 2.
ПРИМЕР:
Исходя из тождества х = loga N, найти:
Что больше ?
logа 2 или
logа 3.
Если а ˃ 1,
то большему числу соответствует и больший логарифм, то есть
logа 2
< logа 3.
Если а <
1, то большему числу соответствует меньший логарифм, то есть
logа 2
˃ logа 3.
Тут принято, что а ˃ 0, а ≠
1.
Знаком lg без обозначения основания обозначается десятичный логарифм, то есть логарифм при основании 10.
Рассмотрим более подробно, как переходить от десятичных логарифмов до
натуральных и наоборот.
Чтобы по известному десятичному логарифму числа N найти его натуральный логарифм, необходимо
поделить десятичный логарифм числа N на десятичный
логарифм числа е (последний равен 0,4343…).
Число lg e = 0,4343… называется
модулем десятичных логарифмов и обозначается буквою М так, что
Из таблиц десятичных логарифмов
имеем
lg 2 = 0,3010.
Откуда
lg N =
lg е × ln
N =
М × ln
N =
0,4343 ln N
ПРИМЕР:
ln 3 = 1,0986, а отсюда
lg 3 = М × 1,0986 =
0,4771.
Задания к уроку 4
Другие уроки:
Комментариев нет:
Отправить комментарий