вторник, 21 ноября 2017 г.

Урок 4. Логарифм числа

Логарифмом числа  N  по основанию  а (где  а ˃ 0, а 1) называется показатель степени, в которую надо возвести  а, чтобы получить число  N.

Обозначение:

loga N = x.

Таким образом, по определению, если 

х = loga N, то  ах = N,

или
Основание считают положительным и таким, что не равное единицы.

Формулу
называют основным логарифмическим тождеством.

ПРИМЕР:

log2 8 = 3, или  23 = 8,
log2 0,25 = –2, или  2-2 = 0,25.

Свойства логарифмов.

– любое положительное число при любом основании имеет один логарифм;
– при любом (положительном) основании отрицательные числа не имеют логарифмов;
– при любом основании логарифм единицы равен нулю;
– логарифм самого основания равен единицы;
 – при основании, большем единицы, большему числу соответствует и больший логарифм, при этом логарифмы чисел, больших единице, положительные, а логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательные;
– при основании, меньше единицы, большему числу соответствует меньший логарифм, при этом логарифмы чисел, меньших единицы, положительные, а логарифмы чисел, больших единицы, отрицательные;
– если основание логарифмов больше единицы, то при бесконечном росте числа бесконечно растёт и его логарифм, а при приближении положительного числа до нуля его логарифм, оставаясь отрицательным, бесконечно растёт по абсолютной величине;
 – если основание логарифма меньше единицы, то при бесконечном росте числа его логарифм, оставаясь отрицательным, бесконечно уменьшается, а при приближении положительного числа до нуля его логарифм бесконечно растёт.

Решение примеров с использованием свойств логарифмов.

ПРИМЕР:

Исходя из определения логарифма, найти какое число имеет логарифм  2  при основании  7.

2 = log7 х,  х = 72 = 49.

ПРИМЕР:

Исходя из определения логарифма, найти логарифм  125  за основанием  5.

х = log5 125,  5х = 125, 
х = 3.

ПРИМЕР:

Исходя из определения логарифма, найти при каком основании логарифм числа  16  равен  4.

4 = logх 16,  х4 = 16, 
х = 2.

ПРИМЕР:

Исходя из тождества  х = loga N, найти:
ПРИМЕР:

Что больше ?

logа или
logа 3.

Если  а ˃ 1, то большему числу соответствует и больший логарифм, то есть

logа 2 < logа 3.

Если  а < 1, то большему числу соответствует меньший логарифм, то есть

logа 2 ˃ logа 3.

Тут принято, что  а ˃ 0, а 1.

Знаком  lg  без обозначения основания обозначается десятичный логарифм, то есть логарифм при основании  10.
Рассмотрим более подробно, как переходить от десятичных логарифмов до натуральных и наоборот.
Чтобы по известному десятичному логарифму числа  N  найти его натуральный логарифм, необходимо поделить десятичный логарифм числа  N  на десятичный логарифм числа  е  (последний равен  0,4343…). 
Число  lg e = 0,4343…  называется модулем десятичных логарифмов и обозначается буквою  М  так, что
ПРИКЛАД:

Из таблиц десятичных логарифмов имеем 

lg 2 = 0,3010.

Откуда
Чтобы  по известным натуральным логарифмом числа найти его десятичный, нужно умножить натуральный логарифм на модуль десятичных логарифмов  М = lg е:

lg N = lg е × ln N =
М × ln N = 0,4343 ln N

ПРИМЕР:

ln 3 = 1,0986, а отсюда 
lg 3 = М × 1,0986 = 0,4771.

Задания к уроку 4

Комментариев нет:

Отправить комментарий